辞書などで調べると第1~3宇宙速度の数値がのってるけどなぜそうなるのかかいてません。
エネルギー保存の法則で求めるというのはきいたことあります。
式にどんな数値を代入したらいいのかおしえてください。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

記号を先に決めておきます.



地球の質量:  M = 5.974×10^(24) [kg]
太陽の質量:  M◎ = 1.989×1^(30) [kg]
万有引力定数: G = 6.6720×10^(-11) [N・m^2・kg^(-2)]
地球の半径:  r = 6.378×10^6 [m]
地球の軌道半径:R = 1.496×10^(11) [m]
地球表面の重力加速度:g = GM/r^2

第1宇宙速度 u は,ロケット(質量m)が地表にごく近い円軌道を描くために必要な速度です.
地球の引力は
(1)  mg = GMm/r^2
遠心力は,
(2)  mu^2 / r^2
両者が釣り合うから,(1)=(2) より
(3)  u = √(GM/r) ≒ 7.9 [km/s]

第2宇宙速度vは,ロケットが地球の引力圏を完全に脱するのに必要な速度です.
無限遠からみた地球の引力のポテンシャルエネルギーは,地表で
(4)  GMm/r
これが,ロケットの運動エネルギー
(5)  mv^2/2
が(4)より大きければ,ロケットは地球の引力圏を脱出できます.
ちょうど脱出可能なところでは (4)=(5) より
(6)  v = √(2GM/r) = √(2)×u = 11.2 [km/s]

第3宇宙速度wは,ロケットが太陽系を脱出するのに必要な速度です.
地球から出発しますから,(4)に対応する式が
(7)  GM◎m/R
で,これよりロケットの運動エネルギー
(8)  mw^2/2
が大きければ脱出可能です.
ちょうど脱出可能なところでは (7)=(8) より
(9)  w = √(2GM◎/R) = 42.1 [km/s]
です.
ただし,ちょっと注意が必要で,このwは太陽に対する速度です.
地球は太陽に対して 29.8 [km/s] の公転速度をもっていますから,
方向をうまく合わせれば,地球に対する速度が
(10)  w2 = 42.1 - 29.8 = 12.3 [km/s]
でOKです.
この速度は地球の引力圏を脱出したときの速度ですから,
地表での速度 w0 はもっと大きくなります.
(11)  m(w0)^2/2 = √{(w2)^2 + GM/r)}
から
(12)  w0 = 16.7 [km/s]
になります.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

実をいうと
u = √(GM/r)
v = √(2GM/r) = √(2)×u) 
w = √(2GM◎/R)
というそれぞれの結論の式しってました。
式に使われている文字の意味が分からなく、また推理も不可能だと判断したので質問をしたのです。なんとこの場合最初の8行で疑問が解けてしまいました。
この式がのっている原稿が他人の手作りで正しいという確証がなかったので「この式の文字の意味はなに」という安直な質問をする勇気が持てなかったのです。あの時勇気を出していればみなさんに無駄なお時間を取らせることもなかったろに・・・と反省しております。
とはいえ、結果的に貴公のわかりやすい解説をよんでより理解が増したと感じております。ありがとうございました。

お礼日時:2001/03/12 20:35

stomachman さん,お久しぶりです.


> うわっとと、siegmund教授が既に完璧回答を....

いえいえ,stomachman さんの回答の方がずっと丁寧ですよ.
留意点にも注意されているし,
静止軌道や重力カタパルト(スイングバイ)にも触れているし...
レポートだったら,stomachman さんの方がいい評価がつきますよ.

重力カタパルト(スイングバイ)については,
http://spaceboy.nasda.go.jp/Db/Kensaku_html/Type …
に図解入りの解説があります.
ここのホームの
http://spaceboy.nasda.go.jp/Index_j.html
からいろいろ面白い知識が得られます.

stomachman さんが書かれているとおり,
空気抵抗無視とか,大砲で打ち上げとか,そういう前提ですので,
第1,2,3宇宙速度いずれの場合も目安くらいの意味しかないですね.
大体,地表すれすれの人工衛星なんて不可能ですよね
(確かに危ない,ミールが落ちてくるどころの話じゃない.
その前に燃え尽きちゃいますが).
第3宇宙速度の方は,スイングバイで加速というテクニックもありますし.

