周囲の長さが一定の二等辺三角形の面積について

周囲の長さが一定の二等辺三角形の面積が最大になるものを求めよ、という数学の問題があるのですが、どう解いたらいいでしょうか？

No.3 回答者： Ishiwara 回答日時： 2009/08/18 10:34

二等辺三角形を対称軸で２等分して直角三角形で考えても題意は失われない。

この直角三角形の、直角を挟む１辺をｘ、斜辺を（１－ｘ）としても題意は失われない。
この直角三角形の面積はｘ√（１－２ｘ）であるが、２乗して、(ｘ^2)(１－２ｘ)の大小で考えても、題意は失われない。
(ｘ^2)(１－２ｘ)は、ｘ＝１/３のとき極大値をとる。すなわち、正三角形のときである。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/08/09 18:11

2等辺でない辺（底辺）の長さをx、周囲の長さをL(一定)とすると

等しい辺の長さは
(L-x)/2
なので2等辺三角形の高さhは３平方の定理から
h=√[{L-x)/2}^2-(x/2)^2]={√(L/2)}√{(L/2)-x}
2等辺三角形の面積Sは
S=(1/2)xh=(1/2){√(L/2)}x√{(L/2)-x}

このS=f(x)の最大値を求めればいいでしょう。

x=L/3の時、すなわち正三角形の時最大になりますね。
計算して見てください。

質問があればやったことを書いて質問して下さい。

No.1 回答者： Willyt 回答日時： 2009/08/09 18:04

ヘロンの公式を使うのが一番楽だと思います。

面積Ｓの二乗＝s(s-a)(s-b)(s-c) 但しsは周長の半分です。
ここでｓ＝一定、ｃ=2s-a-b ですから、これを上式に代入するとＳはaとbの関数になります。面積Ｓが最大になるのはこの式をa,bでそれぞれ偏微分したものをゼロとする式を作ると方程式が二つできます。変数が二つですからこれを解けばa,b が計算できます。
　これを真っ正直にやってもいいんですが、偏微分した式はお互いにaとbを交換してもいいようになっていますから、解答は a=b となる筈ですから、これをどちらかの式に代入するだけで解けます。そうするとa=
b=c=2s/3 になる筈です。