標準偏差の和と差の出し方について教えてください。群Ａの平均Ｘａと標準偏差ｓａ、群Ｂの平均Ｘｂとｓｂがある時、平均の和は、Ｘａ＋Ｘｂ、平均の差は、Ｘａ－Ｘｂで良いと思うのですが、標準偏差の場合は、確か違った記憶があります。（どちらも計算は同じだったような．．）よろしくお願いします

"平均の和"ではなく"和の平均"のことをさしているのだと思います。二つの群、A,Bの各要素An,Bnの和で作った群C(要素はCn=An+Bn)の平均、標準偏差の話をしているのだと思います。下記のサイトの一番下のほうにそのような群の標準偏差を求める方法が載っています。 http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~ohwaki/fluctequation/correlcoef/correlcoef-1.html 和の標準偏差は、そのぞれの群の標準偏差だけから求めることは出来ません。A1,A2,・・・,Anの取り方の順番とB1,B2,・・・,Bnの取り方の順番によってCの標準偏差は異なります。具体的な例で示しますと、三人のグループが国語と数学のテストを受けた結果が (10,10),(20,20),(30,30)であった場合と、(10,30),(20,20),(30,10)であった場合では、国語と数学のそれぞれの標準偏差(バラつき)は前者の場合と後者の場合で変わらないのに、合計点のばらつきは全く異なります。(前者はそれぞれ、20,40,60に対して、後者は全員40でバラつきが無くなる) このように、組み合わせる順番を変えるだけで和の標準偏差が変わりますので、元の群の標準偏差だけで表すことは出来なくなることがわかります。差の標準偏差は、上記サイトの式でT(tk)→-T(tk),mT→-mTに置き換えればよい。参考URL：http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~ohwaki/fluctequation/correlcoef/correlcoef-1.html

標準偏差の和と差 -標準偏差の和と差の出し方について教えてください。- 数学

Q測定値の和及び差の標準偏差の意味

以下のような問題がありました。

気体Xを含む混合気体を入れた二つの容器A,Bがある。
それぞれの容器に含まれる気体Xの物質量を多数回測定したときの測定値が正規分布に従う場合、
二つの容器A,Bに含まれるXの物質量の測定値の和および差の標準偏差に関する次の記述の中から、
正しいものを一つ選べ。
ただし、誤差の伝播則が成り立つものとする。

1　測定値の和の標準偏差は0である。
2　測定値の差の標準偏差は0である。
3　測定値の和の標準偏差は、差の標準偏差に比べて大きい。
4　測定値の差の...続きを読む

Aベストアンサー

３回測定して測定値が１．０、　０．９、　１．１であれば
平均値が１．０です。それが容器Ａの物質量ｘの測定値（測定値を基にして得られた推定値）です。１．０の両側に０．９、１．１と値がばらついています。ばらつきの幅は±０．１です。（問題ではこのばらつきが正規分布に従うとしているのです。）

Ｂについて同じような測定をしたとします。
測定値が１．９、２．０、２．１だったとします。
平均は２．０、ばつきは±０．１です。
測定値の和というのはＡの測定値とＢの測定値を足すということです...続きを読む

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Q２つの正規分布を合成したらどうなるのでしょうか？

現在大学の研究の過程で統計学を学ぶ必要がでてきました。僕自身は統計学に詳しくはないので知識のある方の回答は非常に助かります。
どうかご教授よろしくおねがいします。

平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが

例えば互いに独立で

国語の平均点、分散を（μ1,σ1)としての正規分布f(国語)
数学の平均点、分散を（μ2,σ2)としての正規分布f(数学)

とした時の国語と数学の合計得点の分布f(国語+数学)はどのように表せばよいのでしょうか？

...続きを読む

Aベストアンサー

＞　平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
質問者さんが示された確率密度関数は、平均 μ、分散「σ^2 」の正規分布のものです。分散と標準偏差の扱いをもう少しきちんとしましょう。

＞　μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
２つの確率変数 X, Y があり、それぞれの平均と「分散」がμ1, (σ1)^2, μ2, (σ2)^2 であるとします。確率変数 Z を Z = X + Y で定め、Z の平均と「分散」をμ3, (σ3)^2 とすると・・・