> 偶然ですがg(R)≒π^2というのは憶えておくと便利かも。

概算の時には便利ですね.
g(R)≒π^2≒10
ただし,πは単なる数値ですが,g(R)の方は単位をもった量です.
だから,単位系を変えるとg(R)の値は当然変わります.
MKS(メートル,キログラム,秒)で単位を構成しているから,
g(R)≒π^2 [m・s^(-2)] になっているのであって,
長さに尺やヤードを使えば当然違う数値になります.
stomachman さんが「偶然」とかかれているのは上のような意味です.

私の回答にミスプリがありましたので,訂正しておきます.
(2)式は
(2)  mu^2 / r
と訂正してください.
どうも最近ミスプリが多くていかん.
そもそもテキストファイルで式を書くというのが(読む方も)なかなか大変ですね.
    • good
    • 0

うわっとと、siegmund教授が既に完璧回答を....


せっかく書いたから、レポート出す積もりでupしちゃいます。だいぶ重複しますが、もう手を入れる気力が....ごめんなさい。

 宇宙速度という考え方は、いわば大砲で飛翔体を打ち出す時の初速の話ですから、初速まで加速したらあとは加速しない、という条件での計算であることに注意すべきです。加速し続けるロケットの場合にそのまま当て嵌めるのはちょっとアブナイ。また宇宙速度は地球から飛翔体が出発する話ですが、空気抵抗を無視していることにも留意すべきです。

準備:
 以下は全てニュートン力学の範囲で考えます。アインシュタインの相対性理論を使うほどの精度の計算じゃないからです。また、ここではなるべく「常識で知ってるんじゃない?」という程度の数値だけを使って計算をやってみるので、少々の誤差はご容赦願います。地球の半径をR、地表での重力加速度をg(R)とします。地球一回りで丁度4万キロ(誤差数キロ程度)ですから2πR = 4.000×10^7 [m]、つまり
R = (2/π)×10^7 [m] = 6370000[m]
地表の重力加速度はg(R)=9.8 [m s^-2]です。高度rに於ける重力加速度g(r)はrの二乗に反比例する(ニュートンの万有引力の法則)から、ある定数kがあって
g(r) = (k^2)/(r^2) (まじめにやると(k^2)=GM、Gは万有引力定数、Mは地球の質量)
と表せる。特にr=Rのとき
g(R) = (k^2)/(R^2)
ですから
k = R√g(R)
です。(偶然ですがg(R)≒π^2というのは憶えておくと便利かも。)つまり
g(r)=((R/r)^2)g(R)、 √g(r) = (R/r)√g(R)

●[円軌道(第1宇宙速度)]
半径rの円軌道を周回する人工衛星の速さ(接線速度)を計算しましょう。円軌道の角速度をωとするとき半径rにおける接線速度v(r)と求心加速度a(r)は、
v(r) = ωr, a(r) = (ω^2)r
ですから
v(r) = √(a(r)r)
ここでa(r)というのは重力加速度そのもので、a(r) = g(r)です。よって、
v(r) = √(r g(r)) =(√r)(R/r)√g(R) = (R/√r)√g(R)
これが円軌道の半径rによって異なることは要注意です。

・特にr=R(つまり地球が真球かつ大気がないとして、地表すれすれを飛ぶ人工衛星。危ないってば)の場合、
v(R) = (R/√R)√g(R)=√R√g(R)=7900[m/s] つまり秒速7.9km/sほどです。(第1宇宙速度)
角速度はω=v(R)/Rなので周期は2π/ω=5064[s]、だいたい1時間半です。
 赤道上から、地球の回転方向に向かって発射すれば、地球の自転の接線速度Rω=R(2π/24時間)=461[m/s]の分だけ得をします。

・余談ながら、例えば角速度ω=2π/24時間 = (2π/86400)[1/s]となる静止衛星の軌道だと、
v(r) = ωr = (R/√r)√g(R)
より、
r^(3/2) = R√g(R) /ω
r = [2.0×10^7/(2π/86400)]^(2/3)=42300[km](4万2千キロ、地球の周長ぐらい。)
地表から測った高度で言うと
r-R =42300-6370 = 35900[km]
で、この高度における速度v(r)は
v(r) = ωr= 42300000(2π/86400)=3080[m/s]つまり秒速3.1km程です。

