スペースシャトルの速度について

単位のことについて聞きたいのですが、速度を求めたいときに

重力加速度g=9.8m/s^2、半径r=6500km=6,500,000mとおき、

mg=mrω^2

よって、ω^2=g/r
両辺1/2乗し、ω＝g^0.5/r^0.5

v=rω=(gr)^1.5=8000m/s=28800km/h

と書いてあるのですが、（gr)^1.5は（gr)^0.5ではないでしょうか？

また、どうも8000m/sという計算過程がわかりません。
とんでもなく大きい数になってしましいます。

ご教示できればありがたいです。

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2011/10/20 04:59

秒速８ｋｍという値は地球周回軌道に乗るための最低の速度になります。

第１宇宙速度と言われています。
この値を計算する時には軌道半径としては地球の半径を使います。６４００ｋｍです。
その距離での引力の大きさが地表での重力になりますからＦ＝ｍｇになります。
万有引力の表現を用いるとｍｇ＝ＧｍＭ／Ｒ^2　ｇ＝ＧＭ／Ｒ^2です。
人工衛星の軌道半径をｒとするとＦ＝ｍｇ(Ｒ／ｒ)^2になります。
この問題ではｒ＝６５００ｋｍとしています。地上１００ｋｍと高さを変えているのですからＦの値もｍｇではなくて上の式に従って変えておく必要があると思います。この場合計算するとｇ＝９．５ｍ／ｓ^2　です。

この時の周回速度はｖ＝√(９．５×６．５)[km/s]です。第１宇宙速度はｖo＝√(９．８×６．４)[km/s]
ですからｖ＜ｖoです。どちらにしても秒速８ｋｍには変わりがないというのはこの式を出したうえでの計算の結果の話です。（ｖo＝７．９km/sでなくて８km/sでいいのであれば　９．８≒１０　とすれば　ｖo＝√６４＝８がでてきます。ｖ≒ｖoであるというのは式を見れば分かります。）
秒速で表した時が有効数字１桁であれば時速に直しても１桁でないとおかしいです。２８８００km/hという数字は「？」です。時速３万kmです。


こういう扱いを無意識にやっていると静止衛星の問題ではアウトになってしまいます。

第１宇宙速度は地球周回軌道に乗るために必要な最低（打ち上げ）速度です。最低の周回速度ではありません。
周回速度は必ず第１宇宙速度よりも小さいです。
これを混同している人が結構いるようです。注意が必要です。

No.3 回答者： KaitoushaA 回答日時： 2011/10/19 19:33

計算はできませんが、毎秒８キロメートル位の速度がないと地球周回軌道には乗れないと思います。

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2011/10/19 19:30

>（gr)^1.5は（gr)^0.5ではないでしょうか？

おっしゃるとおりですね。

>8000m/sという計算過程がわかりません。

v = rω = (gr)^0.5 = √(9.8×6500000) ≒ 8000 [m/s]

ということでしょう。

No.1 回答者： nananotanu 回答日時： 2011/10/19 19:17

>、（gr)^1.5は（gr)^0.5ではないでしょうか？

そうです

>どうも8000m/sという計算過程がわかりません。
単に、9.8と6,500,000を代入して計算するだけですが？
電卓でも出ますよ。

(9.8×6,500,000のルート)