地球を周回する衛生の運動について、次の問いに答えよ。ただし、万有引力定数をG、地球の質量をMとする。

地球を周回する衛生の運動について、次の問いに答えよ。ただし、万有引力定数をG、地球の質量をMとする。
(1)図の破線のように、衛生が半径Rの円軌道上を運動するとき、衛星の加速度の向きと大きさを求めよ。また、そのときの衛星の速さv0と周期T0を求めよ。
(2)(1)の状態から衛星を進行方向に加速すると、衛星は楕円軌道に沿って周回するか、無限遠方に飛び去る。衛星が周回運動するための、加速直後の速さvに対する条件を求めよ。
(3)衛星が図のような楕円軌道を描いているとき、地球に最も近い点Pでの速さをvp、地球から最も離れた点Qにおける速さをvqとして、vq/vpの値を求めよ。ただし、地球の中心をOとしたとき、|OP|=R,|OQ|=3Rとする。
(4)vpを求めよ。
(5)衛生が図のような楕円軌道を描いているときの周期TをT0を用いて表せ。

解き方と答えを教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/08 12:27

No.1です。

「補足」を見ました。

「地球を周回する衛星」は「月」ということだけど、これは「地球と月」ではないですね。本当に問題に「地球と衛星」と書いてありますか？　架空の「惑星と衛星」なら分かるけど。

提出期限 10月8日のレポート？　自分でやらなくちゃね。
教科書を読んで、きちんと理解した上で書いてくださいね。そうしないと、下記のどこかに「誤植」あるいは「計算間違い」が埋め込まれているかもしれませんから。
復習するところは、「円運動」「楕円運動」「ケプラーの法則」あたりでしょうか。万有引力に対する「位置エネルギー」もかな。

(1) 地球と衛星の万有引力が回転運動の「向心力」が働くので、これで運動方程式を書けば加速度が求まります。
　角速度を ω0 とすると
　　向心力 = mR(ω0)^2 = GMm/R^2　　　①
なので、運動方程式 F=ma は
　　GMm/R^2 = ma
となり、加速度は
　　a = GM/R^2

①より
　　(ω0)^2 = GM/R^3
→　ω0 = √(GM/R^3)

従って
　v0 = Rω0 = √(GM/R)
　T0 = 2パイ/ω0 = 2パイ√(R^3/GM)　　　②

(2) 無限遠方に飛び去るには、運動エネルギーが「万有引力による位置エネルギー」を上回らなければいけません。
　万有引力に逆らって半径 R から無限遠まで持って行くための仕事は
　　W = ∫[R→∞]{ GMm/r^2 }dr = GMm[ -1/r ][R→∞] = GMm/R
なので、この仕事よりも大きな運動エネルギーを持てばよいということです。
　従って
　　(1/2)mv^2 > GMm/R
→　v^2 > 2GM/R
→　v > √(2GM/R)

これ、いわゆる「第2宇宙速度」というものです。こんなところを参照ください。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99 …

(3) これは「ケプラーの第２法則」（面積速度一定）より、周速度は回転半径に反比例します。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/bannyuu/k …

　従って、R*vp = (3R)*vq より
　　vq = (1/3)vp
よって
　　vq/vp = 1/3　　　③

↓　ケプラーの法則（高校生向け）
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/bannyuu/k …

(4) これは「力学的エネルギー保存」から求めます。
　(2) で求めた「位置エネルギー」（半径が小さいほど位置エネルギーも小さいので、無限遠を基準にすると「負」となる）より、
・点Pでの位置エネルギー
　　Pp = -GMm/R
　運動エネルギー
　　Kp = (1/2)m(vp)^2
・点Qでの位置エネルギー
　　Pq = -GMm/(3R) = -(1/3)GMm/R
　運動エネルギー
　　Kq = (1/2)m(vq)^2

エネルギー保存より
　　Pp + Kp = Pq + Kq
これに③の関係も使って
　　-GMm/R + (1/2)m(vp)^2 = -(1/3)GMm/R + (1/2)m[(1/3)vp]^2
→　-GMm/R + (1/2)m(vp)^2 = -(1/3)GMm/R + (1/18)m(vp)^2
→　(4/9)m(vp)^2 = (2/3)GMm/R
→　(vp)^2 = (3/2)GM/R
従って
　　vp = √[ (3/2)GM/R ]


(5) これは「ケプラーの第３法則」を使います。
　(1) の円軌道に対しては
　　(T0)^2 = kR^3
　　k = (T0)^2 / R^3　　　　⑤

　楕円軌道に対しては、長半径が 2R であることから
　　T^2 = k(2R)^3 = 8kR^3

　⑤を使えば
　　T^2 = 8(T0)^2
　従って
　　T = 2√2 T0

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます！自分で考えたあとに参考にさせていただきます

お礼日時：2018/10/08 18:20

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/08 18:18

No.3 です。

この回答は下記の同じ質問に対してのものでした。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10761831.html

マルチポスト（同じ内容のものを複数投稿する）は、このように混乱するのですべきではありません。

No.2 回答者： Zincer 回答日時： 2018/10/08 10:36

問題の数が多いので、まずはここを読んで理解できない点を補足してください。

（４）までは解けませんか。
人工衛星
人工衛星の速さ
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/banny …

No.1 回答者： milkywaysstation 回答日時： 2018/10/07 15:51

衛生は周回　して無い