GPSと相対性理論の関係について

Question

GPSと相対性理論の関係について教えてください。
というのは、いくつかのサイトを見て回りましたが、
GPSは相対性理論を利用しているというサイトや逆に利用していないというサイトもあり
関連があるのかないのかさえ分からなくなりました。

もし利用しているのなら、どのように利用しているのか教えてください。
利用していないのなら、なぜ利用しているという話が出てきているのか教えてください。

lazydog1 · Accepted Answer

お礼、ありがとうございます。#1です。

>GPSの衛星の時計を正確に合わせるために使用しているということでしょうか。

その通りです。GPSについて直接的には、相対論はそれくらいしか使い道がないともいえます。

ytrewq · Answer

No8です。　GPSが開発される以前に位置を測定するシステムとしてはオメガとかロランというシステムがありました。これらは主に船舶で利用されていましたが、精度は数１００ｍ～数kmでした。
これらに比べるとGPSの精度は非常に高いのです。
現代では100mはとんでもなく大きな誤差と思われるかもしれませんが、GPSの精度は非常に高いということをご理解ください。

masa2211 · Answer

＞もし利用しているのなら、どのように利用しているのか教えてください。
利用の意味ですが、
「従来のＮＥＷＴＯＮ力学とは異なった方法を使っている」場合に利用している
という意味にとります。

すると、
・ＧＰＳ衛星から受信するまでの時間差×光速＝衛星から受信機までの距離　になる
と言う部分で相対性理論を使っているということになります。
衛星は地球を回っているし、地球は太陽を回っているし、太陽は銀河系を回っているし、銀河系も動いているし.....そういった場合、ＮＥＷＴＯＮ力学においては、
時間差×光速＝距離　が成立しません。

ＮＥＷＴＯＮ力学の場合、知られている法則は次のいずれか。
可能性の１　何かの基準座標に対し、光速一定。（電磁波以外の波の運動と同じ）
この場合、基準座標と地球の相対速度がわからないと衛星から受信機までの距離が
算出できません。
可能性の２　光源（＝衛星）に対し、光速一定。（物体の運動と同じ）
この場合、地球に対する衛星の速度を使って光速の速度補正が必要になります。

で、相対性理論の重要な帰結に
・光速は、光源の移動速度に関係ないし、基準座標に対する移動速度にも関係ない。
というのがあるため、基準座標を知る必要は無いし、衛星の速度による光速補正も不要です。
　　念のため。衛星の速度とは、受信機に近づいているか遠ざかってるかを意味する。
　　時々刻々と変わるし、受信機ごとにバラバラの値をとる。

＞利用していないのなら、なぜ利用しているという話が出てきているのか
　（利用しているのに、なぜ利用していないという話があるか、の意味にとります）
上記の通り、「相対性理論の結果、補正が不要となる」という変則的な使い方なので
これを利用といっていいかどうか、意見が割れてしまう。
さらに、「相対性理論は間違い」のＨＰの場合、衛星の時間合わせのほうだけを
オカシイと攻撃し、時間差×光速＝距離のほうは触れません。ゆえに、相対性理論は関係なくなります。
　※「相対性理論は間違い」であれば、時間差×光速＝距離　がアウトになる
　　ので、墓穴を掘らないよう、わざと触れないのが実態と思われます。

ytrewq · Answer

精度が低ければ、ニュートン力学で十分です。しかし、精度を上げていくと、ニュートン力学ではしだいに計算と現実の間にずれがでてきます。　それまでは誤差の範囲として無視できたことが、精度を上げると見過ごせなくなるのです。
そこで、その誤差を埋めるための新たな理論が必要となり、それが相対性理論です。
　GPSは非常に精度が高いので、もはやニュートン力学だけで計算できるレベルを超えているということです。

teppou · Answer

No.4です。

＞利用しているという回答とむしろ邪魔であるという回答、意味がないという回答がついており、どうとらえていいのかわからなくなっています。

私を含め回答者の皆さんは、基本的に同じ回答をしています。

回答する側は、「GPSは相対性理論を利用しているのか」という質問に対して、質問者はどのようなことが知りたいのかいろいろ考えます。　
　質問者の年齢や、得意科目などがわからないわけですから。

