
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
元々組み合わせ論から出てきたもののようです。
siegmund先生の仰るように、n人を幾つかのグループに分ける分け方(人数だけじゃなく、誰がどのグループになるかまで区別する)の場合の数B(n)がベル数ですね。Eric Temple Bell先生(1883-1960)のご研究になる物だそうで。B(n+1) = Σ(nCk)B(k) (k=0,1,....,n)
と表すことが出来ます。ここに nCk = n!/(k! (n-k)!) 。
また
e^((e^x)-1) = Σ{(B(n)/n!)x^n} (n=0,1,.....,∞)
という母関数(指数的母関数)を持っています。
No.1
- 回答日時:
ベルは Bell ですね.
人名(数学者?)と思いますが,よく知りません.
私になじみがあるのは,単なるベル数よりはベルの多項式です.
ベルの多項式は合成関数
(1) F(x) = f(g(x))
の導関数に出てきます.
(2) gr = d^r g(x)/dx^r
(3) fr = [d^r f(y)/dy^r]_{y=g(x)}
とします.
(3)はfをyでr階微分してから y=g(x) とおいたもの.
で,直接微分してみればわかるように
(4) dF/dx = f1 g1
(5) d^2 F/dx^2 = f1 g2 + f2 (g1)^2
(6) d^3 F/dx^3 = f1 g3 + f2 (3 g2 g1) + f3 (g1)^3
(7) d^4 F/dx^4 = f1 g4 + f2 (4 g3 g1 + 3 (g2)^2)
+ f3 (6 g2 (g1^2)) + f4 (g1)^4
などとなります(あ~,疲れた).
右辺で,fr = gr = 1 と置いたものがちょうどベル数になっています.
1,2,5,15,...,となっていますね.
一般形は
(8) Bn = Σ {n!/(s1! s2! ・・・ sn!)} (g1/1!)^(s1) (g2/2!)^(s2) ・・・ (gn/n!)^(sn)
で,和は
(9) Σ_{k=1}^n k sk = n
となるような0または正整数の (s1,s2,・・・,sn) のすべての組にわたってとります.
Bn はn個の異なったものをグループに分けるときの分け方の数になっています.
分け方はいくつに分けてもよろしい.
(7)との対応で言えば,4つのものをグループ分けする.
(A) 1つのグループに分ける --- 1通り(f1 g4 に対応)
(B) 2つのグループに分ける
(b1) 1つと3つのグループ --- 4通り(4g3 g1 に対応)
(b2) 2つのグループが2つ --- 3通り((g2)^2 に対応)
(C) 3つのグループに分ける(1,1,2 と分ける) --- 6通り(6 g2 (g1)^2 に対応)
(D) 4つのグループに分ける --- 1通り(f4 (g1)^4 に対応)
と言った具合です.
よく知られているのは上の分け方との関連ですが,
もともとのベル数発見のきっかけが上のようなものかどうかは,知りません.
あんまり回答になっていないかな?
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