μ3 = μ1 + μ2
は、X,　Y がどのような分布であっても（X, Y が異なる分布であっても）成立しますし、X, Y が互いに独立であるか否かに関わらず成立します。
また、X, Y が互いに独立であれば（それらの分布によらず）、
(σ3)^2 = (σ1)^2 + (σ2)^2
が成立します。（このとき Z = X + Y の「標準偏差」σ3 は、σ3 = √( (σ1)^2 + (σ2)^2 ) ）

＞　f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2}
＞　が答えだと思っているのですが
X, Y が互いに独立な確率変数であり、共に正規分布に従うならば、X + Y もまた正規分布に従うという事実は確かにありますが、これは正規分布の「再生性」と呼ばれる特別な性質であることを理解していなければなりません。その点、大丈夫ですか？

＞　それとは別のやり方で
＞　f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
＞　f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。
上述したように、正規分布の再生性を示す必要があるならば、畳み込み積分でそれを示すのが一法なのであって、何も「別のやり方」ではありません。
案ずるより計算するが易しです。式の整理が面倒なだけで、特別な知識は不要です。
f(x) = 1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}
g(x) = 1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}
h(x) = ∫f(t) g(x - t) dt
　　= 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - μ1)^2 / (2σ1^2) - (x - t - μ2)^2 / (2σ2^2) } dt
　　epx( ) の指数部を t で平方完成して
　　= 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2)) - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } dt
　　= 1/(2πσ1 σ2) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2))} dt
　　= 1/√(2π(σ1^2 + σ2^2)) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) }
　　（∵ ∫ exp ( - (t - A)^2 / 2B^2 ) dt = √(2π) B ）
μ3 = μ1 + μ2, σ3^2 = σ1^2 + σ2^2 とおけば
h(x) = 1/(√(2π) σ3) exp( - (x - μ3)^2 / 2 σ3^2 )
途中、「何ちゃら」の部分は省略してますので、興味があれば追っかけてみてください。

なお、本件は確率論において、ごくごく基本的な事項です。
もし、これから確率統計を使って研究をされるのならば、このような件を簡単に質問して済ませるのは危うい感じがします。ちゃんと書籍を読まれ、その上で質問されるのが宜しいでしょう。

＞　平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
質問者さんが示された確率密度関数は、平均 μ、分散「σ^2 」の正規分布のものです。分散と標準偏差の扱いをもう少しきちんとしましょう。

＞　μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
２つの確率変数 X, Y があり、それぞれの平均と「分散」がμ1, (σ1)^2, μ2, (σ2)^2 であるとします。確率変数 Z を Z = X + Y で定め、Z ...続きを読む

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Q標準偏差同士の計算はどうやるのですか？

例えば、
（6±0.2）÷（3±0.1）＝
を計算すると、
答えが、5.8/3から16.2/2.9となるとおもうのですが。
もっとふくざつな四則計算になると歯が立ちません。

このような計算を簡潔に解ける方法はあるのでしょうか？

また、Mathematicaで解くことは出来ますか？

Aベストアンサー

±をどういう意味だと思うかによって、話が違います。

[1] ご質問は「標準偏差同士の計算」となっていますから、±の後ろにある数値は標準偏差のお積もりでしょうかね。だとすると、
> （6±0.2）÷（3±0.1）＝
> を計算すると、
> 答えが、5.8/3から16.2/2.9となる
　そうとは限らないです。たとえば分子と分母がそれぞれ正規分布に従う場合を考えると、分子も分母も（僅かな確率ですが）平均値からうんとかけ離れた値を取りうる。だから、取りうる値の範囲（最大・最小）は幾らでも大きくなります。じゃあ割り算した結果の（範囲ではなくて）標準偏差は幾らか、ということが気になる訳ですが、それは分子がどんな分布に従っているか、分母がどんな分布に従っているか、分子と分母が相関を持つかどうか、また、分母が0以下になる確率が0かどうかでも話が違ってきます。だから、標準偏差だけでは情報不足で答が出ません。

[2]　しかし　（ご質問のタイトルとは違って）もし±の後ろにある数値が範囲を表している（つまり、6±0.2なら最大6.2, 最小5.8という意味）ならば、
「6-0.2≦x≦6+0.2, 3-0.1≦y≦3+0.1のとき、x ÷ y の範囲を求める」
という形の問題だと考えれば、答の範囲が決められます。もっと複雑な演算でも同じことですね。

