相対性理論。光が到着する時間が何故異なる。

宇宙空間で２つのロケットAとBが光速の0.6倍の相対速度で互いに反対方向に飛んでいる。
時刻０ですれ違いその後離れていった。
ロケットAが1年後にロケットBに向けて光を発射した。
ロケットBに光が到着するのはロケットAの時間で何年後になるのか。ロケットAに乗っている乗員の立場で考えてみる。

ロケットAが静止していると考えると、ロケットBは速度0.6光速で遠ざかっている。
ロケットBに光が到着する時刻をT年後とする。その間にロケットBは0.6CxTだけ離れる。
この距離とロケットBが1年で走った距離を光は時間Tで走ることになる。
0.6CxT+0.6Cx1=CxT、すなわちT=0.6/(1-0.6) = 1.5年後となる

次に、ロケットAが動いていて、ロケットBが静止していると考えてみる。
１年後、ロケットAはロケットBから距離0.6Cx1だけ遠ざかっている。このときロケットAから光を発射する。光速は光源の速度に依存しないから、この距離を光は光速Cで飛んでロケットBに到着する。その時刻をT年後とすると、
0.6Cx1=CxT、すなわち、T=0.6年後となる。

運動は相対的だから、ロケットAが静止していようが動いていようが、ロケットBに光が到着する時刻は同じはず。ところが違ってしまった。どこを間違えてしまったのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 時間はすべてロケットAでの時間です。
  ロケットAとロケットBがすれ違った瞬間を時間の原点とします。
  ロケットAに乗っている乗員がロケットBに向けて光を発射した後、その光がロケットBに到着するまでの時間をAの時間として考察する問題です。

    補足日時：2017/04/04 21:54

• どうも質問の仕方が悪かったようです。
  「Aが動いている場合でもT=1.5年後となる。これはしかじかの理由による」と言うような回答が欲しかったのですが。これはあまりにのも自明のことすぎて、質問になってなかったようですね。申し訳ありません。
  
  なお、この件は、時計の同期の定義として自己解決しました。
  ありがとうございました。
  ご回答下さった方々にはこの場を借りてお礼申し上げます。

    補足日時：2017/04/09 10:01

No.10 回答者： kothimaro 回答日時： 2017/04/12 20:00

「光速度不変の原理」とは、静止して光を観測しても移動しながら光を観測しても、光の速度は秒速30万キロと測定されると言うものです。

　例えば、時速100キロの電車を静止して観測すると、その速度は時速100キロです。しかし、時速50キロの車で追いかけながら電車を観測すると、電車の速度は時速50キロと測定されます。時速50キロの車に乗って電車と対面する形で観測すると、電車の速度は時速150キロと測定されます。

　移動する車から見た電車の速度を、電車の相対速度と言います。「光速度不変の原理」とは、光の相対速度は秒速30万キロで不変であると言うものです。つまり、光を秒速15万キロで並走しながら観測しても、同速度で光と対面する形で観測しても、光の相対速度は秒速30万キロで変らないというのです。これは、常識に反するため、大変理解しがたいのです。

　ではなぜ、この様な考え方が必要だったのでしょうか。
　電磁気力は、光の一種である電磁波が、電荷を帯びた物質間を往復することで生じます。そして、電磁気力の強さは物質間の距離の2乗に反比例します。つまり、電磁波が物質間を往復するのに要する時間の2乗に反比例するのです。
　電荷を帯びた2つの物質が並走しながら電磁波を交換すると、静止している場合に比べて、電磁波の往復距離は長くなります。即ち、電磁波の往復に要する時間が長くなるので、生じる電磁気力の強さは弱くなる筈です。
　しかし、現実には、静止していても移動していても、生じる電磁気力の強さは変りません。

　この謎を説明するために、アインシュタイン博士は、移動する2つの物質から見た電磁波の相対速度は、秒速30万キロで不変であると考えたのです。これで、静止していても移動していても、電磁波は同じ時間で物質間を移動します。だから、生じる電磁気力の強さは、物質の移動速度にかかわらず不変となると説明しました。

　しかし、幾らなんでも、秒速30万キロの光を秒速15万キロで追いかけても、同速度で光と対面しても、光の速度は秒速30万キロで変らないと言うことは理解出来ません。

　そこで次のような思考実験を行います。
　電荷を帯びた2つの物質を、一本の剛体の両端に取り付けます。そして、この装置を秒速vキロで移動させます。この2つの物質間を電磁波は往復します。
　この時、電磁波の移動距離は、進行方向(横方向)に剛体棒を向けた時静止時の1/（1－ｖ＾2/ｃ2)倍、上下左右方向(縦方向)に向けた時静止時の1/√(1－ｖ^2/ｃ^2)倍となります。
　一方、秒速vキロで移動する物質は「ローレンツ収縮」し、横方向に√(1－ｖ^2/ｃ^2)倍短くなります。従って、剛体棒の長さは、横方向に√(1－ｖ^2/ｃ^2)倍短くなるので、電磁波の横方向の往復距離は、静止時の1/（1－ｖ＾2/ｃ2)×√(1－ｖ^2/ｃ^2)=1/√(1－ｖ^2/ｃ^2)倍と、縦方向の往復距離と同じとなります。
　この仕組みにより、マイケルソンとモーレーの実験では、縦方向に往復させた光と横方向に往復させた光とが、同時に戻ることが出来たのです。

