【美大生が登場】色のユニバーサルデザインとは? >>

先日、大学の実験で金属の熱膨張係数を調べたのですが、実験後なぜ熱膨張係数は物質によって異なるのか、またなぜ熱膨張係数は温度変化するのかを調べなさいといわれました。
大学の図書館などでいろいろ調べてみたのですが、そのことに関して記述されている本がなかなか見つからなくて困っています。
もし知っている方がいましたら詳しく教えてください。
本の名前やサイトでも結構ですのでお願いします。

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A 回答 (3件)

固体の中で原子は整然と並んで結晶を作っているわけですが、個々の原子は、結晶の中での安定な位置にとどまろうとしています。

ですから、大雑把にいえば、原子同士はバネでつながれているようなものです。有限温度では熱エネルギーのために原子は安定点を中心に振動しています。

ここで、原子同士をつないでいるバネが、力の大きさが変位の絶対値に比例する理想的なバネだったら熱膨張は起こらないのですが、実際の原子同士の相互作用は、安定点から同じだけ離れたとしても、原子同士が近づく方向に動いたときに働く力の方が、原子同士が離れた方向に動いたときに働く力よりも大きくなっています。ファンデルワールス力を与えるレナードジョーンズポテンシャルを御存知でしたら、このことが納得できるのではないかと思います。

したがって、温度が上昇して熱振動の振幅が大きくなると、原子間の平均の距離は(近づくとより強い力がかかるわけですから)、長くなります。要するに温度が上がると、固体は膨張します。これが熱膨張の原因です。

熱振動の振幅が小さければ小さいほど、バネは理想的なバネに近づいていきますから(振り子の振動を解析するときに、振幅が小さければ単振動とみなしてよいのと同じ)、熱膨張係数は温度を下げると小さくなって、絶対零度では零になります。

原子間の相互作用(要するにバネの力)を与えるポテンシャルの詳細は、当然、構成元素や結晶構造によって変わりますから、熱膨張係数は物質によって変わります。

でも、世の中には変な物質があって、磁気的な体積変化と熱膨張がキャンセルして、温度を変えても長さがほとんど変わらないもの(インバーと呼ばれています)や逆に温度を「下げる」と体積が増えるものまであります。
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この回答へのお礼

こんなに詳しく説明してくださってありがとうございます。
かなり熱膨張について分かってきました。
あとレナードジョーンズポテンシャルのことについて少し教えていただけますか?
ファンデルワールス力って言うのは聞いたことがあるんですけどレナードジョーンズポテンシャルって言葉を聞いたことがないので...
よろしくお願いします。

お礼日時:2002/04/28 23:27

>あとレナードジョーンズポテンシャルのことについて少し教えていただけますか?


>ファンデルワールス力って言うのは聞いたことがあるんですけどレナードジョーンズポテンシャルって言葉を聞いたことがないので...

原子同士が近づいたときのほうが、離れたときより大きな力が働くポテンシャルの例として、比較的ポピュラーと思われるレナードジョーンズポテンシャルを引いただけで、これ自体が熱膨張と直接関係しているわけではありません。(というとちょっと言い過ぎかも・・・。) レナードジョーンズポテンシャル自体の意味は、物理学辞典等を参照していただいたほうが良くわかると思います。
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No.1で vortexcoreさんが詳しく説明されていますので、蛇足になりますが



純金属の線膨張率(常温付近での値)とその金属の融点との間には、ある関係が
あります。 即ち、X軸Y軸に 各金属の融点と線膨張率をとってプロットすると、それらは
一曲線状にほぼ乗ってくることがよく知られています。
もちろん、カーブから大きくずれる金属ものもありますが。

20~40℃(290~310K)前後の主要金属のデータを調べて、グラフを書いてみてはいかがでしょうか。 レポートに添付すると面白いかも知れません。
工科系の学生さんなら、金属材料学や熱力学の参考書は容易に見られる環境にあると思いますので・・・

追記:純Niの線膨張率(別質問の件)書き洩らしていました。
    at 1000K    17.4 * 10^(-6)/K
      1200K    18.3
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
早速休み明けに図書館で主要金属のデータを調べてグラフにしてみたいと思います。
Niの膨張率の補足もありがとうございました。
また何かあったらよろしくお願いします。

お礼日時:2002/04/28 23:29

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Q線膨張率

先日、大学の実験で金属の熱膨張係数を調べたのですが、金属の線膨張率は極低温から融点付近まででどのような変化をするか調べよと言われ図書館やネットなどでいろいろ調べてみたのですが、そのことに関して記述されているものが見つからずに困っています。
もし知っている方がいましたら詳しく教えてください。
本の名前やサイトでも結構ですのでお願いします。