そういうわけで、一見違った回答に見えることもありますが、ここに出ている６人の回答は基本的に同じです。

だだ単に利用しているかそうでないか断言してほしいということであれば、「GPS衛星に搭載している時計を合わせるのに使用している」というのが答えです。

しかし、そういう答えを得ると、いろいろなサイトを読んで分からなくなってしまったことが解消されるのでしょうか。
　結局は自分で判断するしかないと思います。

相対性理論、特に特殊相対性理論については、間違っているという人がたくさんいて、いろいろなサイトやいろいろな本も出ていますが、そういうものの内容が正しいかどうかは自分で判断するしかありません。
　世の中にはたくさんのデマがとびかっています。科学的な内容のものにも、たくさんのデマが混じっています。そういうものについても結局は自分で判断するしかありません。
　いろいろなサイトにしても、ここに出ている回答にしても、よく読んで理解して（難しい部分もあると思いますが）自分で判断してください。

最後に、世界中の物理学者のなかに、特殊相対性理論を疑っている人はほとんどいないそうです。専門家の中にもごく少数特殊相対性理論は間違っていると考えている人がいるそうですが。

TXV12003 · Answer

＞相対性理論はむしろ邪魔であり利用していないということですね。

それはちょっと日本語としておかしいです。

邪魔だけど、「考慮」しないと、GPSシステムが使い物にならないということです。

teppou · Answer

簡単に。

相対性理論によりますと、相対的に速度差があると相手の時間が遅れ（特殊相対性理論）重力があると時間が遅れます（一般相対性理論）。

人工衛星の時計と、地上の時計を比べると実際にこの現象が起きていることがわかっています。

地表約 3000km 以下の人工衛星の時計は遅れ、それ以上の高度の時計は進みます。

GPS衛星は地上約 4500km の高度を回っていますので、地上より時間が進んでしまいます。

GPS衛星の時計は、運用中に地上の時計と合うように打ち上げる前にあらかじめ相対性理論で計算して少し遅れるように調整してあります。

TXV12003 · Answer

利用しているというより、どちらかというと邪魔な存在です。
時計に影響が出るため、補正しているんですね。

以下はずっと前に書いた私の回答の再掲載です。

GPSシステムで車の位置を特定するには、最低３つ（注）の衛星からの情報と、電波を車で受信した時の正確な時刻が必要です。

●計算する前に最低分かっている情報は次の通りです。
「３つの衛星1、2、3から送られてくる情報」
衛星1の位置　(x1, y1, z1) 
衛星1の電波が発射された時の時刻 st1
衛星1の電波を受信した時の時刻 rt1

衛星2の位置　(x2, y2, z2)
衛星2の電波が発射された時の時刻 st2
衛星2の電波を受信した時の時刻 rt2

衛星3の位置　(x3, y3, z3)
衛星3の電波が発射された時の時刻 st3
衛星3の電波を受信した時の時刻 rt3

電波の速度（光速）　c　≒ 2.997 × 10^8 [m/s]

●求めたい情報（未知数）は次の通りです。
車の位置 (x, y, z)

まず車から衛星1、2、3までのそれぞれの距離(d1, d2, d3)を求めるため、３元連立方程式を立てます。なお、衛星から車までの距離は、光速×(電波の受信時刻 - 電波の発射時刻)で求められます。

d1 = c×(rt1 - st1) =√（(x1 - x)^2 + (y1 - y)^2 + (z1 - z)^2）
d2 = c×(rt2 - st2) =√（(x2 - x)^2 + (y2 - y)^2 + (z2 - z)^2）
d3 = c×(rt3 - st3) =√（(x3 - x)^2 + (y3 - y)^2 + (z3 - z)^2）

上記のｘ、ｙ、ｚを求めれば、車の位置が分かることになります。

■ただし■
　上記の例が成り立つのは、車に装備されているナビの時計が、正確であることが条件です。
　それぞれのGPS衛星に搭載されている時計は、原子時計なので極めて正確ですが、ナビに搭載されている時計は、普通のクオーツ時計なので、正確とはいえません。

したがって、現実には、ナビの時計の誤差も未知数となります。
未知数が4つの場合は、方程式が３つでは足りません。

そこで４つの衛星からの情報が必要となります。
求めたい未知数は、車の座標(x, y, z) とカーナビの時計の誤差δtの計４つです。
それも踏まえて式をたてます。

d1 = c × (rt1 - st1) - c × δt = √（(x1 - x)^2 + (y1 - y)^2 + (z1 - z)^2）
d2 = c × (rt2 - st2) - c × δt = √（(x2 - x)^2 + (y2 - y)^2 + (z2 - z)^2）
d3 = c × (rt3 - st3) - c × δt = √（(x3 - x)^2 + (y3 - y)^2 + (z3 - z)^2）
d4 = c × (rt4 - st4) - c × δt = √（(x4 - x)^2 + (y4 - y)^2 + (z4 - z)^2）

