1, 2, 5, 15, 52, 203, 877 ... と続く「ベル数」という数列がありますが,この「ベル」って何ですか? 人の名前でしょうか? また,ベル数はどんなきっかけで見つかったものなのでしょうか? ご存じの方,教えてください。

A 回答 (2件)

元々組み合わせ論から出てきたもののようです。

siegmund先生の仰るように、n人を幾つかのグループに分ける分け方(人数だけじゃなく、誰がどのグループになるかまで区別する)の場合の数B(n)がベル数ですね。Eric Temple Bell先生(1883-1960)のご研究になる物だそうで。
B(n+1) = Σ(nCk)B(k) (k=0,1,....,n)
と表すことが出来ます。ここに nCk = n!/(k! (n-k)!) 。
また
e^((e^x)-1) = Σ{(B(n)/n!)x^n} (n=0,1,.....,∞)
という母関数(指数的母関数)を持っています。
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この回答へのお礼

エリック・テンプル・ベルですか。けっこう最近の人なんですね。ご教示どうもありがとうございました。スッキリしました。

お礼日時:2001/03/24 18:28

ベルは Bell ですね.


人名(数学者?)と思いますが,よく知りません.

私になじみがあるのは,単なるベル数よりはベルの多項式です.

ベルの多項式は合成関数
(1)  F(x) = f(g(x))
の導関数に出てきます.
(2)  gr = d^r g(x)/dx^r
(3)  fr = [d^r f(y)/dy^r]_{y=g(x)}
とします.
(3)はfをyでr階微分してから y=g(x) とおいたもの.
で,直接微分してみればわかるように
(4)  dF/dx = f1 g1
(5)  d^2 F/dx^2 = f1 g2 + f2 (g1)^2
(6)  d^3 F/dx^3 = f1 g3 + f2 (3 g2 g1) + f3 (g1)^3
(7)  d^4 F/dx^4 = f1 g4 + f2 (4 g3 g1 + 3 (g2)^2)
          + f3 (6 g2 (g1^2)) + f4 (g1)^4
などとなります(あ~,疲れた).
右辺で,fr = gr = 1 と置いたものがちょうどベル数になっています.
1,2,5,15,...,となっていますね.

一般形は
(8)  Bn = Σ {n!/(s1! s2! ・・・ sn!)} (g1/1!)^(s1) (g2/2!)^(s2) ・・・ (gn/n!)^(sn)
で,和は
(9)  Σ_{k=1}^n k sk = n
となるような0または正整数の (s1,s2,・・・,sn) のすべての組にわたってとります.

Bn はn個の異なったものをグループに分けるときの分け方の数になっています.
分け方はいくつに分けてもよろしい.
(7)との対応で言えば,4つのものをグループ分けする.

(A) 1つのグループに分ける --- 1通り(f1 g4 に対応)

(B) 2つのグループに分ける
(b1) 1つと3つのグループ --- 4通り(4g3 g1 に対応)
(b2) 2つのグループが2つ --- 3通り((g2)^2 に対応)

(C) 3つのグループに分ける(1,1,2 と分ける) --- 6通り(6 g2 (g1)^2 に対応)

(D) 4つのグループに分ける --- 1通り(f4 (g1)^4 に対応)

と言った具合です.

よく知られているのは上の分け方との関連ですが,
もともとのベル数発見のきっかけが上のようなものかどうかは,知りません.

あんまり回答になっていないかな?
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この回答へのお礼

> あんまり回答になっていないかな?

いえいえ,詳しく教えてくださってありがとうございました。

お礼日時:2001/03/24 18:27

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