　従って、秒速vキロで移動する場合、電磁波の往復距離は静止時に比べて1/√(1－ｖ^2/ｃ^2)倍となります。つまり、電磁波の往復時間は、静止時の1/√(1－ｖ^2/ｃ^2)倍となります。

　一方、高速で移動すると物質は動き難くなります。この現象は、粒子を加速器で加速する際に見られます。粒子は光速に近づく程、加速し難くなります。秒速vキロで移動すると、静止時の√(1－ｖ^2/ｃ^2)倍しか動けません。従って、時計は1秒間に√(1－ｖ^2/ｃ^2)秒を刻む様になります。

　こうして、秒速vキロで移動する慣性系では、電磁波の往復に要する時間は、静止時の1/√(1－ｖ^2/ｃ^2)倍×√(1－ｖ^2/ｃ^2)倍=1倍となります。つまり、電磁波の往復に要する時間は、移動速度に関係なく不変なので、生じる電磁気力の強さも移動速度に影響されず不変なのです。

　この様に、現実には往路と復路の光速度は異なりますが、物理学の計算上一々往路と復路の光速度よりそれに掛る時間を計算し、生じる電磁気力の強さを求めることは無駄です。
　生じる電磁気力の強さは、電磁波の往復に要する時間の2乗に反比例するのであり、往復に要する時間は不変なのですから、往路と復路共に光速度不変と仮設して計算します。

　その様に仮設したのがローレンツ変換
①t’= (t－Vx/C^2) / √（1－ｖ^2/ｃ^2）
②x’=(x－Vｔ)/√（1－ｖ^2/ｃ^2)
③y’= y　④z’= z　⑤C’=C
です。

　物質は質量があるので、上記のとおり高速で移動すると動き難くなりまたローレンツ収縮する為、光速度が不変と測定されます。
　x=光の進んだ距離=Ct㎞、t=光の進んだ時間、V=もう一方の光の速度=C㎞/秒を①と②に代入すると
x'÷t'=C
と光速度不変となります。

　この様に、高速で移動すると時計が遅れ定規が収縮するので、V慣性系では時間と空間の座標が変化するのです。決して、時間と空間そのものが変化する訳ではありません。
時間と空間は絶対であり、光速度は物質が変化するので、不変と観測されるだけです。

　詳細は、下記のホームページを参照下さい。
http://www.geocities.jp/labyrinth125064/kousokud …

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/04/09 22:52

>「Aが動いている場合でもT=1.5年後となる。

これはしかじかの理由による」
Aが静止している座標系でのみ1.5年後になります。
Aが動いている座標系では1.5年後にはなりません。

No.8 回答者： psytex1 回答日時： 2017/04/09 00:30

#7の者です。

相対性理論の基本ですが、「光速不変」という時の
『不変』は、観察者に対して必ず光速である、と
いう事です。
相対運動を任意に固定した時点で、相対性理論を
理解していません。

No.7 回答者： psytex1 回答日時： 2017/04/08 22:12

AとBが共通の時空に存在している、と考えている時点で、

既に相対性理論ではありません。
そもそも、Aから見ればBの時間が遅れ、Bから見れば
Aの時間が遅れるので、同じ時空には存在し得ないのです。
あらゆる相対運動ごとに、無数のパラレルワールドが
生じるのですから、「AとBとで違ってしまった」といった
普遍的な絶対時空を前提とした疑問は、生じません。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/04/08 21:07

>次に、ロケットAが動いていて、ロケットBが静止していると考えてみる。

>１年後、ロケットAはロケットBから距離0.6Cx1だけ遠ざかっている。
>このときロケットAから光を発射する。光速は光源の速度に依存しないから、
>この距離を光は光速Cで飛んでロケットBに到着する。
>その時刻をT年後とすると、
>0.6Cx1=CxT、すなわち、T=0.6年後となる。

これを正しい相対論を使って書き直してみましょう。
相対論ではロケットAが静止していて A が原点の座標系 x, t と
Bが静止していてBが原点の座標系 を x', t' とすると、 t=t' =0で x=x'=0 とすれば
V = v/c (vは B のAに対する相対速度) Vは vの光速に対する比。
D = 1/√(1-V^2)
S = V/√(1-V^2)

とすると

ct = Dct' + Sx'
x = Sct' + Dx'

になります。ここで
D = 1/√(1-0.36)=1/√0.64=1/0.8=1.25
S = 0.6/C = 0.75

なので
ct = 1.25ct' + 0.75x'
x = 0.75ct' + 1.25x'

