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質問番号:5374013
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5374013.html

に関して解答を書いている間に締め切られてしまいましたので、あらたに質問として起こします。

熱力学でサイクルの効率を考えるとき、熱効率は

η=W/Q1 (Q1:吸熱)

で定義されます。ここでエネルギーの保存則

W = Q2 - Q1 (Q2:放熱 Q1:吸熱)

を使うと熱効率は

η=W/Q1=1-Q2/Q1

と書くことができます。

ここで、このエネルギー保存の式がサイクルの可逆不可逆によらず成立しているとしてしまうと、不可逆のカルノーサイクルの効率も最大効率になってしまいます。わかりやすく、不可逆が断熱過程にあるとして等温過程を可逆とするとQ1, Q2は全体が可逆なカルノーサイクルと正確に等しいですから。したがって、このエネルギー保存の式は不可逆過程では成り立たず、散逸するエネルギーをδQとして

Q1-Q2 = W + δQ > W

と修正する必要があります。

不可逆過程が存在する場合、サイクルが完全に元に戻っているとすると、外部のどこかにエントロピー生成があるはずです。不可逆過程では熱源も外部も含めた全体を一つの孤立系として、全体のエントロピーが増大しないといけませんから。したがって、このエントロピー生成によって生じた束縛エネルギーがδQに対応するはずです。

前置きはこのくらいにして、本題に入ることにします。

少し考えてみるとカルノーサイクルとほかのサイクル、たとえば、オットーサイクルの効率を比較するというのは結構厄介な問題だということに気がつきます。

可逆カルノーのサイクルに限っても、T1=500Kに固定したとしてT2=400KとT2=100KではT2=100Kの方が効率がいいですが、どちらも熱力学的な意味では最大効率です。

オットーサイクルにしても、四つの温度をどう設定するかで効率の値は変わってきますが、全過程が可逆であればそれは値の大小によらず全て熱力学的な意味では最大効率です。

なので、可逆サイクルであっても条件の設定によって最大効率のときの効率の値は変わってしまいますから、異なるサイクルの効率を比較する場合、条件を対等にして比較しないと意味がないことになります。そこで、この対等な条件という物を模索しないといけないのですが、これがどうにもわからないのです。結局考えてみても、Q1, Q2の値が等しいという条件で外に取り出せるWの大小を比較するしかないように思うのですが、そうすると、可逆サイクルではW=Q1-Q2が成り立つので、可逆であればすべてのサイクルの効率は等しいという結論になってしまいます。

よくみるカルノーサイクルとオットーサイクルの効率の比較では、オットーサイクルの最高温度、最低温度をカルノーサイクルの熱源の温度に等しく置いています。こうすると、オットーサイクルのTS線図がカルノーサイクルのTS線図の中にすっぽり入ってしまうのでオットーサイクルのほうが効率が低いことになるのですが、これは、

「オットーサイクルの最高温度、最低温度をカルノーサイクルの熱源の温度に等しく置く」

という新たな条件を付加したうえでの比較なので、熱力学的な最大効率とは無関係と思われます。

以上を踏まえまして、異なるサイクル間の熱力学的な意味での効率の比較について、ご意見を賜りたいと思います。

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A 回答 (6件)

>それというのはW/Q1でしょうか?


>当然効率の比較とはこれ(W/Q1)を比較するのですが、可逆サイクル同士の
>比較であっても、その比較の仕方が問題であるということなのですが。

効率を比で表すのは、何と言うか個々のサイクルの効率の算出に用いた数値などの違いを隠してくれるのではないかと思っただけなのです。その意味で、例えば高熱源の温度とか低熱源の温度に縛られない公平な比較の方法ではないかと思ったのです。

>普通、オットーサイクルよりもカルノーサイクルのほうが効率が高いと
>言いますが、これはそのような比較の仕方を選択している(TS線図が
>外接するようにカルノーサイクルをとる)だけの話で、熱力学のいう最
>大効率とは関係ない話ではないか?というところはどうですか?

カルノーサイクルの効率が最大であるという証明は、いわゆる背理法を用いたものなので、他のサイクルの種類や、熱源の温度などには依存しないはずです。つまり、もし、カルノーサイクルの効率が最高でないと仮定すると矛盾が導かれるのです。この結果は動作流体などには依存しません。ただし、以前のどなたかの指摘通り、熱源が二つ必要なサイクルに限られます。
 実際、オットーサイクルなどは、動作流体によって効率が変化するのです。また、スターリング・サイクルと呼ばれるサイクルは2本の等容変化と、2本の等温変化からなるサイクルですが、明らかに熱源が二つだけだとまずい事になります。ただし、理論熱効率はカルノーサイクルと同じです。

>たとえばカルノーサイクルを考えるときに、Q2は低温側熱源への放熱
>という明確な定義があります。不可逆がたとえばピストンのコネクティ
>ングロッドの摩擦などから生じていた場合、これをQ2に含めてしまう
>わけにはいかないと思いますがどうでしょう?

そうかも知れませんが、でも、いずれにしても、得られる仕事は小さくなっていなければおかしいです。それに、いったん蓄熱機にでも入れて熱機関が廃熱するときに一緒に捨てましたと言っても良いのではないかと。
でも、排熱Q2の中に何らかの損失によって、発生する熱を含ませるか含ませないかは別にして、エネルギー保存即では、最初から明示しておいた方が良いかと思います。ただQ2に入れておいた方がいろいろな意味で楽だと思います。

もうだいぶ眠いので、何言っているか判らないかもしれませんが、よろしければがんばって見てください。

この回答への補足

>つまり、もし、カルノーサイクルの効率が最高でないと仮定すると矛盾が導かれるのです。

この証明が、カルノーサイクルとオットーサイクル等を比較する場合には有効ではない(だろう)ということが問題なのです。トムソン(ケルビン)の原理が否定しているのは【一つの一定の温度の熱源】から熱をとりそれをすべて仕事に変える事なので、複数の熱源がある場合はこれを破っても問題がありません。カルノーのサイクルとオットーサイクルを接続してその背理法を使おうとすると、どうしても熱源が複数になるので、証明が成立しなくなります(と思います)。

