双子のパラドックス

Question

またか、、、の題目ですが、本を読んでもいまいち納得できません。（というか人によって説明の根本が全然違うような、、、）

双子の兄弟の一人が高速で宇宙旅行をしてきた場合、旅行中、相手系の時間が遅れて見えるのはおたがいさまだが、実際帰ってきて時計を突き合わせると旅行してきた方の時間経過がすくない。これは相対性理論の効果が目にみえるほどの高速に達するための加速、そしてＵターン、などの加速を旅行した方の兄弟は経験したからである。

と、私の様に数式がわからない者向きには通常説明されているようなのですが、（○ルーバックスとか）

では、宇宙船ＡとＢが同時に地球を出発する。同時間を要して同じ高速に達した後、Ａは１年間等速航行をし、Ｕターンして帰ってくる。一方Ｂは100年間等速航行を続けた後地球に帰ってくる。Ｕターンや着陸に際する減速はＡと全く同じ条件で行う。

とすると、Ａ，Ｂが旅行中に受けた加速は同じであるため、地球との時間の「差」はＡも200年後に帰ってきたＢも同じである、となると思うのですが。それって俗に言われる年をとらない宇宙旅行の概念と合わないような、、、

よって、「旅行組は多大な加速を経験してきた。というわけで、旅行してきた双子の方が若いのである。」という説明はゴーインすぎる、というのが今の個人的結論なのですが。

この考察の誤りの指摘、もしくは矛盾を感じさせない双パラの説明をご存知の方、教えてください。

Rossana · Accepted Answer

一般相対性理論からの結論を言うと、重力場の中の位置Ａにある時計の進み方は、Ａから重力の方向に隔たった位置Ｂにおけるよりも速く、その速さの比率は、重力が強いほど大きく、また、ＡＢ間の距離が長いほど大きく、ＡＢ間の距離が０ならば時計の進み方の変化は起こりません。
　したがって、地球の離着陸の際には宇宙船と地球との距離がほとんど０であるため、宇宙船基準系での地上時計と宇宙船内時計の進み方の違いを引き起こすことはありません。
　ところが、向きを変えて地球に向かう時は減速のときも加速の時も常に地球の方向へ加速度が生じています。つまり、重力場は常に地球と反対方向へ向くので、上記の結論から宇宙船基準系では地上時計の方が速く時を刻むこととなり、宇宙船が地上に戻ってきた時、地上にいた人のほうが年を取っていることになり、双子のパラドックスは解消されます。

Rossana · Answer

＞私の様に数式がわからない者向きには通常説明されているようなのですが、（○ルーバックスとか） 
guntaさんの上記の本って下の本ですか？

BLUE BACKS 
図解・わかる相対性理論～数式なしできちんと理解できる～ 
著：池田和義 

私はこの本、結構分かりやすかったのですが。（分かりやすいといってもじっくり読まないといけないが。）専門家のように高度な数式は使えない人にはお勧めだと思います。本当に理解するためには高度な数学を学ばなければいけないと思います。だけどそれが不可能ならやっぱりこの本がいいと思いますよ。なんて言うんだろう小学校の鶴亀算で連立方程式を解いたような感じ。重力場の事に関しては後ろの方のページに書かれています。私はぜひこの本をお勧めします。

redbean · Answer

＞Ａ，Ｂが旅行中に受けた加速は同じであるため、地球との時間の「差」はＡも200年後に帰ってきたＢも同じである、となると思うのですが。

という部分が相対性理論の予想と異なっています。

重力のある場所では、高いところにある時計は低いところの
ものより先に進む、という話はご存知でしょうか。これは
一般相対論による結論なのですが、これを考慮に入れて
みましょう。

宇宙船の中にいる観測者から見ると、宇宙船がＵターン
するとき（簡単のため直線的に折り返すとします）地球と
反対方向から重力で引っ張られるのと同じ感覚を経験
します。同時に、地球はこの重力に引っ張られて放物線を
描くように見えます。全体として宇宙船と地球は重力場に
あるのと同じとみなせます。これがいわゆる「等価原理」
です。

さて、このとき「高いほう」にあるのはどちらでしょうか。
重力源が地球と反対方向にあるとみなせるのですから、
地球のほうが高いところにあると言えます。それで、
折り返し時は地球の時計がどんどん先に進んでしまう
のです。宇宙船ＡからみるよりもＢから見たほうが、より
高いところにあるのですから、時計の進みもより大きく
なります。結局、地球時間とのずれはＢのほうがより
大きいということになります。