Aベストアンサー

各温度ごとの線膨張率(線膨張係数)が知りたいという事でしょうか。
それでしたら、下記文献などが参考になろうかと思います。
理工系大学の図書館なら、置いてあるでしょう。

 書名:  伝熱工学資料(改訂第4版) 日本機械学会 発行

2点ですが、記載例を挙げておきましょう。

 純金属の線膨張率 α (K^-1)
--------------------------------------------------------------
 金属の種類      鉄(Fe)        銅(Cu)
--------------------------------------------------------------
温度 150 K     7.9 * 10^-6      12.8 * 10^-6
    250 K     11.0 * 10^-6      15.9 * 10^-6
    300 K     11.9 * 10^-6      16.6 * 10^-6
    600 K     15.1 * 10^-6      18.9 * 10^-6
    800 K     16.2 * 10^-6      20.3 * 10^-6
    1000 K     16.6 * 10^-6      22.4 * 10^-6
    1200 K     23.3 * 10^-6      24.9 * 10^-6
融点 Tm      Tm = 1810 K      Tm = 1357.6 K
--------------------------------------------------------------
一般的な合金についても記載されていますが、温度範囲がもっと荒っぽいです。

各温度ごとの線膨張率(線膨張係数)が知りたいという事でしょうか。
それでしたら、下記文献などが参考になろうかと思います。
理工系大学の図書館なら、置いてあるでしょう。

 書名:  伝熱工学資料(改訂第4版) 日本機械学会 発行

2点ですが、記載例を挙げておきましょう。

 純金属の線膨張率 α (K^-1)
--------------------------------------------------------------
 金属の種類      鉄(Fe)        銅(Cu)
-------------------------------------------------------...続きを読む

Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

中性の水溶液の温度が高くなると、H2O が H+ と OH- とに解離しやすくなり、H2O に戻る反応が劣勢になります。
それと同様に、真性半導体においても、温度が上がると電子とホールが発生しやすくなるのに比べて、両者が出合って対消滅する反応が劣勢になるため、両者の濃度の積は増えます。
キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体...続きを読む

Q線膨張率と熱膨張係数について

線膨張率と熱膨張係数というのは同じものなのでしょうか?
鉄の線膨張率を調べると
100K 5.6×10^-6
293K 11.8×10^-6
500K 14.4×10^-6

とでてくるのですが、293K(20℃)から373K(100℃)まであげたときの伸びはどうやって求めればいいのでしょうか?
ある一定の熱膨張係数αがあるならば、伸びは↓で求められると思うのです。
α×L(元の長さ)×ΔT(上昇温度)

質問している内容自体あまり理解していないのですがよろしくお願いします。

Aベストアンサー

熱膨張係数は体膨張係数(体膨張率も同じ)を指し、当方性を仮定できる場合、線膨張率の3倍です。

線膨張率αが温度Tの関数α(t)として与えられている場合
伸びδは
 δ=∫α(t)LdT (1)
で与えられます。積分はこの場合、293K(20℃)から373K(100℃)まで行います。α(t)の3点での値が指定されている場合、
  100K 5.6×10^-6
  293K 11.8×10^-6
  500K 14.4×10^-6
最も正確にはα(t)=aT^2+bT+c、すなわちTの2次間数で近似して、係数a,b,cを上の値から求め、これを式(1)に用いてδを計算します。すこしラフに計算するなら293Kの値と500Kの値だけを用いてα(t)=pT+q
のように一次関数近似でp,qを求めて(1)によりδを計算します。最もラフにやるにはたとえば293Kの値で計算します。
 どれを用いるかは求められている計算精度によります。

Q線膨張率の実験について

先日、光てこを用いて鉄と銅の線膨張率の実験をしました。
光てこを用いると、加熱しているときに棒の伸びの変化を時間ごとに追うことができるのに、温度が上限に達した時の変化しか計らないのはなぜなのでしょうか。
知っている方教えてくださるとうれしいです。

Aベストアンサー

考察の問題は・・・・・教えません

ヒント
銅線の熱の温度がどうなるか考えると判る
正しい温度にたいして線膨張率を計るには
銅線のどの場所でも温度は同じじゃないと駄目ですねっことは

殆ど答えだな・・・・

Q熱膨張係数(CTE)の温度依存性のメカニズムは?