>スターリング・サイクルと呼ばれるサイクルは(中略)、理論熱効率はカルノーサイクルと同じです。

このスターリング・サイクルはかなり特殊で少し考え込みました。

スターリング・サイクルと同じ経路を通る可逆サイクルを考えると、この可逆サイクルの効率はTS線図が外接するカルノーサイクルと比較すると効率は小さくなります。しかし、スターリングサイクルでは、等積冷却過程で出た熱は放熱せずにサイクル内部の蓄熱器にため込み、等積加熱過程で使うということをします。このため、効率の計算では等積過程で出入りする熱はQ1にもQ2にも加算されず、等温過程で出入りする熱だけで効率を計算するのでカルノー・サイクルと同じ効率になっています。結果として二つの等積過程の熱源は関与しなかったことになっているので、スターリング・サイクルは、実質的には二つの熱源のみを持つサイクルです。

>でも、いずれにしても、得られる仕事は小さくなっていなければおかしいです。

はい。それはそのとおりで、δQが正であればその分外にする仕事Wは小さくなります。

>ただQ2に入れておいた方がいろいろな意味で楽だと思います。

実際にエンジンの効率などを考える場合はそうなのだろうと思いますが、ここで問題にしたいのは、熱力学的な【最大効率】の意味をわかりやすく説明することなのです。可逆過程で出入りする熱をQ1,Q2、不可逆過程によるそこからの差をδQとして、

Q1-Q2 = W + δQ > W

としておけば、可逆過程でδQが0ならばWは最大になる、つまり、効率が最大になり、不可逆でδQが正の値ならWはそれより小さくなることがより明確にわかると思うのです。

考え方としては、これで間違っていないということは、ともかくわかりました。Q2を放熱の合計と定義し直してδQをQ2に含めるかどうかは、どこに力点を置くかというスタンスの違いですね。

補足日時:2009/10/21 21:04
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この回答へのお礼

お相手いただきまして、ありがとうございます。
急ぎませんので、空いている時間を使ってください。

お礼のほうに書きたかったのですが、お礼は1000文字までということだそうで、入りきらなかったので補足と分割させていただきました。
他意はありませんので、ご容赦ください。

お礼日時:2009/10/21 21:10

まいど。


オットーサイクルを内燃機関のみに用いられるなどとは言っていません。こちらがいいたかったのは、熱の生成方法にはいろいろあると言うことと熱源はあくまでも熱と言うエネルギーの供給源とみなして考えた方が良いのではないですかということです。熱の生成方法がたとえ不可逆だろうが可逆だろうが、ある系に熱が取り込まれる際には関係ありません(何から何まで全部系に含めることはできますが、今考えているのは熱サイクルを対象としているのでそこまで考える必要はありません)。それに熱源の温度がなんであれ各々の過程によって、熱サイクルで用いられる気体などの動作流体の温度や圧力や体積がどう変化するかを考えるのが今の問題で重要なことだと言うことです。それによってそのサイクルの効率なりを考えられるのです。
どうも熱の取り込みについて、拘っておられるようなので、こう考えてみられたいいのではないでしょうか、と言うより普通の教科書は以下のように説明しているのではないかと思いますが、つまり、熱源を極めて大きいとみなすことによって熱源と系との温度差による熱移動の問題をクリアできます。例えば、ΔQという有限の熱を高熱源から受け取ったとします。系にはこれによってΔQの熱が入りそれによって温度が上昇したりしますが、では、熱源はどうなるかと言うと、この場合は熱源の温度は変わりません。熱源が極めて大きい場合と言うのは熱容量が大きいと考えられるので、ΔQに対して熱容量を十分大きくとれる限り温度差による熱移動の問題を回避できると思います。低熱源についても同様です。ただし、系では流入した熱による状態変数の変化は当然のごとく起きます。また、系に熱源を含ませることはできません。さらに、どうせ今、可逆サイクルと言う理想化された系について議論しているのだから、熱源だって理想化してもいいと思います。また、実際問題としてはここで得られた知見で十分問題を解くことができます(エンジンの設計に関する参考書などを見てください。)。

>ここがちょっとちがうと思います。等積加熱過程では、蓄熱器の
>熱のみを使います。(3)式と(7)式を見ていただければ、わ
>かると思いますが、Q23とQ41は正確に等しい大きさです。
>等積過程に外部からの熱は入りません。

>(8)式までは各過程での熱と仕事を計算しただけで、ここまで
>で普通に熱効率を計算すると

>η’=[L12+L34]/[Q34+Q23]

Q23とQ41が等しいからと言って等積過程に外部からの熱がはいらないとは言えません。また、効率の計算に直接的に外部への仕事をしていない過程で流入する熱量を含ませることはできません。等積過程で流入する熱量の寄与は直接的には状態3のみです。T3が上がろうが下がろうが、式で書く限りQ23とQ41の表現は変わりません。

>そこでスターリングサイクルでは(8)式の後に書いてあるよう
>にQ23にQ41を使うことでこれを内部の熱の移動とし、外部
>から受け取らないことでη’の分母のQ23を消しています。こ
>こがこのサイクルの工夫です。

原文では「...4-1間で放出した熱量Q41を全て2-3間で受けとる熱量Q23に利用できるものと考えます。」となっていますが、これは2ー3の過程で、4ー1の過程で放出される熱を全て利用できると書いてあるだけで、2ー3の過程で利用される熱が4ー1で放出された熱のみと言っているわけではありません。
最後にQ23は効率の計算に使用するのは先に述べた理由、すなわち外部への仕事に用いられない熱を効率の計算に使うのは適切ではありません。したがって、最初からQ23は効率の計算には直接には入って来ません。Q23は内部エネルギーの増加、また、その結果としての温度や圧力の上昇に用いられると言うことです。

以上です。反論をどうぞ。
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この回答へのお礼

こんばんは。いつもありがとうございます。

こだわっているというか、温度が変化する過程で準静的過程を考える場合の常套手段ですが・・・

そもそも理想気体を考えると、オットーサイクルの効率は

ηo=1-T1/T2=1-T4/T3
(T1,T2とT3,T4は断熱過程の両端の温度。T1, T4<T2, T3)

カルノーサイクルの効率は

ηc=1-TL/TH (TL<TH)

なので、オットーサイクルの断熱過程の両端の温度比がカルノーサイクルの温度比に等しければ効率は等しいですが、これが異なるとオットーサイクルの効率はカルノーサイクルより大きくも小さくもなるわけですね。となると、そもそもオットーサイクルの効率がカルノーサイクルよりも小さいと証明すること自体が無理だと思いますね。

>また、効率の計算に直接的に外部への仕事をしていない過程で流入する熱量を含ませることはできません。

だとすると、熱の出入りが等積過程のみのオットーサイクルの効率はQin=0になって発散してしまいます。

>4ー1の過程で放出される熱を全て利用できると書いてあるだけで

2-3で温度をT2からT3に上昇させるのに必要な熱量は4-1で放熱される熱量に正確に等しいので、4-1で放熱される熱Q41をすべて2-3でつかうと、それだけで必要な熱量がまかなえてしまうので、それ以外の熱は必要ない、というか、余計な熱ががあってはまずいのです。

お礼日時:2009/10/25 01:25

>熱源と作動流体に温度差がありそこに熱が流れると不可逆になりま


>すから、
>可逆で回すためには熱源と作動流体の温度は等しい必要がありま
>す。(実現は不可能ですが、そこは、例によって準静的過程という
>ことで。)なので、無限小の温度差の熱源が無限個必要で、この無
>限個の熱源はカルノーサイクルの熱源とは異なるものです。(う
>ち、二つの熱源だけはカルノーサイクルと共用が可能なばあいもあ
>ります。)

オットーサイクルが内燃機関のサイクルだと言うのはご存知だと思いますが、内燃機関では熱の供給は燃料と空気の混合蒸気の燃焼によっているので、別に温度差によって熱量が供給されなければならないわけではないと思います。また、オットーサイクルの解説に出てくる温度はあくまでも作動流体の温度で熱源の温度ではないと思います。熱源はあくまでも熱量を供給するものではないかと思います。

>スターリングサイクルでは、蓄熱器への熱の出入りはサイクル内
>部での熱の移動として扱われていて、外部から・外部への熱には
>組み入れられないようです。探してみたら下のようなページがあ
>りましたが、ここの計算でも外部からの吸熱は等温過程の吸熱の
>みとして扱っています。((8)式と(9)式の間)

その前の(6)式を御覧になってください。この(6)式に温度T3がありますが、これは等温膨張にはいる直前の動作流体の温度です。蓄熱器への流入が何であれ、等容過程(吸熱)では、この蓄熱器に蓄えられた熱も加えられ、その熱と等容過程で与えられる熱の和が、このT3を上昇させ、結果として等温膨張による外部への仕事を増やしていることには変わりは無いと思います。
以上ですが、また不備な点もあるかも知れませんので一度ご検討お願いします。
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この回答へのお礼

いつもありがとうございます。

>オットーサイクルが内燃機関のサイクルだと言うのはご存知だと思いますが、

オットーサイクルは理論サイクルですから、オットーサイクル自体が内燃機関ということではないはずです。燃焼は不可逆の最たるものですから理論効率を求めるときには使えません。理論効率を計算するときには可逆の条件で行いますから、等積過程にはどうしても無限個の熱源を用意することが必要です。

>等容過程(吸熱)では、この蓄熱器に蓄えられた熱も加えられ、
>その熱と等容過程で与えられる熱の和が、

ここがちょっとちがうと思います。等積加熱過程では、蓄熱器の熱のみを使います。(3)式と(7)式を見ていただければ、わかると思いますが、Q23とQ41は正確に等しい大きさです。等積過程に外部からの熱は入りません。

(8)式までは各過程での熱と仕事を計算しただけで、ここまでで普通に熱効率を計算すると

η’=[L12+L34]/[Q34+Q23]

となって、これはカルノーサイクルの効率

ηc=[L12+L34]/Q34

よりも小さくなります。そこでスターリングサイクルでは(8)式の後に書いてあるようにQ23にQ41を使うことでこれを内部の熱の移動とし、外部から受け取らないことでη’の分母のQ23を消しています。ここがこのサイクルの工夫です。

お礼日時:2009/10/23 12:45

早速ですが、この間の続きですね。



>この証明が、カルノーサイクルとオットーサイクル等を比較する場合
>には有効ではない(だろう)ということが問題なのです・・・<略>>・・・どうしても熱源が複数になるので、証明が成立しなくなります>(と思います)。

もしかして、熱源の温度と動作流体の温度を混同されているということは無いですか?。詳しく、hitokotonusiさん証明をお伺いしたいです。

>スターリング・サイクルと同じ・・・<略>・・・スターリングサイ
>クルでは、等積冷却過程で出た熱は放熱せずにサイクル内部の蓄熱器
>にため込み、等積加熱過程で使うということをします。このため、効
>率の計算では等積過程で出入りする熱はQ1にもQ2にも加算されず、
>等温過程で出入りする熱だけで効率を計算するのでカルノー・サイク
>ルと同じ効率になっています。結果として二つの等積過程の熱源は関
>与しなかったことになっているので、スターリング・サイクルは、実
>質的には二つの熱源のみを持つサイクルです。

等容過程(冷却)の熱を等容過程(吸熱)に使うとしても、1サイクル後の等容過程(吸熱)時に与えられる熱量は、等容過程(冷却)+等容過程(吸熱)となるのではないかと思われます。したがって、少なくとも3つの熱源が必要なのではないかと思われ、蓄熱器もある種の熱源とみなせば、4つになるのではないですか?。ただ蓄熱器は高熱源にも低熱源にもなるようなので、ちょっと複雑ですね。また、動作流体の温度は、1サイクル後の等容過程(加熱)時には、排熱が加算されて、最初よりも与えられる熱量が大きくなるので、動作流体の温度はより高くなるのではないかと思われます。したがって、等容過程での熱は使われないということはないと思われますが、如何でしょうか?。
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この回答へのお礼

いつもお付き合いいただきありがとうございます。

>熱源の温度と動作流体の温度を混同されているということは無いですか?