●[地球重力圏の脱出(第2宇宙速度)]
この計算では、地球の重力だけを考慮し、太陽や月その他いろいろは全く無視します。
一定の重力加速度g(R)が働いている場合、質量mの物が地表からhの高さにある時の位置エネルギーUは
U = mg(R)h
です。つまり、地表からこの高さまで真上に物を放り上げるのに必要な初速をvとすると、その運動エネルギーE:
E= (1/2)m(v^2)
がUに等しい必要があります。
 地球からうんと離れた高さまで放り上げる事を考える場合には、しかしながら、「g(R)が一定」という近似は使えません。しかしdU(h)/dh = m g(R+h)は成り立ちます。つまり一般に地表から距離h[m]の位置にある質量mの物体の位置エネルギーをU(h)とすると
U(h) = m integral{r=R~R+h} g(r) dr
となります。だから、地表から初速v(h)で打ち出した物体の最高高度がhだとすれば、
E=(1/2)m(v(h)^2)=U(h)
従って高度hに到達するのに必要な初速は
v(h) = √(2 integral{r=R~R+h} g(r) dr)
です。積分は
integral{r=R~R+h} g(r) dr
 = integral{r=R~R+h} ((R/r)^2)g(R) dr = (R^2)g(R) [1/R-1/(R+h)]
ですから
v(h) = √{2(R^2)g(R) [1/R-1/(R+h)]}
 そこで、地球の重力圏を脱して二度と落ちてこないために必要な初速は、h=∞の場合を計算すればよい。
v(∞) = √{2(R^2)g(R) [1/R]}=√(2Rg(R))=11200[m/s] つまり秒速11.2km。(第2宇宙速度)

 実はこれは真上に放り上げる場合に限った話ではありません。地表と平行に高速で発射した物体は、初速が秒速8km/sなら(既に見たように)地表すれすれの円軌道になります。それより速いと楕円軌道(発射地点が近地点)、もっと速いと放物線軌道、さらに速いと双曲線軌道に乗ります。放物線軌道か双曲線軌道だと地球には二度と戻ってこない。そして放物線軌道に乗せるための初速はやはり
v=√(2Rg(R))=11200[m/s]
です。運動エネルギーが全部位置エネルギーに変わるという事情は同じ事ですからね。

●[太陽重力圏の脱出(第3宇宙速度)]
 計算の仕組みは第2宇宙速度と同じです。常識的知識だけを使って計算したい所ですが、やっぱり地球の軌道半径(天文単位と言います)は知らないとダメですね。軌道半径R*=1.50×10^11 [m]は光速で500秒掛かると憶えます。さて、地球の公転軌道を円で近似し、太陽から受ける重力を
g*(R*)=GM*/(R*^2)
とします。地球は公転周期T*=1年=3.156×10^7秒で回転します(これも偶然π×10^7に近いんですよ。)従って角速度は
ω*=2π/T*=2π/ (3.156×10^7)=1.99×10^-7[1/s]
であり、地球の公転の速さ(接線速度)は
R*ω* = (1.50×10^11)(1.99×10^-7)=29900[m/s] 毎秒約30kmです。この軌道上で太陽の引力で生じる加速度は
a(R*) = (ω*^2)R*=g*(R*)
ですから、
g*(R*)=(ω*^2)R*=((1.99×10^-7)^2)(1.50×10^11) = 5.95×10^-3 [m s^-2]
であることが分かります。第2宇宙速度の計算で使った
v(∞) = √(2Rg(R))
という式でRをR*, g(R)をg*(R*)で置き換えると
v*(∞) = √(2R*g*(R*))=42200[m/s]
つまり太陽から見て「地球の公転軌道の高度」から太陽重力圏から脱出するために必要な初速は毎秒約42kmです。ところが、地表から出発する話なんですから、
(1)まずは地球の重力圏を脱出しなくちゃいけない。
(2)地球も毎秒約30kmの接線速度を持っている。
(3)さらに自転速度毎秒0.5[km/s]もあるけど、これは無視して良いかな。
という事情があります。これは3体問題と言って簡単には解けない。たとえば「重力カタパルト」という、地球(その他の天体)の公転角速度を利用して飛翔体を加速するテクニックがあり、実際に惑星探査機で利用されています。ですから第3宇宙速度という概念がどこまで意味を持っているのか些か怪しいんじゃないかな、と思います。

●stomachmanが持っている軌道計算トラノマキは、初版が実に1970年という古いもので、その名も「宇宙航行の数学」(森北出版)です。人工衛星の技術は日進月歩ですが、軌道の理論は変わらないですから、これで十分間に合っています。この本を使うと、ここに書いたのよりもうちょっと本格的な計算ができます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

