アキレスと亀のパラドックス

ってありますよね。あれの正解（何が間違ってるのか）を平易な言葉で説明するとしたら、どうします？自分なら「アキレスが亀がいた地点に到達、亀が移動をずっと繰り返していけばいずれは亀が移動しないターンがくる」と言います。これより的確に説明できますか？？



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アキレスは亀の後方から出発することにして、両者が同時に発走すると、アキレスは最初に亀のいた地点に到達する。しかしその時には亀はいくらか先んじている。次にその亀の地点にアキレスは到達する。しかしその時にもやはり亀はいくらか先んじている。以下同様に続き、このループから抜け出ることができない。よって、アキレスが亀に追い着くという場面は生じない。そのイメージは、



　Ａ‥‥‥‥‥‥‥Ｔ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1)



　‥‥‥‥‥‥‥‥Ａ‥‥‥Ｔ‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2)



　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥Ａ‥Ｔ‥‥‥‥‥‥‥(3)



である。つまり、アキレスと亀の競走は(1),(2),(3),…と展開し、これら場面の系列は完結することがないので、アキレスは亀に追い着けない。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2009/12/14 00:21

こんばんは。

式で書くのがよいですね。
質問者様の説明を式にすると、下記のようになります。


ｎ回目にけるアキレスの位置（座標）をＡ（ｎ）、亀の位置（座標）をＴ（ｎ）、目的地をＧと置きます。

Ａ（ｎ）も、Ｔ（ｎ）も、ｎに対して単調増加。
つまり、
Ｇ　＞　Ａ（ｎ＋１）　＞　Ａ（ｎ）　・・・（あ）
Ｇ　＞　Ｔ（ｎ＋１）　＞　Ｔ（ｎ）　・・・（い）

アキレスの位置は、亀の１段階前の位置と同じ。
Ａ（ｎ＋１）　＝　Ｔ（ｎ）　・・・（う）

（い）、（う）より、
Ｇ　＞　Ｔ（ｎ＋１）　＞　Ａ（ｎ＋１）
これは、任意の自然数ｎについて常に成り立つ。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

No.2 回答者： kagakusuki 回答日時： 2009/12/14 00:36

　ゼノンのパラドックスですね。

>これら場面の系列は完結することがないので、アキレスは亀に追い着けない。

　場面は無限にあるかもしれませんが、アキレスと亀の間隔が狭まるのに従って、アキレスが亀のいた地点に到達するのに要する時間は短くなって行き、無限回目の場面では、アキレスと亀の間隔は無限に小さくなり、アキレスが次の地点に到達するのに要する時間も無限に短くなります。
　無限に小さい数値を無限回加算した場合、得られる答えは有限の数値となり、無限大にはなりません。
　従って、場面は無限にあったとしても、その無限の場面が経過するためには、有限の時間しか掛かりません。

【参考ＵＲＬ】
　ゼノンのパラドックス - Wikipedia
　　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E% …

　「アキレスと亀の話」
　　http://www.geocities.co.jp/WallStreet-Bull/9625/ …

No.3 回答者： proto 回答日時： 2009/12/14 00:39

何が間違っているとかではなく、アキレスと亀のパラドックスの論法では『アキレスは亀に追い付けない』と結論することはできない。

アキレスと亀のパラドックスの論法によれば、亀は常にアキレスよりも少しだけ前にいる。
だが同時にいつでもアキレスが亀を追い越すチャンスは残されている。
(アキレスが亀に追い付けないまま競争が終わるという記述はどこにもない)
つまり『アキレスは亀に追い付く』と結論することはできないし、同時に『アキレスは亀に追い付けない』と結論することもできない。


アキレスと亀のパラドックスの論法を素直に受け止めれば、アキレスが勝つか亀が勝つかいつまで経っても結論は出ない。
なぜ結論が出ないか、それは結論が出ないような語り方をしているから。

アキレスと亀のパラドックスは、アキレスが亀に追い付くまでの有限の時間の出来事を無限の時間をかけて語る語り方です。
その様な語り方をすると、論理的に勝敗を導くのに無限に時間がかかる。
言い換えると、そんな語り方ではいつまでも結論を導けないのです。

No.4 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/12/14 09:00

>Ａ‥‥‥‥‥‥‥Ｔ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1)

　‥‥‥‥‥‥‥‥Ａ‥‥‥Ｔ‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2)
　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥Ａ‥Ｔ‥‥‥‥‥‥‥(3)

これは、
　　ある時刻 t(i) にＴがいた地点へＡが到達した時刻を t(i+1) とすれば、時刻の系列 {tk, k = 1, 2, 3, ...... }は無限系列。
というタイムチャートですね。
確かに、この説明は無限に続けるしかなさそうです。

でも、「その無限系列を走破するのに要する時間も無限大である」という証明にはなってません。
有限区間も「地点」の無限系列ですから。

たとえば、時刻 t(i) から t(i+1) までの速度が時刻差に比例して減少していくのなら、「その無限系列を走破するのに要する時間も無限大」に発散しそうです。
　　

No.5 回答者： NIWAKA_0 回答日時： 2009/12/14 17:04

この状況を客観的に観ると、

アキレスが亀を追い抜く瞬間までを、ビデオでスローにして観ているようなものです。
それも、段々再生スピードを遅くして。

そのシーンの直前で停めていたら、いつまで経っても追い抜くシーンに辿り着かないのは当たり前です。

No.6 回答者： Ishiwara 回答日時： 2009/12/15 11:46

聞き手が数学の分かる人であれば、級数の「和」が有限でも「項数」が無限になるので、「和」と「項数」のたくみな「スリカエ」である、と言えばいいでしょう。

もし分からない人であれば、１枚の紙を半分に切る、手に残った片方をまた半分に切る。これを無限に繰り返す‥‥
このとき「切る回数」は無限でも「紙の総面積」は有限です。つまり「アキレスとカメの比較回数」は無限でも「追いつくまでの時間」は有限です。紙の例で言えば「回数」と「面積」という“別の概念”をスリカエているにすぎません。

No.7 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/12/16 21:57

N－－－－＞∞の極限値を求めないで、

この論法は
N=1の場合とか
N=２の場合とか
・
・
・
N=10の場合とかやっている。
それではいつまでたってもアキレスは亀においつけない。

アキレスが亀に追いつく地点と時刻を
N====>∞とやって極限値を求めるべし。

No.8 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/12/16 23:46

「よって、アキレスが亀に追い着くという場面は生じない。

」

が誤り。追い着く場面が生じないと言ってるが、生じる。
生じるものを勝手に生じないと嘯いてもだめです。

亀の進む距離はだんだんと０へ近ずく。すなわち追い越される
地点へ近ずく。なので、追い越される。

No.9 ベストアンサー 回答者： stetsu 回答日時： 2009/12/22 20:40

答えは簡単。

追いつく前の話しかしていないのだから追いつかなくて当たり前です。
亀が元いた場所というのは、現在の亀の位置よりも後ろなのですから、アキレスが亀が元いた場所についた時というのは追いつく前のことであることは自明でしょう。
それをおさえたうえで、何故延々と追いつく前の話を続けられるのかを考えてみればよいと思います。その際には級数や極限の話も参考になってくると思います。