熱源と作動流体に温度差がありそこに熱が流れると不可逆になりますから、
可逆で回すためには熱源と作動流体の温度は等しい必要があります。(実現は不可能ですが、そこは、例によって準静的過程ということで。)なので、無限小の温度差の熱源が無限個必要で、この無限個の熱源はカルノーサイクルの熱源とは異なるものです。(うち、二つの熱源だけはカルノーサイクルと共用が可能なばあいもあります。)

そこで、さてどうしようか・・・というところです。

>蓄熱器もある種の熱源とみなせば、4つになるのではないですか?

スターリングサイクルでは、蓄熱器への熱の出入りはサイクル内部での熱の移動として扱われていて、外部から・外部への熱には組み入れられないようです。探してみたら下のようなページがありましたが、ここの計算でも外部からの吸熱は等温過程の吸熱のみとして扱っています。((8)式と(9)式の間)

http://www.nmri.go.jp/eng/khirata/stirling/cycle …

お礼日時:2009/10/22 20:13

効率って、結局、受けた熱量のうち仕事にかわった割合なので、それ以外比較する方法はないのではないでしょうか?。

で、動作流体が理想気体で可逆変化のときは、他の可逆サイクルも効率が同じになるのかなと思いましたが、いかがでしょうか?。

あと、δQなんですが、仕事などのエネルギーも最終的には熱にかわるのだから、別にQ2の中に含ませてもいいのではないかと単純に思いったのですが、どう思われますか?。

この回答への補足

再度回答ありがとうございます。

>それ以外比較する方法はないのではないでしょうか?

それというのはW/Q1でしょうか?
当然効率の比較とはこれ(W/Q1)を比較するのですが、可逆サイクル同士の比較であっても、その比較の仕方が問題であるということなのですが。

普通、オットーサイクルよりもカルノーサイクルのほうが効率が高いと言いますが、これはそのような比較の仕方を選択している(TS線図が外接するようにカルノーサイクルをとる)だけの話で、熱力学のいう最大効率とは関係ない話ではないか?というところはどうですか?

>別にQ2の中に含ませてもいいのではないかと単純に思いったのですが、

たとえばカルノーサイクルを考えるときに、Q2は低温側熱源への放熱という明確な定義があります。不可逆がたとえばピストンのコネクティングロッドの摩擦などから生じていた場合、これをQ2に含めてしまうわけにはいかないと思いますがどうでしょう?

補足日時:2009/10/20 14:14
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吸収される熱量Q1を同じにして、放出される熱量Q2を比較したらいいのではないですか?。


それともう一つ((注)別にスティーブ・ジョブズを気取っている訳ではないです。)、
>このエネルギー保存の式がサイクルの可逆不可逆によらず成立していると
>してしまうと、不可逆のカルノーサイクルの効率も最大効率になってしま
>います。
>・・・・・<略>・・・・・・
>したがって、このエネルギー保存の式は不可逆過程では成り立たず、散
>逸するエネルギーをδQとして

>Q1-Q2 = W + δQ > W

>と修正する必要があります。

損失がある場合、というか不可逆過程がある場合、エネルギーを力学的エネルギーに限定するなら保存されないと思いますが、この場合、単に放出される熱量Q2が大きくなったと見なせば良いのではないかと思われます。つまり上式は
Q1-(Q2+δQ)=W’(不可逆過程がある場合)<W
として改めてQ2+δQをQ2とおけばいいのではないかと思われますが、いかがですか?

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

>吸収される熱量Q1を同じにして、放出される熱量Q2を比較したらいいのではないですか?。

最初は同じようにQ1を等しくしてWを比較したらいいかと思っていましたが、
たとえば、可逆カルノーサイクルでは高温熱源の等温過程を同一にしておけばQ1は常に等しくなりますが、低温熱源の温度しだいでいくらでも熱効率の値は変わってしまいます。オットーサイクル他でも事情は同じでしょう。

>として改めてQ2+δQをQ2とおけばいいのではないかと思われますが、いかがですか?

クラウジウスの不等式

dS >= d'Q/T 変形して TdS >= d'Q (等号は可逆過程)

は微小不可逆変化では、熱という形態のエネルギー移動以上にTdSが増加することを示しています。この増加分TdS-d'Qは次元的にはエネルギーに相違ありませんが、熱d'Qの中からは除外されている部分です。これを熱に繰り入れることは妥当でしょうか?この辺、今ひとつよくわかりません。

補足日時:2009/10/18 21:22
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この回答へのお礼

gooから二週間経過したというメールが来ましたので、このあたりで締めさせていただこうと思います。tareoさんには長文でお付き合いいただきましてありがとうございました。

ただ、入り口のところでぐるぐる回るだけで本質の議論に入れなかったのは残念でした。

お礼日時:2009/11/02 21:45

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Qカルノーサイクルの効率について

カルノーサイクルの効率について

カルノーサイクルの効率が最大である理由は何ですか?

Aベストアンサー

カルノーの定理というのがあります。

・温度の決まった2つの熱源の間で働く可逆熱機関の効率はすべて等しい。
・これらの熱源の間で働く不可逆熱機関の効率は可逆熱機関の効率よりは小さい。

いいかえれば
・可逆熱機関の効率は2つの熱源の温度だけで決まる。
・可逆機関はこれらの熱源の間で働く熱機関の中で最大の効率を持つ。

カルノーサイクルは可逆熱機関ですので効率が最大になります。

カルノーの定理は熱力学の第二法則を使って証明できます。
可逆機関と不可逆機関をつないだ複合機関を使っての証明が教科書にはのっていると思います。

#1様の回答はちょっと混乱しているようです。

Q準静的過程,可逆サイクル,熱効率 (熱力学)

熱力学に関して以下の様に理解しております.
しかしこの理解はどこかが間違っているはずです.
そこで,その間違いはどこなのか,どの様に間違っているのかを指摘して下さると幸いです.



(1) 任意のサイクルにおいて,そのサイクルを常に平衡を保った状態で(準静的に)
  完了すれば,そのサイクルは可逆サイクルである.

(2) 可逆サイクルは最も熱効率のよいサイクルである.

(3) (1),(2)より,任意のサイクルを準静的に完了すれば,そのサイクルは
  最も熱効率の良いサイクルである.



上の理解はどこかが間違っているはずなのです.
なぜなら,(3)より,カルノーサイクルでもオットーサイクルでもディーゼルサイクルでもブレイトンサイクルでも,
サイクルを準静的に完了すれば全て同じ熱効率となってしまうためです.

Aベストアンサー

一言で言えば,熱源の数が違います.

最初に効率の定義を確認しておきましょう.
1サイクルでもらった熱量を Q2,
捨てた熱量を Q1
総仕事(外にする方を正と勘定)を W とするとき,
熱機関の効率ηは
(1)  η = W/Q2
で定義されます.
エネルギー保存則によって
(2)  Q2 - Q1 = W
ですから
(3)  η = 1 - Q2/Q1
と書くこともできます.
ここまでは効率の定義で,最大とかいう話はまだ出てきません.

さて,カルノーサイクルは2つの熱源の間で動作し,
その効率ηは
(4)  η = (T2-T1)/T2
に等しいことが知られています.
T2 は高温熱源の温度,T1 は低温熱源の温度.
カルノーサイクルでは,
作業物質の温度が T2 から T1 に移る(あるいはその逆)ときには
断熱過程で移りますから,
上記の2つの熱源以外に熱源は要りません.
で,カルノーの定理は
【ただ2つの熱源の間で動作する可逆機関】はすべて同じ効率をもち,
その効率は(4)である,
というものです.【】に注意.

ところが,他のサイクルではそうは行きません.
他のサイクルには等圧変化過程や等積変化過程があります.
これらの過程では必ず熱の出入りがあります.
で,準静的変化(可逆変化)では,
熱の移動の時に温度差があってはいけませんから(☆1),
例えば等圧変化で温度が Ta から Tb まで変化したとすると,
熱をやりとりする相手の熱源は温度が Ta から Tb までの連続無限個の
ものが必要になります.

したがって,カルノーサイクル以外のものは
【ただ2つの熱源の間で動作する可逆機関】
ではないのです.

カルノーサイクル以外のサイクルでは熱を授受する温度は
最高温熱源から最低温熱源まで分布しているわけですから,
カルノーサイクルとは効率が違って当然でしょう.
(4)は高温熱源の温度が高いほど,低温熱源の温度が低いほど,
効率がよいということを意味していますから,
熱源温度が連続的に T2 から T1 まで分布していたら
効率はカルノー効率(4)より小さくなることは容易に想像できます.
実際,クラウジウスの不等式を用いることによって,
このことを示すことができます.

(☆1) 本当に温度差がゼロでは熱が移動しませんから,
無限小だけ温度差があると思うべきでしょう.
温度差を小さくすることによって,
非可逆性の影響はいくらでも小さくできると考えられています.
この意味で,可逆機関は理想極限ですね.
ただし,これはオットーサイクルなどの効率がカルノー効率と違うこととは
別の話です.

(★) 本文からおわかりと思いますが,
【ただ2つの熱源の間で動作する可逆機関】は
本質的にカルノー機関しかありません.
したがって,カルノーの定理は,
効率が作業物質によらない(理想気体でも非理想気体でも同じ),というところが最も大事です.

(★) 熱機関は1サイクル回って元の状態に戻るのですから,
束縛エネルギーなどため込んではいけません.
エネルギー保存則(2)は常に成り立っています.
hitokotonusi さんはエントロピー出入りの話と混同されているように思われます.

一言で言えば,熱源の数が違います.

最初に効率の定義を確認しておきましょう.
1サイクルでもらった熱量を Q2,
捨てた熱量を Q1
総仕事(外にする方を正と勘定)を W とするとき,
熱機関の効率ηは
(1)  η = W/Q2
で定義されます.
エネルギー保存則によって
(2)  Q2 - Q1 = W
ですから
(3)  η = 1 - Q2/Q1
と書くこともできます.
ここまでは効率の定義で,最大とかいう話はまだ出てきません.

さて,カルノーサイクルは2つの熱源の間で動作し,
その効率ηは
(4)  η = (T2-T1)/T...続きを読む

Q熱効率が最大であることの証明について

熱力学の問題です。

温度T1(k)の高温熱源と温度T2(k)の低温熱源との間に、
非可逆サイクルの機関と可逆サイクルの機関を、軸を直結して併置する。
このようにして、高温と低温熱源の温度が決まれば、
可逆サイクルの熱効率が最大であることを証明しなさい。

という問題なのですが、よくわかりませんでした。
この問題についてわかる方いましたら教えてください!

