直角双曲線上の3点を頂点とする三角形の垂心は同じ直角双曲線上にある

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質問者：dfhsds
質問日時：2009/10/09 15:42
回答数：2件

直角双曲線上の3点を頂点とする三角形の垂心は同じ直角双曲線上にあることの幾何学的証明に興味を持ちました。
http://www.u-gakugei.ac.jp/~onodakk/math/suisin/ …
の4ページ目以降を読むとわかりやすく書かれています。

だた、添付写真における次の補題が、上記サイトでは座標を使って証明しています。次の補題を幾何学的に証明する方法がありましたら教えてください。

図のように直角双曲線上の点P,Q,Aをとる。直角双曲線の中心をOとする。
AのOに関する対称点をDとする。このとき、
∠PAQ=∠PDQ

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： f272
回答日時：2009/10/11 14:35

少し考えてみたけど，結局「座標を使って証明しています」のような感じになってしまいます。

Pからx軸，y軸に下ろした垂線の足をP1,P2として，Aからx軸，y軸に下ろした垂線の足をA1,A2とする。
また，PP1とAA2の交点をO1とする。
さらにDを通りx軸に平行な直線と，Pを通りy軸に平行な直線の交点をO2とする。
P，Aは直角双曲線上の点であるから，A2A:A2O1=P1P:P1O1である。
従ってO1A:O1P=(A2A-A2O1):(P1P-P1O1)=(A2A+A2O1):(P1P+P1O1)=O2D:O2P（加比の理）
以上から直角三角形O1APと直角三角形O2DPは相似であって，傾きPAと傾きPDの絶対値は等しい。
PをQに変えても同様に傾きQAと傾きQDの絶対値は等しいことが示されるから，∠PAQ=∠PDQが分かる。

他の方法としては...
線分APの中点Mと，直線APと漸近線との交点の中点が一致することを使います。
直線APと漸近線との交点のうちAに近い方をA3とすると，三角形MOA3はMO=MA3である二等辺三角形になるから，傾きMA3と傾きMOの絶対値は等しい。ところがPDとMOは平行だから，結局，傾きPAと傾きPDの絶対値は等しい。以下上と同じです。

この回答への補足

一連の僕の方向性は、二次曲線のいろいろな性質は、座標や曲線の方程式を使って示すものを良く見かけるが、それだと、機械的な計算だけで面白くないので、純粋に幾何学的に示すことで、性質の意味をイメージとして理解したいことです。

なお、今回は、最初に直角双曲線があり、そこに３点をとり三角形を作ると、垂心が直角双曲線上にあるというものでした。
google booksで検索して、
数学100の勝利 2: 平面図形の問題著者: デリー,H.,根上生也
の104ページ以降の内容には、
直角双曲線に内接する三角形のフォイエルバッハの円(九点円)は、もとの直角双曲線の中心を通る、
ということも書かれています。
三角形のフォイエルバッハの円(九点円)は、垂心を相似の中心として、外接円を1/2倍にしたものとも考えることができます。
それらのことから次の事実もわかりました。
直角双曲線と円が4点で交わっているとする。その中の3点を三角形とする垂心と、4つめの点とは、直角双曲線の中心に対して対称の位置にある。

逆に、最初に三角形があると、あることからKiepert Hyperbola(Kiepert双曲線)と呼ばれる直角双曲線が一意的に定まり、垂心、重心、フェルマー点などを通るそうです。

補足日時：2009/10/11 23:38

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この回答へのお礼

すばらしい二つの証明をありがとうございます。

双曲線上の任意の1点を通り2つの漸近線に平行な2直線を引く。2つの漸近線とその2直線で出来る平行四辺形の面積は一定。

双曲線と任意の直線との2交点の中点は、漸近線との2交点の中点と等しい。

という2つの事実を使っているようですが、少し気になって調べてみました。

(前者の証明)
双曲線を直角双曲線に限定して、
直角双曲線上の任意の点から2つの漸近線に下ろした垂線の長さの積は一定、ということを示す。
直角双曲線上の点Pから2焦点までの距離をa,bとすると、その差は一定(1としておく)という定義から、a-b=1とおける。
2焦点から2つの漸近線に平行な直線を計4本引くと、それらで正方形ができる。
直角双曲線上の点を徐々に遠くに移動させると、2焦点までの距離の差は先ほどの正方形の1辺の長さに近づく。
つまり、正方形の1辺の長さは1。
直角双曲線上の点Pから2漸近線までの垂線の長さをそれぞれx,yとする。
図形的にa,bを斜辺とする2つの直角三角形で、三平方の定理を使って、
a^2=(x+1/2)^2+(y+1/2)^2
b^2=(1/2-x)^2+(y-1/2)^2
それら３つの式を連立すると、代数的に、xy=1/8がわかる。

この証明は、本当は純粋に幾何学的に、図を見るだけでわかるというものを目指したかったのですが、代数計算を利用しました。座標を使わないようにしたためか、中途半端な感じになってしまいました。

(後者の証明)
双曲線をx^2/a^2 + y^2/b^2 =1とすると、漸近線は、x^2/a^2 + y^2/b^2 =0。
y軸に平行な直線を除く任意の直線をy=mx+nとして、上記の式にそれぞれ代入すると、xの二次方程式になる。
解と係数の関係により、2交点の中点のx座標は、(xの係数)/2*(x^2の係数)となり、定数項は無関係なので、それらが等しいことがわかる。

この証明も、本当は純粋に幾何学的に、図を見るだけでわかるというものを目指したかったのですが、うまくいきませんでした。座標を使えばほぼ自明な事実なのでそれを書きました。