フーリエ級数の不連続点における収束について

　こんにちわ。自分あ物理系のＢ２の学生です。
　不連続関数をフーリエ級数展開した場合、フーリエ級数ては不連続点に対して,不連続点の右極限と左極限の相加平均に収束するのでしょうか。ギブス現象は聞いたことがあるのですが、収束性は保障されるのですか。

　このような質問をいたしましたのはジョルダン・ルベーグの定理で、フーリエ級数の各点収束を示そうとしたのですが、不連続点での扱いが自分は説明できなかったからです。講義で扱ったジョルダン・ルベーグの定理は
　fが有界変動であり,|f|が１周期上積分可能で積分値が有限であるとする。このときfのxにおけるフーリエ級数Snが
　　Sn→1/2 {f(x+0) + f(x-0)} as n→∞
　というもので、連続性の条件はありません。証明上の問題点は、fが有界変動であるので
　φ(t) = f(x+t)+f(x-t)-f(x+0)-f(x-0) → 0 as t→0
　なるφは有界変動であるから、単調増加する正値関数P,Nをもちいて
　φ(t) = P(t) - N(t) + φ(0)
　で表現される。このとき
　P(t) + N(t)→0 as t →0　(1)
　とあるのですが、xにおいてfが不連続の場合,(1)は成立しないと思う点です。

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2010/01/02 11:04

正値関数P(t),N(t)の取り方によって、P(t)+N(t)→0 (t→0)

は可能と思う。
P(t)=1/2・｛φ(t)+Vt-V0｝
N(t)=1/2・｛φ(t)-Vt+V0｝
（ここで　Vt=f(x+t)+f(x-t)、V0=f(x+0)+f(x-0)と置いた）
とすれば、
P(t)+N(t)=φ(t)→0 (t→0)

この回答へのお礼

返答が遅れて申し訳ございません。納得できました。どうもありがとうございます。

お礼日時：2010/01/05 09:32