Aベストアンサー

非可逆サイクルの機関が高温部からQ1の熱量を受け取り低温部にQ2の熱を廃棄して、Wの仕事を取り出すことを考える。
熱力学第一法則から
W=Q1-Q2 (1)
となり、この熱機関の熱効率は
W/Q1=(Q1-Q2)/Q1 (2)
と表すことができる。

可逆サイクルの機関が高温部からQ3の熱量を受け取り低温部にQ4の熱を廃棄して、Wの仕事を取り出すことを考える。
熱力学第一法則から
W=Q3-Q4 (3)
となり、この熱機関の熱効率は
W/Q3=(Q3-Q4)/Q3 (4)
と表すことができる。

非可逆サイクルの機関の熱効率が可逆サイクル機関の熱効率よりもよいと仮定すると(2),(4)から
W/Q1>W/Q3→Q1<Q3 (5)
(1),(2)から
Q1=W+Q2<W+Q4=Q3→Q2<Q4 (6)

この二つの熱機関を連結し、非可逆サイクルの機関で得た仕事で可逆サイクルを動かすことを考える。
すると、
高温部奪われた熱量=Q1-Q3<0
低温部に与えられた熱量=Q2-Q4<0
熱機関で行われた仕事=W-W=0
となります。
これは仕事を与えていないにもかかわらず低温部から高温部へ熱が移動したことになります。
これは熱力学第二法則に矛盾している。

非可逆サイクルの機関が高温部からQ1の熱量を受け取り低温部にQ2の熱を廃棄して、Wの仕事を取り出すことを考える。
熱力学第一法則から
W=Q1-Q2 (1)
となり、この熱機関の熱効率は
W/Q1=(Q1-Q2)/Q1 (2)
と表すことができる。

可逆サイクルの機関が高温部からQ3の熱量を受け取り低温部にQ4の熱を廃棄して、Wの仕事を取り出すことを考える。
熱力学第一法則から
W=Q3-Q4 (3)
となり、この熱機関の熱効率は
W/Q3=(Q3-Q4)/Q3 (4)
と表すことができる。

非可逆サイクルの機関の熱効率が可逆サイク...続きを読む

Qオットーサイクル

オットーサイクルの式1-(V2/V1)^(r-1)の導き方を教えてください。できれば詳しくお願いします。

Aベストアンサー

1→2,断熱圧縮
2→3,等積加熱
3→4 断熱膨張
4→1 等積放熱とする
加熱量 q1=u3-u2
放熱量 q2=u4-u1
理論仕事 W=q1-q2
効率 η=W/q=(q1-q2)/q1=(T4-T1)/(T3-T2)

等積変化 s3-s2=s4-s1から cv一定のとき
cvlnT3/T2=cvlnT4/T1

T3/T2=T4/T1
(T3-T2)/T2=(T4-T1)/T1

効率は η=1-T1/T2 となる

1→2,断熱圧縮から T1v1^(k-1)=T2v2^(k-1)
kは比熱比(断熱指数)効率はさらに
η=1-(v2/v1)^(k-1)

Q開いた系についての概念について

今解いている開いた系の問題の解答を見ると
PV線図を作図する際、等温変化の曲線が直線になってます。間違いだと思うのですが違いますか?
 理想気体ならば等温の式PV=一定よりP=定数/Vとなり曲線になるはずですよね? 
 
 あとエンタルピについて質問です。エンタルピを考える時って開いた系の時だけですか?
  ΔQ=ΔH-VΔP
という変形は開いた系の時しか使えないのでしょうか?僕の考えでは、仕事を求める際圧力が変化し、PΔVで仕事が求まらない時にに上の式を使って変形して求まった仕事が工業仕事だと思うのですが違ってますか?教えてください!

Aベストアンサー

開いた系の P-V線図が反比例曲線の一部になるってことですよね?
おそらく levinoさんのお考えで正しいと思います。
そもそも、状態方程式は、閉じた系、開いた系によらず使えますから。。。

あと、エンタルピーですが、開いた系のときだけ登場しますね。
エンタルピーの定義は、簡単に言えば「系を出入りする全エネルギー」なんですけどね。
いや、かなり誤解を招く表現だと思いますんで、もうちょっと詳しく説明してみます。

閉じた系で考えるのであれば、系を出入りするエネルギーは熱しかありません。
つまり、仕事や内部エネルギーが熱以外の形で系を出入りすることはないんです。

ところが、開いた系では文字通り「開いている」わけですから、ある意味で何でもありです。
物質が系を出入りすることも自由です。
物質の出入りがあれば、当然そこにエネルギーの出入りも発生します。
たとえば、膨張した気体が漏れ出した場合には、仕事としてのエネルギー損失がありますし、そもそも気体の出入りがある時点で内部エネルギーの増減もあります。
このように物質の出入りによるエネルギーの増減は、「熱」とは呼べませんよね。

そこで導入されたものが「エンタルピー」ってやつです。
要するに、熱だけでなく他の物質の出入りによる仕事や内部エネルギーも含めて「出入りするエネルギー全体のことだよ」ということを、エンタルピーと呼ぶことにしたんです。

ご参考までに、エンタルピーに関するうまい説明をしているページをみつけましたので、参考URL に張っておきます。

また、閉じた系では絶対仕事 PdV、開いた系では工業仕事 VdP を使用しますね。

開いた系で PdV が求まらないのはある意味当然の話で、そのために工業仕事 VdP という量が導入されたんです。

こんな感じでいかがでしょうか。

参考URL:http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/enthalpy.html

開いた系の P-V線図が反比例曲線の一部になるってことですよね?
おそらく levinoさんのお考えで正しいと思います。
そもそも、状態方程式は、閉じた系、開いた系によらず使えますから。。。

あと、エンタルピーですが、開いた系のときだけ登場しますね。
エンタルピーの定義は、簡単に言えば「系を出入りする全エネルギー」なんですけどね。
いや、かなり誤解を招く表現だと思いますんで、もうちょっと詳しく説明してみます。

閉じた系で考えるのであれば、系を出入りするエネルギーは熱しかありません...続きを読む

Qサバテサイクル

サバテサイクルの熱効率の導出ができません。
それらしい形になってはきたのですが、どうしてもできません。

導出過程を教えていただけませんか?