これで、カーナビでの時計の誤差が無くなり、正確な測定が可能になります。

求めた車のｘ、ｙ、ｚ座標は、緯度、経度に換算され、データに入っている地図情報と照らし、地図上の位置を示すことが出来ます。

--------------------------------------
以上のことから、衛星が送ってくる時刻情報がいかに重要かが分かりますね。

相対論の影響を補正しないで一か月も放置すると、測定位置が数百メートルも狂ってしまうそうです。

nekokooko · Answer

GPSの衛星の時間がずれる点についてはNo1の通りです。この点は、相対性理論を使って地球時間と同じなうように修正されています。これについては、相対性理論の関係は有ります

しかし地球上での３次元測位をする為だけならば、全GPS衛星の時間が同じであれば、地球時間とのは、ずれていても測定に影響はありません。

全GPS衛星の時間が同じさえさえすれば、理論上正確（有る誤差の範囲内で）に３次元測位ができます。

最終的に、3次元測位を行いますが、これは単なる光のスピードと掛かった時間にから距離がでます。

距離の求めかたは、ニュートンの運動の第2法則に求めることができます。しかしこの計算は正しくない・・・・　質点の速さが光速より十分小さければ 、ニュートン力学とほぼ同じ意味を持つ式なるにすぎない

したがって、距離を出すには、相対性理論が関係してくるのです。実際は、誤差が問題無い範囲なので、ニュートンの法則で距離がでる

したがって、地球上の時間とずれて全GPS衛星の時間が同じであっても、位置を計算する為には、相対性理論を使っているので・・・

関係あると言えるのです。

だだし、簡略化したニュートン法則だけ計算しているので・・・ある意味関係ない（但し、ここはどう取るかにより関係有りに成ります）

問題は、単なる理想の空間上での話（時間軸の遅れは無し）GPS理論の展開であれば・・GPSと相対性理論は関係無いで動きます。

実際の空間では、重力の関係で時間軸に違いが出てくるので、その分を考慮してあげないいけなくなるので・・・GPSと相対性理論の関係は出てくるのです。

これを別の物にすると判りやすい

計算問題に出てくる直流電源は・・・

理想の電源
　内部インピーダンスは０　とれる電流は無限大　電圧は変動しない　C,Lなどの成分は０

でも実際のそんなの無理

理想の空間のGPS・・・と実際の空間では、違いは相対性理論が絡んでくる

lazydog1 · Answer

GPSはGPS衛星がいくつも地球を周回していて、それらからの距離で自分の位置を割り出します。距離は光速度（これが一定→相対論）を使って計算するのですが、GPS衛星に搭載された時計が正確に合っていることが大事です。

各GPS衛星からは常に時報が送信されていると考えてください。それを、地上の時計と比べます。GPS衛星との距離が離れるほど、GPS衛星の時報が言う時刻は遅れています。時報が届くまでに時間がかかるからですね。遅れた時間を光速度で割れば距離が出ます。

ところが、GPS衛星の時計は非常に正確なものなのに、地表の時計とだんだん時刻が合わなくなってきます。多数あるGPS衛星同士でもだんだん合わなくなってきます。

それは相対論が示す二つの原因によります。速く動くものほど、時計の進み方は遅くなることが一つ。もう一つは重力が弱いほど時計の進み方が速くなることです。GPS衛星は地上の時計に対して高速で動いているため、その分、時計の進み方は遅くなります。一方、GPS衛星は高い所にあるため（宇宙ですね）、地上よりは重力が弱くなっており、その分、時計の進み方は速くなります。

その二つを相対論を用いて計算し、GPS衛星の時計の時刻を補正しているのです。

GPS衛星が相対論を用いていないという人の意見は理解しがたいものです。たいていは、相対論が分からないため、相対論が嫌いで、それが間違っているとしたくて、むちゃくちゃを言っています。むちゃくちゃなものは理解不能です。無視して放っておいていいでしょう。

GPSと相対性理論の関係について

お礼、ありがとうございます。

No8です。

この回答への補足

＞もし利用しているのなら、どのように利用しているのか教えてください。

精度が低ければ、ニュートン力学で十分です。

No.4です。

＞相対性理論はむしろ邪魔であり利用していないということですね。

簡単に。

利用しているというより、どちらかというと邪魔な存在です。

GPSの衛星の時間がずれる点についてはNo1の通りです。

GPSはGPS衛星がいくつも地球を周回していて、それらからの距離で自分の位置を割り出します。

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　お礼、ありがとうございます。

　精度が低ければ、ニュートン力学で十分です。

　No.4です。

　簡単に。

　GPSはGPS衛星がいくつも地球を周回していて、それらからの距離で自分の位置を割り出します。