かなりくわしいお答えありがとうございます(読み始めるのに覚悟がいりましたが・・・笑)。下に書いたとうり、お時間を取らせてしまって本当に申し訳なく思っています。
「宇宙航行の数学」ですか。人に聞くばかりでなく本読んで自分で調べないとだめですよね。やっぱり。
楽しちゃいけない。そう思いました。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/03/12 20:46

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q高校物理 第一宇宙速度とケプラーの法則

人工衛星の速度がちょうど第一宇宙速度になるように打ち上げると、等速円運動に
なり、その速度を超え、第二宇宙速度未満の速度であれば、楕円運動をするそうですが、
この楕円運動をした場合でも、ケプラーの法則が成り立っているのでしょうか。

つまり、楕円軌道の焦点の一つが地球の中心であり、面積速度はどこでも等しく、
周期の2乗が長軸の3乗に比例することが成り立つと考えてよろしいでしょうか?

また、何で楕円軌道をするのかと思ってしまうのですが、その理由は大学で物理を
学ばないとわからないことでしょうか?

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>つまり、楕円軌道の焦点の一つが地球の中心であり、面積速度はどこでも等しく、

はい。そうなります。

>>>周期の2乗が長軸の3乗に比例することが成り立つと考えてよろしいでしょうか?

はい。成り立ちます。

>>>また、何で楕円軌道をするのかと思ってしまうのですが、その理由は大学で物理を
>>>学ばないとわからないことでしょうか?

楕円軌道もそうですし、面積速度一定もそうです。
「ラグランジアン」という概念を使って計算・導出します。
(「解析力学」と言います。)
ちなみに、大学で習って驚いたのですが、面積速度一定というのは、重力が「距離の2乗に反比例」していなくても、仮に何乗に反比例したとしても成り立つんです。

しかしながら、円軌道と楕円軌道については、小中学生でも直感的にわかる説明のしかたがあります。
絵を描くと簡単ですが、文章で説明してみます。

地上に、身長が数百~数万kmもある巨人が立っているとします。
巨人は水平方向にボールを投げます。
ボールのスピードが遅いと、巨人のすぐ前にぽとりと落ちます。
スピードを速くしていくと、落ちる場所がだんだん向こうになっていきます。
あるスピードでは、地球の裏側に落ちるという状況になります。
さらにさらにスピードを上げると、ボールは地球を1周して巨人の後頭部にぶつかります。
ぶつからないように、投げた後に姿勢を低くすると、ボールはいつまでも地球の周りを回ります。
これが円軌道です。
そのスピードを(大幅に)超えると、ボールはいったん地球から(大きく)離れて、そこから地球の付近に戻ってきます。
これが楕円軌道です。

彗星は太陽の周りを楕円軌道で回りますが、これは、はるか遠くにある「雪の球」が何かの拍子で太陽に向かって「落ちて」くることに由来します。
まっすぐ落ちたら太陽にぶつかりますが、多少ずれて落ちてくるので楕円軌道になります。

こんにちは。

>>>つまり、楕円軌道の焦点の一つが地球の中心であり、面積速度はどこでも等しく、

はい。そうなります。

>>>周期の2乗が長軸の3乗に比例することが成り立つと考えてよろしいでしょうか?

はい。成り立ちます。

>>>また、何で楕円軌道をするのかと思ってしまうのですが、その理由は大学で物理を
>>>学ばないとわからないことでしょうか?

楕円軌道もそうですし、面積速度一定もそうです。
「ラグランジアン」という概念を使って計算・導出します。
(「解析力学」と言います。)
...続きを読む

Qエネルギー保存の法則と運動量保存の法則

こんにちは。エネルギー保存の法則と運動量保存の法則の使い方の違いがわからなくなってきたので質問します。

以下は問題集中の問題と問いです。

問題:
「 なめらかで水平な床の上に、粗くて水平な上面を持つ質量Mの台Dが置かれている。台の上に質量mの物体Aを置き、水平右向きに初速voを瞬間的に与えたところ、Aが台上を運動し始めると同時に、台Dは床上をAと同じ向きに運動を始めた。

     →vo
     ・・・・・
 物体A・ m・
    ・・・・・・・・・・・・
 台D・ M      ・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

問:
 台Dと物体Aが一体となって運動する速度Voを求めよ。」

解答:
 物体Aと台Dを一体と考えると、A,Dに働く水平方向の外力が0である。よって、A,Dの運動量の和が保存される。
 よって、m・Vo+M・Vo=m・vo
よって、Vo=m・vo/(M+m)

[私の質問]
 この場合、エネルギー保存法則が成り立つと考えれば、
1/2・m・vo^2=1/2m・Vo^2+1/2M・Vo^2
∴Vo^2=m・vo^2/(M+m)
∴Vo=√(m/m+M)・vo
となり、結果が違ってくると思います。

この場合にエネルギー保存法則ではなく、運動量保存の法則を適用する理由(エネルギー保存法則を適用しない理由)は何でしょうか?

解説を願いします。

こんにちは。エネルギー保存の法則と運動量保存の法則の使い方の違いがわからなくなってきたので質問します。

以下は問題集中の問題と問いです。

問題:
「 なめらかで水平な床の上に、粗くて水平な上面を持つ質量Mの台Dが置かれている。台の上に質量mの物体Aを置き、水平右向きに初速voを瞬間的に与えたところ、Aが台上を運動し始めると同時に、台Dは床上をAと同じ向きに運動を始めた。

     →vo
     ・・・・・
 物体A・ m・
    ・・・・・・・・・・・・
 台D・ ...続きを読む

Aベストアンサー

運動量保存の法則:運動方程式と作用反作用から導かれる法則です。
運動量は運動方程式と
f = ma = m dv/dt
∫fdt = m v(t) - m v(0)
という関係にあります。
で、閉じた系を考えると、力があれば作用反作用で逆向きの力があります。
したがって、AとBというモノがあれば
f(A→B)=-f(B→A)
m(A) v(A;t) - m(A) v(A;0) = -{m(B) v(B;t) - m(A) v(A;0)}
となって、結局、
m(A) v(A;t) + m(B) v(B;t) = m(A) v(A;0) + m(B) v(B;0)
と変形できて
時刻tの「系全体の」運動量は、はじめの運動量と同じ
つまり運度量は保存されるとなります。
摩擦でお互い力を及ぼしあおうが、作用反作用として力を及ぼしあっている限りは
成り立ちます。もちろん外から力が加わった場合は成り立ちません。

エネルギーの法則:
こちらも運動方程式の積分なのですが、道のりにそっての積分です。
そして、道のりにそって変わらない量がエネルギーです。
力が場所の関数f(x)とすると、ある軌道x(t)について
∫f(x(t))dx = ∫m dv/dt dx = ∫m (dv/dt dx/dt) dt
= (1/2)∫m dv^2/dt dt = (1/2)m v^2(t)-(1/2)m v^2(0)
となります。
f(x)は場所の関数なのでxによる積分も場所だけの関数です。
なので
∫f(x(t))dx=F(x(t))-F(x(0))
とできます。したがって、
(1/2)m v^2(t)-F(x(t))=(1/2)m v^2(0)-F(x(0))
となります。これは、たとえば、力fが場所の関数ではなくて、速さvや
道のりによる関数だとすると成り立ちません(例:摩擦)

お互いに力を及ぼす場合はどうか?
同じで、互いの位置関係だけできまる力であれば上と同じ話になります。

で、運動量保存の法則とエネルギー保存の法則との使いわけは、
・閉じた系になっていて、内部での力のやり取りの詳細を考えないのが運動量保存
 ※そとから力が加わっている場合は使えない
・運動全体(運動方程式の両辺)を再現できるときに使うのがエネルギー保存の法則
 ※外から力が加わった場合にも外からエネルギーが入ってきたと考えればよい
という感じかな?受験テクニックとしてはこうなのかもしれませんが、
系全体をどのようにとらえるかとか、
熱の出入りがあって運動方程式の詳細がわからないときにどうするかとか
物理を勉強する上では問題はよい問題(問題文はあまりよくないと思いますが)だと思います。
がんばってください。

運動量保存の法則:運動方程式と作用反作用から導かれる法則です。
運動量は運動方程式と
f = ma = m dv/dt
∫fdt = m v(t) - m v(0)
という関係にあります。
で、閉じた系を考えると、力があれば作用反作用で逆向きの力があります。
したがって、AとBというモノがあれば
f(A→B)=-f(B→A)
m(A) v(A;t) - m(A) v(A;0) = -{m(B) v(B;t) - m(A) v(A;0)}
となって、結局、
m(A) v(A;t) + m(B) v(B;t) = m(A) v(A;0) + m(B) v(B;0)
と変形できて
時刻tの「系全体の」運動量は、はじめの運動量と同じ
つまり...続きを読む

Q物理の第二宇宙速度の考え方てきな質問

知ってると思いますが第二宇宙速度は地球の引力圏を脱出する最低限の速度です
力学的エネルギー(運動E+万有引力による位置E)が0になればいいのですがどの点で0になればいいんですか?つまりどのたかさで力学的エネルギーが0になればいいのかということです。

たぶん向進力と万有引力が吊り合う高さですよね?
でも第一宇宙速度を超えてることより楕円を描くので高さはその二力が吊り合ってもまちまちになりますよね?どこの位置で計算したらいいですか?

自分の感覚的には、おそらく第一宇宙速度を超えてることより楕円を描くのでその一番遠いところでエネルギーが0になればいいんじゃないのかなーと疑問に思ってます。

Aベストアンサー

>打ち上げる前のエネルギーが0の物体って動くんですか?

動く、動かない は運動エネルギーです。
運動エネルギーは0ではありません。
0になっているのは力学エネルギーです。
これは重力の位置エネルギーの基準を無限の遠方に取っているということから出てきた値です。
無限遠を基準に取っていますから無限遠での位置エネルギーの値が0になります。
無限遠でないところの位置エネルギーは負になります。
万有引力の影響下での運動で距離の範囲が限られている場合、力学エネルギーは負になります。真上に投げて戻ってくる場合でも、楕円運動でも力学エネルギーは負になっています。

mv^2/2=GMm/r
と書くと右辺は正です。

これは元のエネルギー保存の式で言えば
mv^2/2-0=0-(-GMm/r)

(地表での運動E)-(無限遠での運動E)=(無限遠での位置E)-(地表での位置E)
(運動エネルギーの減少)=(位置エネルギーの増加)

無限遠での運動エネルギーを0にしているところが「引力圏脱出の条件」になっています。
無限の遠方まで行くことができるという条件です。(これは既に書いたことの繰り返しです。)

>打ち上げる前のエネルギーが0の物体って動くんですか?

動く、動かない は運動エネルギーです。
運動エネルギーは0ではありません。
0になっているのは力学エネルギーです。
これは重力の位置エネルギーの基準を無限の遠方に取っているということから出てきた値です。
無限遠を基準に取っていますから無限遠での位置エネルギーの値が0になります。
無限遠でないところの位置エネルギーは負になります。
万有引力の影響下での運動で距離の範囲が限られている場合、力学エネルギーは負になります。真上に投...続きを読む

Q2物体の衝突で運動量保存の法則とエネルギー保存の法則から

2物体の衝突で運動量保存の法則とエネルギー保存の法則から

mv+MV=mv'+MV'
(1/2)×mv^2+(1/2)×MV^2=(1/2)×mv'^2+(1/2)×MV'^2

の2式が成り立ちますが、この2式からV'を消去し、式変形をすると

(1/2)×mv^2-(1/2)×mv'^2=4mM/(m+M)^2×{(1/2)×(M-m)vV+(1/2)×mv^2-(1/2)×MV^2}

が導けるとのことですがどうしても求められません。お手数ですが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

gjb514さん こんにちは。

お尋ねの式変形ですが、概略を以下に示します。

mv+MV=mv'+MV' …(1)
(1/2)×mv^2+(1/2)×MV^2=(1/2)×mv'^2+(1/2)×MV'^2 …(2)

(1)より mv-mv'=MV'-MV …(1)’
(2)より mv^2 -mv'^2 = MV'^2 - MV^2
因数分解して
 (v-v')(mv-mv')=(V'+V)(MV'-MV) …(2)’
(1)’、(2)’より
v-v'=V'+V (なお、この式自身は反発係数=1からすぐ導けます。)
∴V'=v+v'-V …(3)
(1)、(3)より
v'={2MV-(M-m)v}/(M+m) …(4)
この(4)を
 (1/2)mv^2-(1/2)mv'^2
に代入してみてください。

Q高校物理、第2宇宙速度

(問題)
地上から真上に打ち上げられたものとして、第2宇宙速度を求めよ。ただし、地球の半径をR,地上の重力加速度の大きさをgとする。
(解答)
地球の質量をM,物体の質量をmとする。求める初速度をv0とする。物体と地球の距離がrとなった時の物体の速さをvとすると、
1/2mv0^2-GMm/R=1/2mv^2-GMm/r((1))
(1)について、rが大きくなるにつれて、vは減少する。有限なrにおいて、v=0となれば、万有引力によって、物体は地球に戻ってしまう。よって、地球に戻らないためには、v=0となれば、万有引力によって、物体は地球に戻ってしまう。よって、地球に戻らないためには、r→∞の時、v≧0でなければならない。このとき、(1)の右辺≧0となるから、1/2mv0^2-GMm/R≧0⇔v0≧√2GM/R
(疑問)
(1)v=0となれば、万有引力によって、物体は地球に戻ってしまう。とは具体的にはどういうことでしょうか?