Aベストアンサー

サバテサイクルの各状態を次のようにおきます。
1→2:断熱圧縮
2→3:等容燃焼
3→4:等圧燃焼
4→5:断熱膨張
5→1:等容変化
各温度、容量、圧力をT,V,Pとし各状態の場合はその添え字をつける。
2→3:等容燃焼のとき給熱量をQ1、3→4:等圧燃焼のときの給熱量をQ1'
5→1:等容変化の放熱量をQ2とおく、ガスの質量をm、等容比熱をcv
等圧比熱をcpとする。比熱比をkとする。
Q1=Q1+Q1'=mcv(T3-T2)+mcp(T4-T3)、Q2=mcv(T5-T1)
理論熱効率をηthとすると次のようになる。
ηth=1-Q2/Q1=1-(T5-T1)/{(T3-T2)+(T3-T2)+k(T4-T3)}
次に各温度を求める。
1→2:断熱圧縮よりT1V1^(k-1)=T2V2^(k-1)よってT2=T1ε^(k-1)、ただしε=V1/V2
2→3:等容燃焼よりT2/P2=T3/P3よってT3=T2(P3/P2)={T1ε^(k-1)}(P3/P2)={T1ε^(k-1)}ζ、ただしζ=P3/P2
3→4:等圧燃焼よりT3/V3=T4/V4よってT4=T3(V4/V3)={T1ε^(k-1)}ζρ、ただしρ=V4/V3
4→5:断熱膨張よりT4V4^(k-1)=T5V5^(k-1)よってT5=T4(V4/V5)^(k-1)
=T4{(V4/V3)^(k-1)}{(V3/V5)^(k-1)}={T1ε^(k-1)}ζρ×{ρ^(k-1)}/ε^(k-1)=T1ζρ^k
※ここで図にサバテサイクルを描くと分かるとおり、ε=V1/V2=V3/V5(またはV2=V3,V1=V5)
以上よりηth=1-(T5-T1)/{(T3-T2)+(T3-T2)+k(T4-T3)}に上で求めた各温度を代入すると
ηth=1-T1(ζρ^k-1)/{[T1ε^(k-1)](ζ-1)+k[ζT1ε^(k-1)](ρ-1)}
=1-{1/ε^(k-1)}×{(ζρ^k-1)/[(ζ-1)+k(ρ-1)]}

サバテサイクルの各状態を次のようにおきます。
1→2:断熱圧縮
2→3:等容燃焼
3→4:等圧燃焼
4→5:断熱膨張
5→1:等容変化
各温度、容量、圧力をT,V,Pとし各状態の場合はその添え字をつける。
2→3:等容燃焼のとき給熱量をQ1、3→4:等圧燃焼のときの給熱量をQ1'
5→1:等容変化の放熱量をQ2とおく、ガスの質量をm、等容比熱をcv
等圧比熱をcpとする。比熱比をkとする。
Q1=Q1+Q1'=mcv(T3-T2)+mcp(T4-T3)、Q2=mcv(T5-T1)
理論熱効率をηthとすると次のようになる。
ηth=1-Q2/Q1=1-(T5-T1)/{(T3-T2)+(T3-...続きを読む

Qスターリングサイクルの熱効率を求めたいですのですが分かりません。

スターリングサイクルの熱効率を求めたいですのですが分かりません。
状態A,B,C,Dの圧力、体積、温度はそれぞれ(Pa,Va,Ta)(Pb,Va,Tb)(Pc,Vc,Tc)(Pd,Vc,Td)。比熱Cp、Cvは一定とする。
等温過程(A→B,C→D)と定積過程(B→C,D→A)の組み合わせ。高温の熱源(Th)にA→Bで接触、低温の熱源(Tl)にC→D接触している。
こういう問題なんですが、解いても答えが合いませんでした。違うところがあったら指摘してください。お願いします。
A→Bの過程を(1)とし、B→Cの過程を(2)、C→Dの過程を(3)、D→Aの過程を(4)とする。

Q(1)=Cv(Th-Tl)
Q(2)=R×Th×log(Vc-Va)
Q(3)=Cv(Tl-Th)
Q(4)=R×Tl×log(Va-vc)

η=1-{Cv(Th-Tl)+R×Th×log(Vc-Va)}/{Cv(Tl-Th)+R×Tl×log(Va-vc)}

Aベストアンサー

理想的なカルノーサイクルでは,熱効率は一意的に
η= ΔT/Th = 1 - Tl/Th
というわけですね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/カルノーサイクル

一般にスターリングエンジンでD→A,B→Cの定積過程における熱交換が無視できる場合に,
η = [ R(Th - Tl)log(Vc/Va) ] / [ Cv(Th - Tl) + RTh log(Vc/Va) ]
≒[ R(Th - Tl)log(Vc/Va) ] / [ RTh log(Vc/Va) ]
= (Th - Tl)/Th = 1 - Tl/Th
となると思います。

Q可逆機関と不可逆機関

なぜ不可逆機関は可逆機関に比べて効率が悪いのですか?熱力学的に教えて下さい。

Aベストアンサー

熱効率の問題は、フランスの技術者サディ・カルノー(Nicolas Leonard Carnot,1796~1832)によって、議論されました。「可逆機関の熱効率が最も良い」ことをカルノーの定理と言います。