[3]　ところで、もし±の後ろにある数値が、有限の桁数で数値計算をする際に生じる誤差の見積もりを表している（つまり、6±0.2なら0.2程度の誤差が含まれているという意味）なら、もうちょっと別のアプローチもあります。
　もちろん、±の後ろに付いているのが範囲を表していると思えば上記[2]の話と同じことですけれども、そのやり方ではあまりに悲観的すぎる。計算を繰り返して行くと、±の後ろの部分がどんどん大きくなってしまう。
　でも実際には、計算のたびに生じる誤差同士が互いに打ち消し合う効果があるために、答の誤差はそんなには大きくならない。この事を考慮した実用的な誤差の見積もり方として、「精度保証付き数値計算」と呼ばれる工学理論があります。

±をどういう意味だと思うかによって、話が違います。

[1] ご質問は「標準偏差同士の計算」となっていますから、±の後ろにある数値は標準偏差のお積もりでしょうかね。だとすると、
> （6±0.2）÷（3±0.1）＝
> を計算すると、
> 答えが、5.8/3から16.2/2.9となる
　そうとは限らないです。たとえば分子と分母がそれぞれ正規分布に従う場合を考えると、分子も分母も（僅かな確率ですが）平均値からうんとかけ離れた値を取りうる。だから、取りうる値の範囲（最大・最小）は幾らでも大きくなります。じゃあ割...続きを読む

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Q統計学的に信頼できるサンプル数って？

統計の「と」の字も理解していない者ですが、
よく「統計学的に信頼できるサンプル数」っていいますよね。

あれって「この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる」という決まりがあるものなのでしょうか？
また、その標本数はどのように算定され、どのような評価基準をもって客観的に信頼できると判断できるのでしょうか？
たとえば、99人の専門家が信頼できると言い、1人がまだこの数では信頼できないと言った場合は信頼できるサンプル数と言えるのでしょうか？

わかりやすく教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

> この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる・・・
　調べたいどの集団でも、ある一定数以上なら信頼できるというような決まりはありません。
　何かサンプルを集め、それをなんかの傾向があるかどうかという仮説を検証するために統計学的検定を行って、仮設が否定されるかされないかを調べる中で、どの検定方法を使うかで、最低限必要なサンプル数というのはあります。また、集めたサンプルを何か基準とすべき別のサンプルと比べる検定して、基準のサンプルと統計上差を出すに必要なサンプル数は、比べる検定手法により計算できるものもあります。
　最低限必要なサンプル数ということでは、例えば、ある集団から、ある条件で抽出したサンプルと、条件付けをしないで抽出したサンプル(比べるための基準となるサンプル)を比較するときに、そのサンプルの分布が正規分布(正規分布解説:身長を5cmきざみでグループ分けし、低いグループから順に並べたときに、日本人男子の身長なら170cm前後のグループの人数が最も多く、それよりも高い人のグループと低い人のグループの人数は、170cmのグループから離れるほど人数が減ってくるような集団の分布様式)でない分布形態で、しかし分布の形は双方とも同じような場合「Wilcoxon符号順位検定」という検定手法で検定することができますが、この検定手法は、サンプルデータに同じ値を含まずに最低６つのサンプル数が必要になります。それ以下では、いくらデータに差があるように見えても検定で差を検出できません。
　また、統計上差を出すのに必要なサンプル数の例では、Ａ国とＢ国のそれぞれの成人男子の身長サンプルがともに正規分布、または正規分布と仮定した場合に「ｔ検定」という検定手法で検定することができますが、このときにはその分布を差がないのにあると間違える確率と、差があるのにないと間違える確率の許容値を自分で決めた上で、そのサンプルの分布の値のばらつき具合から、計算して求めることができます。ただし、その計算は、現実に集めたそれぞれのサンプル間で生じた平均値の差や分布のばらつき具合(分散値)、どのくらいの程度で判定を間違える可能性がどこまで許されるかなどの条件から、サンプル間で差があると認められるために必要なサンプル数ですから、まったく同じデータを集めた場合でない限り、計算上算出された(差を出すために)必要なサンプル数だけサンプルデータを集めれば、差があると判定されます(すなわち、サンプルを無制限に集めることができれば、だいたい差が出るという判定となる)。よって、集めるサンプルの種類により、計算上出された(差を出すために)必要なサンプル数が現実的に妥当なものか、そうでないのかを、最終的には人間が判断することになります。

