微分回路と積分回路の出力電圧Vo

締切済

質問者：19841011
質問日時：2010/02/04 22:38
回答数：2件

先ず、微分回路の出力電圧VoutはVo=-RC(dVi/d)で表されますが、R=100[KΩ],C=2[μF],f=1oo[Hz],Vi=sinωt[V]の場合、Vo=RCωsinωt=RC(2πf)sin(2πf)tとなると思います。時間tが消えないのですがVoはいくつになりますか？
次に、積分回路出力電圧VoutはVo=(-1/RC)∫Vidtで表せますが、R=100[KΩ],C=20[μF],Vi=0.5を印加した時、20秒後のVoはいくつになりますか？
以上2点、ご教授願います。

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回答 (2件)

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No.2

回答者： KEN_2
回答日時：2010/02/04 23:42

微分回路・積分回路の時定数を求めるのに、入力信号はステップ状の矩形波を印加して求めます。

微分回路：ＣＲ＊dVi/dt
積分回路：1/ＣＲ＊dVi/dt
で、入力電圧を変化させると積分は一時遅れ、微分はVi変化分の出力となります。

参考に下記のサイトの説明を読んでみてください。
オペアンプによる微分回路・積分回路・微分回路，積分回路の実験
http://wave.iobb.net/doc/opamp/3.html#_Toc398540 …
　

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No.1

回答者： info22_
回答日時：2010/02/04 22:53

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よって、

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Ｅ－Ｖ　＝　Ｒｉ　　・・・（い）
ところが、回路は一本道なので、ｉは、コンデンサにたまる電荷の時間的変化と同じ。
よって、
Ｅ－Ｖ　＝　Ｒ・ｄＱ／ｄｔ　・・・（い）’

（あ）より、
ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｃ・ｄＶ／ｄｔ　・・・（う）
これを（い）’に代入すれば、

Ｅ－Ｖ　＝　ＲＣ・ｄＶ／ｄｔ

という微分方程式の出来上がり。

（１／ＲＣ）・ｄｔ　＝　ｄＶ／（Ｅ－Ｖ）

ここで、Ｖ２＝Ｅ－Ｖ　と置けば、ｄＶ２／ｄＶ＝－１
よって、
（１／ＲＣ）・ｄｔ　＝　－ｄＶ２／Ｖ２
（１／ＲＣ）∫ｄｔ　＝　－∫ｄＶ２／Ｖ２
（１／ＲＣ）・ｔ　＋　Const.　＝　－lnