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一辺が1の正五角形の頂点を結ぶ最短経路は図のようになるそうですが、実際に最短経路の長さはどうなるのでしょうか?

「正五角形の最短シュタイナー問題」の質問画像

A 回答 (1件)

適当に座標を与えれば, Q の座標に関する最小化問題となる. それを解けばいいはず.

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Q1点から三角形の頂点への最短距離(平面図形的解釈)

A(-2,0),B(2,0),C(0,3)がある。
点Pが y 軸上を動くときの,AP+BP+CP の最小値を与える点Pの座標を求めよという問題です。

答えは、P(0,2/√3)なのですが

このP点は平面図形的に五心の一部になったり、何が特別な意味はないのですか??

Aベストアンサー

この問題では与えられた三角形が二等辺三角形なので、かえって
点Pの持つ意味が分かりにくいかもしれませんね。

一般に、添付図(左)のように、勝手な三角形ABCが与えられた時、
その内部に点Pをとり、3つの頂点までの距離の和を考えます。
ここで、図のように辺BCおよび線分BPをそれぞれ一辺に持つ2つの
正三角形△BCD, △BPQを書くと、△BPC≡△BQDになりますので、
 AP+BP+CP=AP+PQ+QD
となります。
したがって、AP+PQ+QDが最小となるのは、右の図のようにA, P, Q, Dが
一直線上に並ぶ時です。
この時、CA, CBを一辺に持つ正三角形△CAE, △ABFを書けば、同様に
B, P, EおよびC, P, Fもそれぞれ同一直線上の点となっています。
また、AP, BP, CPのなす角を見ると、
 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
となっています。(#1さんの指摘しているのはこのことです)

このような点は、「フェルマー点」と呼ばれています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%82%B9
フェルマーさんも、本当にあちこちに名前が付いていますね。

なお、△ABCの内角の一つが120°を超える場合には、このような点Pを
三角形の内部にとることはできません。
その場合、三頂点までの距離の和が最小となる点は、△ABCの最大角の
頂点となります。

この問題では与えられた三角形が二等辺三角形なので、かえって
点Pの持つ意味が分かりにくいかもしれませんね。

一般に、添付図(左)のように、勝手な三角形ABCが与えられた時、
その内部に点Pをとり、3つの頂点までの距離の和を考えます。
ここで、図のように辺BCおよび線分BPをそれぞれ一辺に持つ2つの
正三角形△BCD, △BPQを書くと、△BPC≡△BQDになりますので、
 AP+BP+CP=AP+PQ+QD
となります。
したがって、AP+PQ+QDが最小となるのは、右の図のようにA, P, Q, Dが
一直線上に並ぶ時です。
この時、CA, CBを...続きを読む


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