現在、金属薄膜や有機薄膜(膜厚はおよそ100-1000nm)の熱膨張係数の測定を行っています。
様々な物質の測定値をデータベース化しようとしているのですが、
どうも熱膨張係数が明確な温度依存性を持っている物質があるようです。
(温度とともに増加するものも、減少するものもありました)

この温度依存性のメカニズムについて自分なりに調べてみたのですが、
・格子定数が温度の2乗(あるいは3乗以上の項)に比例するため
と結論づけているホームページを見つけました。
(http://www.ceramics.nist.gov/srd/summary/scdtib2.htm)
これ以外のメカニズムで熱膨張の温度依存を説明できるような理論があれば、
是非教えて頂けたらと思います。

とにかく、熱膨張の温度依存について、
どんな小さな情報でも構いませんので、
ご教授頂ければ幸いです。
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

一般的な物質の熱膨張の因子として,原子の熱的振動による格子振動,電子の熱的励起,および磁気的寄与があります。また,特殊なケースとして,欠陥の現象による見かけ上の体積収縮があります。(これは,炭素繊維/炭素マトリックス複合材料などに見られるケースで,温度の逆依存性を示します)

上の3つの因子の内,格子振動と電子の励起は温度と共に増加します。一方,磁気的寄与については,温度に対し増加する場合も,減少する場合もあります。
すなわち,材料によっては,非常に大きな磁気的寄与により体積の減少が起こるわけですが,このときにスピン揺らぎが発生します。スピン揺らぎとはスピンの熱的励起によって,局所的スピン密度に揺らぎが生じることを言います。磁気モーメントの振幅はスピン揺らぎの影響を受けて非常に大きな温度変化をします。この磁気モーメント振幅の熱的変化を介して熱膨張に異常が現れることになります。したがって,スピン揺らぎと熱膨張係数は密接な関係にあり,熱膨張係数の温度依存性や温度逆依存性として現れるわけです。

この温度の逆依存性を利用した金属にインバー合金があり,格子振動,電子の寄与による体積が増加分と,磁気的寄与による体積の減少分を相殺し,熱膨張係数がほぼ0の状態を達成させています。

一般的な物質の熱膨張の因子として,原子の熱的振動による格子振動,電子の熱的励起,および磁気的寄与があります。また,特殊なケースとして,欠陥の現象による見かけ上の体積収縮があります。(これは,炭素繊維/炭素マトリックス複合材料などに見られるケースで,温度の逆依存性を示します)

上の3つの因子の内,格子振動と電子の励起は温度と共に増加します。一方,磁気的寄与については,温度に対し増加する場合も,減少する場合もあります。
すなわち,材料によっては,非常に大きな磁気的寄与により体...続きを読む

Q慣性モーメントの単位

慣性モーメント単位が kgf・m^2 と表されているのですが、なぜ kgf なのでしょうか?
また、単位変換して kg・m^2 にするにはどうすればよいのでしょうか?
どなたか、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2で表すと、1/2WD^2(W:重量、D:直径,単位はkgf・m^2)となります。重量は質量と値は等しいですが"質量"ではなく力です。つまり、質量に重力加速度がかかっています。ですから、慣性モーメントにするにはgで割る必要があります。また、直径の2乗で定義されてるから、半径の2乗に直すためさらに4で割ります。
それで、単位がkgf・m^2
からkgf・m・s^2となるわけです。ですが、相変わらず
kgfが入っているのでこれをSI単位に変換するには、
重量M=質量W(ただし値のみ。単位は異なる)であること
を利用し、1/2WD^2[kgf・m^2]をW→M、D→Rとし、4で割って、改めて単位をkg・m^2と置けばいいのです。他の慣性モーメントについても、全ての項がWD^2となっているから、同様に4で割り単位をkgf・m^2→kg・m^2とするだけです

参考URL:http://www.keiryou-keisoku.co.jp/databank/kokusai/torukusi/torukusi.htm

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2...続きを読む

Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q3枚の偏光板のこと

先日偏光板を使った実験をして、2枚の偏光板の透過容易軸を直交させると光を通さないということがわかっりました。
この原理はここの昔の質問を見て理解できたのですが、なぜこの2枚の偏光板の間にもう1枚の偏光板を斜め(45度)に入れると見えるようになるのか原理がわかりません。

一応ここの掲示板で探しては見たのですが、回答となるようなことが見つかりませんでした。(見落としたのかもしれませんが...)
詳しく教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

>補足です
No.1および2の説明について, 誤解があるようなので, 補足します.
まずここでは, 偏向板の組み合わせによる光の透過の特性の「原理」を問題にしているので,偏向板の理想化された特性を承認して議論しないと話がおかしくなる危険があります.