　具体的に例示してみましょう。
　ある集団からランダムに集めたデータが15,12,18,12,22,13,21,12,17,15,19、もう一方のデータが22,21,25,24,24,18,18,26,21,27,25としましょう。一見すると後者のほうが値が大きく、前者と差があるように見えます。そこで、差を検定するために、t検定を行います。結果として計算上差があり、前者と後者は計算上差がないのにあると間違えて判断する可能性の許容値(有意確率)何%の確率で差があるといえます。常識的に考えても、これだけのサンプル数で差があると計算されたのだから、差があると判断しても差し支えないだろうと判断できます。
　ちなみにこの場合の差が出るための必要サンプル数は、有意確率５％、検出力0.8とした場合に5.7299、つまりそれぞれの集団で6つ以上サンプルを集めれば、差を出せるのです。一方、サンプルが、15,12,18,12,21,20,21,25,24,19の集団と、22,21125,24,24,15,12,18,12,22の集団ではどうでしょう。有意確率5%で差があるとはいえない結果になります。この場合に、このサンプルの分布様式で拾い出して差を出すために必要なサンプル数は551.33となり、552個もサンプルを抽出しないと差が出ないことになります。この計算上の必要サンプル数がこのくらい調査しないといけないものならば、必要サンプル数以上のサンプルを集めて調べなければなりませんし、これだけの数を集める必要がない、もしくは集めることが困難な場合は差があるとはいえないという判断をすることになるかと思います。

　一方、支持率調査や視聴率調査などの場合、比べるべき基準の対象がありません。その場合は、サンプル数が少ないレベルで予備調査を行い、さらにもう少しサンプル数を増やして予備調査を行いを何回か繰り返し、それぞれの調査でサンプルの分布形やその他検討するべき指数を計算し、これ以上集計をとってもデータのばらつきや変化が許容範囲(小数点何桁レベルの誤差)に納まるようなサンプル数を算出していると考えます。テレビ視聴率調査は関東では300件のサンプル数程度と聞いていますが、調査会社ではサンプルのとり方がなるべく関東在住の家庭構成と年齢層、性別などの割合が同じになるように、また、サンプルをとる地域の人口分布が同じ割合になるようにサンプル抽出条件を整えた上で、ランダムに抽出しているため、数千万人いる関東の本当の視聴率を割合反映して出しているそうです。これはすでに必要サンプル数の割り出し方がノウハウとして知られていますが、未知の調査項目では必要サンプル数を導き出すためには試行錯誤で適切と判断できる数をひたすら調査するしかないかと思います。

> どのような評価基準をもって客観的に信頼できると判断・・・
　例えば、工場で作られるネジの直径などは、まったくばらつきなくぴったり想定した直径のネジを作ることはきわめて困難です。多少の大きさのばらつきが生じてしまいます。1mm違っても規格外品となります。工場では企画外品をなるべく出さないように、統計を取って、ネジの直径のばらつき具合を調べ、製造工程をチェックして、不良品の出る確率を下げようとします。しかし、製品をすべて調べるわけにはいきません。そこで、調べるのに最低限必要なサンプル数を調査と計算を重ねてチェックしていきます。
　一方、農場で生産されたネギの直径は、1mmくらいの差ならほぼ同じロットとして扱われます。また、農産物は年や品種の違いにより生育に差が出やすく、そもそも規格はネジに比べて相当ばらつき具合の許容範囲が広くなっています。ネジに対してネギのような検査を行っていたのでは信頼性が損なわれます。
　そもそも、統計学的検定は客観的判断基準の一指針ではあっても絶対的な評価になりません。あくまでも最終的に判断するのは人間であって、それも、サンプルの質や検証する精度によって、必要サンプルは変わるのです。

　あと、お礼の欄にあった専門家：統計学者とありましたが、統計学者が指摘できるのはあくまでもそのサンプルに対して適切な検定を使って正しい計算を行ったかだけで、たとえ適切な検定手法で導き出された結果であっても、それが妥当か否か判断することは難しいと思います。そのサンプルが、何を示し、何を解き明かし、何に利用されるかで信頼度は変化するからです。
　ただ、経験則上指標的なものはあります。正規分布を示すサンプルなら、20～30のサンプル数があれば検定上差し支えない(それ以下でも問題ない場合もある)とか、正規分布でないサンプルは最低６～８のサンプル数が必要とか、厳密さを要求される調査であれば50くらいのサンプル数が必要であろうとかです。でも、あくまでも指標です。