(2)r→∞の時、v≧0でなければならないとはr→∞で成り立てば、有限なrに関してもv≧0だからですか?

Aベストアンサー

(l)ボールを投け“あげて、途中で止まれば落ちてくるということです。
(2)そういうことになりますね。

ようするに初速の運動エネルギーが地表から無限遠
までの位置エネルギーより大きいなら
力学的エネルギー保存則により
止まりません。

Q弾性エネルギーと力学的エネルギー保存の法則

ばねの上におもりが乗せて手を離す。物体の速さが最大になるのは、はじめの高さからいくら下がったところか。という問です。
計算過程でどうしてもわからないところがあります。
力学的エネルギー保存の法則から
0=-mgx+1/2mv^2+1/2kx^2 
ここからが特にわかりません。
1/2mv^2=-1/2k(x - mg/k)^2+m^2g^2/2k

になるようですが、さっぱりわかりません。
xが(x - mg/k)にかわっている意味がわかりません。
どっから来たかわかる方がいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

0=-mgx+1/2mv^2+1/2kx^2 
移行して
1/2mv^2=1/2kx^2-mgx
1/2mv^2=yとおくと
y=1/2kx^2-mgx
後は平方完成してyの最大値を出したらよいと思います。

Q高校物理、静止衛星(第一宇宙速度)

静止衛星は赤道上空を地球の自転と同じ向きに同じ周期で運動しているため、地上から静止して見える。静止衛星の軌道半径rを地上における重力加速度の大きさg、地球の半径R、地球の自転周期Tを用いて表せ。
(疑問)
(1)衛星の軌道半径、地球の半径の関係は図のようで正しいでしょうか?
(2)解答が教科書についていないので、計算過程を教えてください。

Aベストアンサー

図はこれでいいと思いますよ。

万有引力定数をG、地球および物体の質量をMおよびmとして、物体に加わる重力は
G・M・m/R^2
と表され、また地上における重力加速度を用いて
mg
とも表せるので両者を等しいとおいて
G・M・m/R^2=mg
G=g・R^2/M

よって軌道半径rにおける万有引力は
G・M・m/r^2=mg・R^2/r^2

これが遠心力と釣り合うので
mg・R^2/r^2=mrω^2
ωは角速度なので2π/T
mg・R^2/r^2=4π^2・mr/T^2
これをrについて解いて下さい。

Q運動エネルギー、ニュートンの式、エネルギー保存の法則について

物理を独学で勉強しはじめばかりの大学生です。宜しくお願いします。

運動エネルギーは、
K=1/2mv^2で、
ニュートンのv^2 - v0^2 = 2 a Sという式を基本にして、
定義されたものですよね。

つまり、ΔK=ΣW=∫ΣFdx=∫madx=∫mvdvの証明。

そして、このニュートンの式に(1/2)を掛けると、
単体の物体の動きに関するエネルギー保存の法則が定義されます。

ところで、光の速度に近い物体の運動エネルギーに関しては、
K=1/2mv^2では、定義できず、

K=mc^2(1/root(1-(v/c^2))-1)で定義されるということです。

つまり、この場合は、K=1/2mv^2を導いた基本式である、
ニュートンの法則が成り立たないということですよね。

しかし、そうなると、エネルギー保存の法則がなりたたないということになります。

そんなことが起こりえるのですか?

また、K=mc^2(1/root(1-(v/c^2))-1)の式は、
どうやって導きだされたのでしょうか?

物理を独学で勉強しはじめばかりの大学生です。宜しくお願いします。

運動エネルギーは、
K=1/2mv^2で、
ニュートンのv^2 - v0^2 = 2 a Sという式を基本にして、
定義されたものですよね。

つまり、ΔK=ΣW=∫ΣFdx=∫madx=∫mvdvの証明。

そして、このニュートンの式に(1/2)を掛けると、
単体の物体の動きに関するエネルギー保存の法則が定義されます。

ところで、光の速度に近い物体の運動エネルギーに関しては、
K=1/2mv^2では、定義できず、

K=mc^2(1/root(1-(v/c^2))-1)で定義...続きを読む

Aベストアンサー

> K=mc^2(1/root(1-(v/c^2))-1)の式は、
> どうやって導きだされたのでしょうか?
これは相対性理論の教科書に載っていると思います.
ニュートン力学はガリレイ変換不変な理論,
相対論はローレンツ変換不変な理論という違いにより,
ニュートン力学の運動エネルギーとは形が異なります.