[前提]1枚の偏向板は特定の振動方向(透過容易軸)を1つだけ持ち,当たった光のうち,その固有の振動方向(その方向の直線偏光)の成分のみを通し, その振動方向を変えない.(方解石などのいわゆる複屈折(速度の異方性とそれに伴う偏光面の回転等)の話はここでは考えなくてよい.)


注意1)実際の偏向板では必ず透過の際に理想的でないことによる損失がありますが,原理的な(理想)透過率の話をする時は,損失を無視できるとして話をします.
注意2)偏向板を透過する際,透過光は入射光に比べて任意の位相のずれが加わっていても(ここでの議論には影響せず)構わない.つまり,透過光と偏光板を通らない光との干渉といった話の場合だと,偏光板の厚さや平均の屈折率といった絶対的な位相のずれを問題にする必要があリますが,ここでは透過光のみを問題にしているので,透過光全体に上の理由以外の原因が仮にあって位相のずれが生じたとしても結論には影響しない.
注意3)これは実は最も誤解されやすいところなのかも知れませんが,偏向板の許す振動方向(透過容易軸)と角θだけ傾いた振動成分の光は正射影を考えればわかるように透過光の振幅は0ではなくcosθ倍だけ通ります.エネルギーではcos^2θ倍で,それと直交する方向でみると振幅sinθ倍,エネルギーでsin^2θ倍で,もちろんエネルギー保存はcos^2θ+sin^2θ=1 で成立します(理想的偏光板のとき).

このような前提を承認いただいた上で, 補足をしますと,
@任意の(直線)偏光は異なる方向の直線偏光や互いに逆回りの2つの円偏光を基底として分解でき, それらの適当な重ね合わせで表現できる.
ベクトルのイメージでとらえれば良いのですが, 光の(電場)ベクトルを適当な別の基底を持ってきて表現可能という話です.

先の話で Y軸方向の直線偏光をベクトル(0,2)のように書きましたが, より正確には時間依存性も含めて(ω:角振動数, t:時刻, 初期位相は簡単のため0とする)

(0,2)*cosωt=(-1,1)*cosωt + (1,1)*cosωt <== E_y[Y軸方向]=E_-[y=-x方向] + E_+[y=x方向] の形

と書くべきだったかも知れません.
>特定の方向の振動成分を選び,しかもそれを打ち消す他の成分をカットすることになって,
という記述は, 上のE_- と E_+ が3枚目の(X軸方向のみを通す)偏光板に入射したとき, E_- と E_+ が「X軸方向に関しては任意の時刻tで完全に打ち消しあう」という話です. ここで,注意2)に触れた位相のずれがあっても E_- と E_+ に等しく生じるので, 干渉の条件は影響を受けません. (注)E_- と E_+ が"位相が180度違っている"と言うと危険です. 両者を加えると, X成分は打ち消しあって0ですが,Y成分は2倍になります.但しY方向の振動成分は3枚目を通れないので,ここでは特に問題にしなくてよかったわけです.
ところが2枚目の45度傾けた偏光板を入れると,上のE_+ のみ通ってE_- は遮断されるので...となります.

もちろん,基底の取り方は任意ですが,今の議論に都合のよいものは上述の y=-x方向 と y=x方向 の2つの直線偏光への分解です.

>補足です
No.1および2の説明について, 誤解があるようなので, 補足します.
まずここでは, 偏向板の組み合わせによる光の透過の特性の「原理」を問題にしているので,偏向板の理想化された特性を承認して議論しないと話がおかしくなる危険があります.

[前提]1枚の偏向板は特定の振動方向(透過容易軸)を1つだけ持ち,当たった光のうち,その固有の振動方向(その方向の直線偏光)の成分のみを通し, その振動方向を変えない.(方解石などのいわゆる複屈折(速度の異方性とそれに伴う偏光面の回転等)の話はここで...続きを読む

Q慣性モーメントの利用

大学で慣性モーメントについて学びました。そこで気になったのが、実際の利用方法です。
ゴルフクラブやバット、ラケットなどの品質向上などに利用することはすぐに思いついたんですが、他には何に対して、どのように使われているのでしょうか?

Aベストアンサー

専門家ではない人には、慣性モーメントは分かりにくいと思いますが、実世界ではかならず大きさが存在するのでとても役に立ちます(というか考慮しないと困ります)。
例えば、
材料力学 応力の計算
振動工学 二次自由度系の計算
制御工学 アーム制御
あたりで必ず使います。

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む


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