可逆機関Aと不可逆機関B、熱源T_1と熱源T_2があるとします。熱源T_1の温度は、熱源T_2の温度より高いとします。機関Aは、熱源T_1から熱量Q_1を受け取り、外部に仕事Wをして、熱量Q_2を熱源T_2に放出するとします。
 T_1 → Q_1 → A → Q_2 → T_2, A → W → 外部 (1)
ところが、機関Aは可逆機関ですから、この逆の過程も起こり得ます。つまり、機関Aは、熱源T_2から熱量Q_2を受け取り、外部からWの仕事をされて、熱量Q_1を熱源T_1に放出します。
 T_2 → Q_2 → A → Q_1 → T_1, 外部 → W → A (2)
一方、機関Bは、熱源T_1から熱量Q_1を受け取り、外部に仕事W'をして、熱量Q_2'を熱源T_2に放出します。
 T_1 → Q_1 → B → Q_2' → T_2, B → W' → 外部 (3)
いま、機関Bの熱効率が機関Aの熱効率より大きいと仮定します。すると、機関Bは、機関Aに仕事Wをすることができます。
 T_1 → Q_1 → B → Q_2' → T_2, B → W → A, B → W'-W → 外部 (4)
つまり、過程(2)と過程(4)は同時に起こすことができます。熱源T_1は、機関Aから熱量Q_1を受け取り、機関Bに熱量Q_1を放出しますから、差し引き0です。よって、正味の結果は、熱源T_2から、熱量(Q_2-Q_2')を奪って、仕事(W'-W)を取り出したことになります。

さて、これが実際に可能であるなら、海水の温度を極僅か下げて、家庭のお風呂を沸かすことができます。これを不可能としたのが熱力学第2の法則です。よって、可逆機関の熱効率が、最も良いことになります。

熱効率の問題は、フランスの技術者サディ・カルノー(Nicolas Leonard Carnot,1796~1832)によって、議論されました。「可逆機関の熱効率が最も良い」ことをカルノーの定理と言います。

可逆機関Aと不可逆機関B、熱源T_1と熱源T_2があるとします。熱源T_1の温度は、熱源T_2の温度より高いとします。機関Aは、熱源T_1から熱量Q_1を受け取り、外部に仕事Wをして、熱量Q_2を熱源T_2に放出するとします。
 T_1 → Q_1 → A → Q_2 → T_2, A → W → 外部 (1)
ところが、機関Aは可逆機関ですから、この逆の過程も起...続きを読む

Q慣性モーメントの単位

慣性モーメント単位が kgf・m^2 と表されているのですが、なぜ kgf なのでしょうか?
また、単位変換して kg・m^2 にするにはどうすればよいのでしょうか?
どなたか、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2で表すと、1/2WD^2(W:重量、D:直径,単位はkgf・m^2)となります。重量は質量と値は等しいですが"質量"ではなく力です。つまり、質量に重力加速度がかかっています。ですから、慣性モーメントにするにはgで割る必要があります。また、直径の2乗で定義されてるから、半径の2乗に直すためさらに4で割ります。
それで、単位がkgf・m^2
からkgf・m・s^2となるわけです。ですが、相変わらず
kgfが入っているのでこれをSI単位に変換するには、
重量M=質量W(ただし値のみ。単位は異なる)であること
を利用し、1/2WD^2[kgf・m^2]をW→M、D→Rとし、4で割って、改めて単位をkg・m^2と置けばいいのです。他の慣性モーメントについても、全ての項がWD^2となっているから、同様に4で割り単位をkgf・m^2→kg・m^2とするだけです

参考URL:http://www.keiryou-keisoku.co.jp/databank/kokusai/torukusi/torukusi.htm

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2...続きを読む

Qせん断応力ってどういう時に働くのですか?

せん断応力ってどういう状態の時に働くのでしょうか?単軸引張(圧縮)の時は働かないんですよね?
2軸引張(圧縮)の時に働くのでしょうか?純粋せん断状態というのはx、y軸にそれぞれ引張、圧縮が働く時の状態を言うらしいのですが。

Aベストアンサー

一番簡単な例は正方形の板をゆがめて平行四辺形にしたとき働いています.
教科書の説明もそんな感じだと思います.
イメージとしては物体をゆがめる力です.

定義っぽく言えば,面に平行な力から発生する応力をせん断応力といい,
面に垂直な力から発生する応力を垂直応力といいます.
従って,力がかかる面が決まって始めて応力が決まります.
力を面積で割って応力となるのですから,当然ですよね?

で,単軸引っ張りだろうがなんだろうが,物体に力をかければ基本的に垂直応力とせん断応力はセットで発生します.
ただ,せん断応力がゼロになる面というのが1つだけ存在し,主応力面といいます.
棒の単軸引っ張りでは,横に切った断面でせん断応力がゼロになります.
軸力からは面に水平な力が発生しませんから.
唯一…ではないかもしれませんが,例外は静水圧を受けたときだけです.
静水圧ならば,あらゆる面でせん断応力がゼロになります.

つまり,単軸引張で働かないというのは,『軸と垂直な面を考えたときに』という一文が隠れています.
軸と垂直でない面,例えば棒の引っ張り試験なら棒を斜めに切った断面,にはせん断応力が働いています.
斜めの断面には面に斜めに軸力がかかるわけですから,
面の垂直方向と水平方向と両方に力が働いてますよね?
だから斜めの面にはせん断能力が発生します.

実際に,圧縮には強いがせん断には極端に弱いコンクリートの円筒などを軸圧縮すれば,
斜めの亀裂が入って,その断面からすべるように壊れます.
圧縮の垂直応力で壊れる前に,斜めの面に働くせん断応力で壊れるので,
せん断応力が最大になる斜め45度の面で壊れるのです.

しかし,静水圧ではあらゆる面でせん断応力が働きません.
従って,カップ麺の容器なんかを海底深く沈めれば,
形はゆがまずに,ミニなカップ麺の容器ができます.

一番簡単な例は正方形の板をゆがめて平行四辺形にしたとき働いています.
教科書の説明もそんな感じだと思います.
イメージとしては物体をゆがめる力です.

定義っぽく言えば,面に平行な力から発生する応力をせん断応力といい,
面に垂直な力から発生する応力を垂直応力といいます.
従って,力がかかる面が決まって始めて応力が決まります.
力を面積で割って応力となるのですから,当然ですよね?

で,単軸引っ張りだろうがなんだろうが,物体に力をかければ基本的に垂直応力とせん断応力はセット...続きを読む


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