これの逆変換は v の符号が変わるだけなので

ct' = 1.25ct - 0.75x
x' = -0.75ct + 1.25x

これがこの問題を扱うための基礎方程式です。BとAの時間と位置の関係は
単純な一次変換になります。

>１年後、ロケットAはロケットBから距離0.6cx1だけ遠ざかっている。

これを t=1年 で ロケットB が x = 0.6光年 の位置にいるとしましょう。
ではロケットBの座標系から見るとどうなるでしょうか？

ロケットBはx', t' 座標系で静止(x'=0)していますから
x' = 0, t=1年 を入れれば直ちに
t' = 1.25年 が出てきます。
つまり 「B から見ると」、Aとすれ違ってから A が光を発するまで
1年以上かかるのです。この時 「B から見た」A の位置は

t=1年、x=0 から　x’= -0.75光年 となります。

Aからみて Aが発する光が B に届くのは 1年 + 1.5年 だから t=2.5年。
すなわち x = 2.5年 x 0.6c = 1.5光年 ですが
これをロケットBの座標系であらわすと

t'=2.5年 x 1.25 - 0.75 x 1.5年 = 2年
x'=-0.75x2.5光年 + 1.25 x 1.5光年=0
(ロケットが静止している座標系なので当然0)

以上のようにAから発した光が届く時刻は ロケットAの座標系で観測した場合と
ロケットBの座標系で観測した場合とで異なることになります。

以上ですが、「ロケットAの座標系で観測した場合」と「ロケットAの時計」
はどう違うのかとか、もし相対性理論のごく基本的なことがわかって
いないなら、ちゃんと時空の意味を詳説した相対性理論の入門書を
見ることから始めてください。まず正確な時空の定義を頭に入れないと
どうしようもありません。

＃さしあたり、悲しいですが、私の知る限り、相対性理論の時空の定義を
＃平易に解説した本は全て絶版になってます。
＃是非図書館で「時空の物理学」という大型本を探してください。
＃古本で探すと3万円もします。世も末だ。

No.5 回答者： puyo3155 回答日時： 2017/04/06 22:59

まあさ、がんばってよ。

それが相対性理論を学ぶってことだから。
自分の既存概念で反論しているうちは、永遠にたどり着けないよ。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2017/04/04 20:00

ご質問の計算はいろいろ間違っていて、正しい計算はNo.3にお示しの通り。

　もちろんAの固有時での経過時間とBの固有時での経過時間を比べても同じ数値にはならないのであり、だからこそそれぞれの固有時というものを考えざるをえないのであり、だから離れた所での「同時」ってのは観測者の運動に依存するのであり、だから一筋縄では行かない。面白いトピックですよね。相対性理論を最初に独習したときには頭こんぐらがったんだよなあ。（遠い目）

No.3 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/04/04 10:55

まず、「１年」などの時間をどこから測ったものかが不明です。

そこで、光源がＡにあることから、Ｂに光が到達する時間を計算してみます。
ちなみに、速度Ｖで運動している系の時間Ｔ'＝T√(1－V^2/C^2)　・・・T：静止している系の時間

Ａが静止している場合：
質問に書いてある時間1.5年に光を発するまでの時間１年を足して、Ｂに光が到達する時刻は2.5年です。
これをＢからみると
TB=2.5年×√{1－(0.6C/C)^2} ＝２年
となります。
Ｂが静止している場合：

光源はＡにあるので、「１年後」とはＡに対して１年後のはずです。この「１年後」をＢから見た時間tBは
1年＝tB×√{1－(0.6C/C)^2}
したがって、tB＝5/4年
この間Ａの進んだ距離は0.6C×5/4
この距離を光が進む時間は、この距離をCで割ればいいので、
0.6×5/4
したがって、Ｂが光を受け取る時刻TB’は
TB’＝5/4 ＋ 0.6×5/4 ＝２年

上記のようになりますので、時間は一致します。

どこを間違えたかと言いますと、

どこから見た時間を考えているのか曖昧であった事
相対論的な時間を用いていない事

の２点だと思います。

参考になれば幸いです(^^v)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

Bが静止している場合、
Aの1年はBにとっては1x5/4年、ということは、Bの0.6X5/4年はAにとっては0.6年ということですね。

お礼日時：2017/04/05 20:17

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/04/04 10:47

「運動は相対的だから」とおっしゃっているように、「時間も相対的だから」です。

その「時間」の概念を変えたのが「相対性理論」です。「時間は絶対（共通）」という観念は捨てないといけません。

「到着する時刻は同じはず」なのに「同時でない」のは、「時間の進み方」が違うからです。

No.1 回答者： doc_somday 回答日時： 2017/04/03 21:54

専門家では無いので、無視されても結構ですが、ＡとＢは完全に並進的しているので、両者に乗った観測者は同じ物を見ます。

ですから光速に何かを足したり引いたりしてはならない。
あなたの系には重大な欠陥があるそれは少なくとも、「0.6CxT+0.6Cx1=CxT」にある。そしてあなたの観測者は等価で無い、一方の観測者は他方の「時間が遅くなった」観測者を自分の時計では計れない。これは相対論まで行って居らずローレンツ短縮の世界なので、光速一定を導入すると混乱します。