> しかし、そうなると、エネルギー保存の法則が
> なりたたないということになります。
> そんなことが起こりえるのですか?
K=mc^2(1/root(1-(v/c^2))-1)
の式を v が光速 c に比べて遅いときの近似すると
K = mc^2{1-(v/c)^2}^{-1/2} - mc^2
 ≒ mc^2{1-(-1/2)*(v/c)^2} - mc^2
 = mc^2*(1/2)*(v/c)^2
 = (1/2)mv^2
となり,ニュートン力学の結果と一致します.
すなわち,ニュートン力学のエネルギー保存の式は
速度が遅いときに近似的に成り立っているということです.

Q公転速度と第2宇宙速度

公転速度は秒速30㎞なのに
第2宇宙速度は秒速11㎞です。
公転速度と第2宇宙速度の違いは何ですか?

Aベストアンサー

WIKは下記のように説明しています

もう回答は出ていますが

地球から水平に秒速約7.9kmで打ち出すと、
地球を円軌道で回る人工衛星となります。
そのために必要な速度を「第1宇宙速度」といいます。
打ち出し速度を11.2kmにすると地球の重力を脱出して太陽のまわりを回る軌道にのり、
この速度を「第2宇宙速度」または「脱出速度」といいます。

Qエネルギー保存の法則と暗記の法則

素人です
くだらない質問でカテ違いかも知れませんが。。

エネルギー保存の法則から考えると
どういうエネルギーでも形を変えても相殺されると言うことですよね
その場合暗記のメカニズムについてその法則と関連付けていつも疑問に思うことがあります。

たとえば一冊600ページある資格問題集を3ヶ月かけて3回こなすとします。
その時
1ヶ月×1冊600ページ×3ヶ月とする場合と
1ヶ月200ページ分×3回×3ヶ月する場合とでは
私にとって前者の場合よりも後者の方が暗記としては
記憶に残ります。
これってエネルギー保存のメカニズムから行くと同じ期間で同じ量をどう言う形でこなしても記憶量は同じになるような気がしますがまた違う物なのでしょうか?

Aベストアンサー

人間の頭の記憶のしかたが、入ってきた入力データを100%保持する分けでは無いので、出力されるデータが100%ではない。エネルギー保存則はあたえられたエネルギーが100%なにかに転換されるといった事では全くありません。ある時点での全エネルギーが観測されたとすると、どのくらい時間がたっても同じ全エネルギーが観測されると言う意味です。運動量保存則とか重心の位置保存則とかと同義で、なんでエネルギー保存則を持ち出してきたのかは疑問ですが。

人間や哺乳類など神経系ネットワークが記憶機関なすような生物においては、記憶のメカニズムというものがあります。

常に呼び起こす必要がある、頻繁に呼び起こす必要がある記憶以外は、忘却の彼方へ飛び去ります。これによって生物は危険を回避してきた分けです。

一ヶ月200ページ分を三回やる場合、忘却する前に記憶を呼び起こしているので、忘却を抑える方法を取っています。

一方一ヶ月後に同じ記憶を呼ぶような一ヶ月に一冊をやると言う方法だと、記憶が弱くなっているので、忘却されやすいのです。

記憶を強くするには頻繁に、覚えたいことを思い出すという操作が必要になるのです。人間が良い思い出や鮮烈に嫌な思い出を長い間保持しているのは、その思い出を定期的に思い出すという行為を行っているからなのです。

記憶することと理解することは別問題です。エネルギー保存則を正しく理解されていないようなので^^;さらにいうと記憶を増幅する為には記憶する事象を理解する必要があるのはいうまでもありません。

人間の頭の記憶のしかたが、入ってきた入力データを100%保持する分けでは無いので、出力されるデータが100%ではない。エネルギー保存則はあたえられたエネルギーが100%なにかに転換されるといった事では全くありません。ある時点での全エネルギーが観測されたとすると、どのくらい時間がたっても同じ全エネルギーが観測されると言う意味です。運動量保存則とか重心の位置保存則とかと同義で、なんでエネルギー保存則を持ち出してきたのかは疑問ですが。

人間や哺乳類など神経系ネットワークが記憶機関なす...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報