地球上の観測者から見たときは、重力場はありませんので
（地球の重力は小さいので無視）単に「走っている時計は
遅れる」で考えればいいのです。

Mell-Lily · Answer

いま、慣性系Aに対して、慣性系Bは右向きに、慣性系Cは左向きに等速運動をしているとします。Aの時計aとBの時計bが、空間の同一点において時刻0を指しました。Aの観測者一郎にとって、aが3を指したとき、bは2を指しました。bが2を指したとき、Cの時計cはbと同一点で2を指しました。aが6を指したとき、cはaと同一点で4を指しました。
Bの観測者ニ郎にとっては、bが2を指したとき、aは2×2/3＝4/3を指します。Cの観測者三郎にとっては、cが2を指したとき、aは、3＋(3－4/3)＝14/3を指します。三郎にとっては、cが4を指したとき、aは、14/3＋2×2/3＝18/3＝6を指します。
これを双子のパラドックスに見たててください。つまり、甲は観測者一郎、乙はbが2を指す前までは観測者二郎であり、bが2を指した後では三郎です。すると、どちらからみても辻褄が合うことになります。

Mell-Lily · Answer

双子のパラドックスには、加速度系が含まれていますが、特殊相対性理論の範囲では、一般的には、加速度系を扱うことはできません。しかし、地球と一定速度の宇宙船AとBの、三つの慣性系を設定することによって、この加速度系を回避することができます。

双子の弟次郎君は、地球に向かってやって来た宇宙船Aに飛び乗ります。次郎君がしばらく宇宙旅行をしていると、向こうから宇宙船Bがやって来たので、今度は、そちらに飛び移ります。その後、宇宙船Bが地球を通過するとき、次郎君は地球に飛び降ります。その間、双子の兄太郎君は、地球で弟の帰りを待っていました。

この設定でも、本質的には双子のパラドックスと同じことになります。しかし、こちらでは特殊相対性理論で話が間に合います。この設定でも、次郎君が宇宙船Aと宇宙船Bに乗っている間は、次郎君からみた地球の時間はゆっくり進みます。一方、太郎君からみた次郎君の時間もゆっくり進みます。では、どこで差がついたのかと言いますと、それは、次郎君が、宇宙船Aから宇宙船Bに飛び移ったときなのです。
次郎君が、宇宙船Bに飛び移る直前、次郎君にとって、地球にいる太郎君の時計は、次郎君の時計より遅れています。しかし、次郎君が、宇宙船Bに飛び移った直後、次郎君にとって、地球にいる太郎君の時計は、次郎君の時計より進んでいるのです。これは、とても奇妙なことのように思えますが、この原因は、「同時性の相対性」にあります。
慣性系αと慣性系βが相対運動をしているとき、αとβの各点に置いた時計群の時間をそれぞれ合わせます。αからみて、αの時計は、また、βからみて、βの時計は全て合っています。いま、αのある時計とβのある時計が交錯したとき、どちらの時計も同じ時刻を指していたとします。このとき、αからみれば、αの時計は、また、βからみれば、βの時計は、全てこの時刻を指しています。しかし、αからみて、βの時計は、一つの時計以外は、全てこの時刻とは違う別々の時刻を指しているのです。これは、βからみても同様です。

Mell-Lily · Answer

Aが一年後に宇宙旅行から帰ってきたとき、地球では三年の時間が経っていたならば、Bが百年後に宇宙旅行から帰ってきたときには、地球では三百年の時間が経っています。つまり、感じた加速度によって、経過する時間が決まってくるわけではありません。
『アインシュタインの時間』解き明かされる相対性理論のパラドックス（1998年 ニュートンプレス 前田恵一著 1,400円）という本が参考になると思います。

双子のパラドックス

＞私の様に数式がわからない者向きには通常説明されているようなのですが、（○ルーバックスとか）

＞Ａ，Ｂが旅行中に受けた加速は同じであるため、地球との時間の「差」はＡも200年後に帰ってきたＢも同じである、となると思うのですが。

いま、慣性系Aに対して、慣性系Bは右向きに、慣性系Cは左向きに等速運動をしているとします。

双子のパラドックスには、加速度系が含まれていますが、特殊相対性理論の範囲では、一般的には、加速度系を扱うことはできません。

Aが一年後に宇宙旅行から帰ってきたとき、地球では三年の時間が経っていたならば、Bが百年後に宇宙旅行から帰ってきたときには、地球では三百年の時間が経っています。

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