> この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる・・・
　調べたいどの集団でも、ある一定数以上なら信頼できるというような決まりはありません。
　何かサンプルを集め、それをなんかの傾向があるかどうかという仮説を検証するために統計学的検定を行って、仮設が否定されるかされないかを調べる中で、どの検定方法を使うかで、最低限必要なサンプル数というのはあります。また、集めたサンプルを何か基準とすべき別のサンプルと比べる検定して、基準のサンプルと統計上差を出すに必要な...続きを読む

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Q工業製品の抜き取り検査のN数の決め方

実際に今起きている話ですが、例えばあるロットの一部を１箇所切り出して測定し、規格１０以下に対して９であったため合格として納入したところ、客先で同じロットの別の場所からサンプリングし、検査した所、１１であったらしく、このロットはNG扱いとなってしまいました。流出防止策として、安易な考えで”ロットの一部を１箇所切り出して測定し、８以上の場合は再サンプリングして判定する”としましたが、統計的に、再度サンプリングするための閾値の決め方やN数の決め方はどのようにすべきでしょうか？検査の工数増をできるだけ避けたいので、むやみやたらとN増しは行いたくなく、かといって仮に数十箇所測定して１箇所だけ規格外があっても、工場としては納品したいのが本音です。工場、客先双方が納得できる落としどころがあればよいのですが。

Aベストアンサー

今回の質問の前提条件を確認したいです．

抜き取り検査が許されているということは，普通は工程能力が十分あることが
確認されていると思います．そうでなければ抜き取り検査ではなく，全数検査する必要が
あるはずです．

今回の結果は「11」とは，規格上限に対して外れていたということでしょうか．
それとも規格上限には余裕があった上で，取り決めた数値に対して外れていたということ
でしょうか．（そうでなければ品質管理としては理屈がなっていないですが）

先ずはこの製品の工程能力がどんなものかそれがスタートです．

>仮に数十箇所測定して１箇所だけ規格外があっても、工場としては納品したいのが本音です

気持ち的には分かるところもありますが，こんなことを了解していては品質管理が分かっていない，
もしくは無視していることにしかならないと思いますが．

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Q±4σに入る確率について教えてください

ウィキペディアの検索より、
確率変数XがN( μ, σ2)に従う時、平均 μ からのずれがσ以下の範囲にXが含まれる確率は68.26%、2σ以下だと95.44%、さらに3σだと99.74%となる。
と分かりました。

そこで
4σ、
5σ
6σ
の場合確率はどうなるか教えてください。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

Excel で NORMDIST を使い、平均 50、標準偏差 10 （いわゆる偏差値）で計算してみましたら、次のようになりました。

　σ　0.682689492137086
２σ　0.954499736103641
３σ　0.997300203936740
４σ　0.999936657516326
５σ　0.999999426696856
６σ　0.999999998026825
７σ　0.999999999997440
８σ　0.999999999999999
９σ　1.000000000000000

Excelの関数の精度がどの程度のものか分かりませんが、９σで100％になりました。

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Q分散の加法性とは

ある本に、次のようにありました。

分散の加法性とは、n個の独立な標本（例えば、n個の独立な「観測値の集まり」）A1、A2、…、Anがあり、Ai{i=1, 2, …, n}の分散が(σ^2)iである場合、それらの標本の要素を全部足し合わせて標本B=ΣAiを作ると、Aiがどのような分布を示す標本であるかに関わらず、Bの分散はΣ(σ^2)iとなるという性質である。

(1)上記の説明は正しいでしょうか。
(2)上記の性質は、「分散の加法性」ではなく「分散の加法定理」と言うと間違いでしょうか。

当方、高校で微分、積分を勉強したくらいで、数学は全くの素人です。確率、統計は全く勉強したことがありません。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(1) 正しいです。
それぞれ n 個の要素をもつ二つの集合 X, Y を加え合わせた集合の分散 s^2(X+Y)を考えます。各データを xi、平均を <x> のように表すと、分散の定義（↓参照）より
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E6%95%A3
　s^2(X+Y)
= (1/n)∑{<x + y> - (xi + yi)}^2
= (1/n)∑{<x> + <y> - xi - yi}^2
= (1/n)∑{(<x> - xi) + (<y> - yi)}^2
= (1/n)∑{(<x> - xi)^2 + (<y> - yi)^2 + 2(<x> - xi)(<y> - yi)}
= (1/n)∑(<x> - xi)^2 + (1/n)∑(<y> - yi)^2 +(2/n)∑(<x> - xi)(<y> - yi)
= s^2(X) + s^2(Y)...続きを読む

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