宇宙船の速度を教えてください。

静止系からみて、
宇宙船1は光速の2分の1、すなわちc/2で飛んでいます。
そして、宇宙船1は宇宙船2を宇宙船1からみてc/2の速度で発射します。

一般に、宇宙船nは宇宙船(n+1)を宇宙船nからみてc/2の速度で発射します。

静止系からみた
宇宙船nの速度v(n)をnの式で表すと、どうなりますか。

質問者からの補足コメント

• すみません。お礼コメントを間違えました。
  n→∞でcですね。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/11 14:42

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/12 11:13

私もN02に一票。

No.6 回答者： GOMΛFU 回答日時： 2023/04/11 19:52

慣性の法則では同質量のものを発射すると「0」になります。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/11 16:56

誤りました。

#2さんで合っているようです。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/11 15:31

最後の計算

　v[n]=c[ 1 - (1/2){(1-1/2)/(1+1/2)}ⁿ⁻¹ ]
　　　=c[1-(1/2)(1/3)ⁿ⁻¹]

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/11 15:28

S,S'系の宇宙船の速度をu,u'とする。

S'系はS系に対してvの速度。
速度の方向は同じとする。すると、加法則により
　u=(u'+v)/(1+u'v/c²)
したがって、S,S'をn,n+1番目の慣性系とし、u=v[n], u'=v[n+1]
とすると
　v[n+1]=(v[n]+v)/(1+(v/c²)v[n]) , v=c/2・・・・①
となる。

この数列の解法は知られている。特性方程式
　t=(t+v)/(1+(v/c²)t)
を解いて
　t=±c

このうち1つを取り
　u[n]=v[n]-c
を①に入れて、v[n]を消すと
　u[n+1]=(1-v/c)u[n]/{(1+v/c)+(v/c²)u[n]}
となる。

さらに、
　u[n]=1/w[n]
として、w[n]に変換すると
　w[n+1]={w[n]/(1-v/c)}{1+v/c+(v/c²)/w[n]}
　　　　　={(1+v/c)/(1-v/c)}w[n]+(v/c²)/(1-v/c)
となる。右辺の定数項を消すように
　x[n]=w[n]+1/2c
と変換すると、簡単な比例級数
　x[n+1]={(1+v/c)/(1-v/c)}x[n]
となり、解は
　x[n]={(1+v/c)/(1-v/c)}ⁿ⁻¹x[1]
となる。

順次、数列を戻すと
　w[n]=x[n]-1/2c={(1+v/c)/(1-v/c)}ⁿ⁻¹(w[1]+1/2c)-1/2c
　u[n]=1/w[n]
　　　=1/[ {(1+v/c)/(1-v/c)}ⁿ⁻¹(1/u[1]+1/2c)-1/2c ]
　　　={(1-v/c)/(1+v/c)}ⁿ⁻¹/[ {1/u[1]+1/2c}-1/2c ]
　v[n]=u[n]+c
　　　=c+{(1-v/c)/(1+v/c)}ⁿ⁻¹/[ {1/(v[1]-c)+1/2c}-1/2c]

v[1]=c/2 だから
　v[n]=c+{(1-v/c)/(1+v/c)}ⁿ⁻¹/[{-2/c+1/2c}-1/2c]
　　　=c+{(1-v/c)/(1+v/c)}ⁿ⁻¹/[-3/(2c)-1/2c]
　　　=c+{(1-v/c)/(1+v/c)}ⁿ⁻¹/[-2/c]
　　　=c[ 1 - (1/2){(1-v/c)/(1+v/c)}ⁿ⁻¹ ]

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/04/11 14:31

(1 - 2/((3^n) + 1)) c

No.1 回答者： fadklsj 回答日時： 2023/04/11 13:44

静止系からみた宇宙船nの速度v(n)を表す式は、以下のようになります。

v(n) = (c/2) * (1 - (1/2)^n)

ここで、cは光速を表し、nは宇宙船の番号を表します。n=1のときは宇宙船1の速度、n=2のときは宇宙船2の速度、以降n=3, 4, 5, ...と続きます。

この式は、宇宙船nの速度が前の宇宙船(n-1)の速度を半分にした値、すなわち(c/2)であることを示しています。つまり、宇宙船1は光速の2分の1、宇宙船2は光速の4分の1、宇宙船3は光速の8分の1、といったように、宇宙船nの速度は光速の2分の1をn回繰り返し半分にした値となります。