遠近法の計算です

計算で遠近法によって見える距離の縮小率を求めたいと考えています。

スタートラインに身長1.5ｍのAさんBさんCさんDさんEさんの5人が立っています。
Aさんはスタートラインに立ったまま（0m）
Bさんはスタートラインから50m先に進みました。
Cさんはスタートラインから100m先に進みました。
Dさんはスタートラインから500m先に進みました。
Eさんはスタートラインから1000m先に進みました。

Aさんから、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんをそれぞれ見たとき、実際の身長1.5ｍよりも小さく見えると思いますが、その小さくなって見えた身長（見た目）を計算して求めることはできますか？
比例じゃない計算になるかと思いますが、どういう計算式で求めることができますでしょうか？

1000mだと、見た目かなり小さく、1cmくらいになって見えるのではないかと思うのですが……概算でいいので知りたいです。

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/08/12 15:21

>仮に実測したら、Aさんから見たときの50m先のBさんは、数センチでしょう。

実測というのはどのように測定しているのでしょうか。
単なる見た目?そんなものを数学で議論してはいけません。式の立てようもありません。
何度もいいますが、数センチに見えるというのは、どこにおいたものさしの目盛りと比較しているのかによって異なります。
それこそ目から0.1cmしか離れていないものさしの1cmの目盛りであれば1m離れた人よりも大きく見えるはずです。


>1キロ先のEさんは、ほぼ点に見えると思います。おそらく実際には2キロ先も3キロ先もほぼ点に見えると思います。
1キロでも2キロでも3キロでも、Aさんから見たら縮小率はほとんど変わらないと思います。

これは数学的にどうこうという問題ではなく、観察する人間の目の問題になってしまいます。
人間の目の角度分解能の限界についての話となるため、数学だけで議論することはできません。もちろん観測者の視力にも大きく影響されると思います。(視力が6.0位の人なら1km先と2km先では十分違って見えることでしょう。)
数学では、十分離れている場合には視野角がほぼ距離に反比例するとしかいえません。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/08/12 05:32

#2のものです。

>観測者はAさんです。
>Aさんを基準にすべてを考えるとしたらということなのですが。。。

観測者から見て距離0のものを基準にすることはできません。
あくまでできることは二つの相対比較となりますが、たとえば、1m離れた人と比較しても大きさ、ということでしたら議論可能ですが、距離0の観測者本人を基準にすることはできないのです。

ちょうど#1のかたがよい図を書いてくださったの説明しますと、
#2で私が説明した角度というのは、観測者の目から出ている同じ色の日本の線のなす角を意味しています。
大きさの相対比較という意味では下の図の中の縦線の全体の長さと色を塗った部分の長さの比較ということになりますが、この中の線が観測者に近づくにつれてこの比は急激に小さくなっていきます。
距離が0になると、色のついた部分の長さが0になり比が取れなくなります。

この回答への補足

Aさんから見たBさん、Cさん、Dさん、Eさんのサイズの比較はできるかと思います。
Aさんからおよそ4キロ先に消失点があります。ということは、消失点に向かってBさん、Cさん、Dさん、Eさんは徐々に小さくなって見えていきます。
仮に実測したら、Aさんから見たときの50m先のBさんは、数センチでしょう。1キロ先のEさんは、ほぼ点に見えると思います。おそらく実際には2キロ先も3キロ先もほぼ点に見えると思います。
1キロでも2キロでも3キロでも、Aさんから見たら縮小率はほとんど変わらないと思います。
逆に、2m、4m、8m、12m、20m先の場合は、縮小の幅は上記と比べて大きくなると思います。しかし単純に大きさと距離の比例の縮小率ではないと思います。
私が知りたいのは、このサイズと距離の関係を表した数式です。。。

補足日時：2009/08/12 12:56

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/08/11 17:43

長さで表すのは無理があります。

考えても見てください。
5cm離れたとことにあるものさしの1mmの目盛と30cm離れた1mmの目盛では違った大きさになります。
どちらを基準にするのでしょうか?

この場合、普通は角度で示すのが一般的です。
足から頭のてっぺんまで、観測者(の目)からみての広がりの角度で評価します。

どうしても長さで評価したいのであれば、基準となるスケールが観測者からどれくらい離れているかを決める必要があります。

この回答への補足

観測者はAさんです。
Aさんを基準にすべてを考えるとしたらということなのですが。。。

補足日時：2009/08/11 19:40

No.1 回答者： Cupper 回答日時： 2009/08/11 16:31

ヒント：

図を書いてみましょう
あとは三角関数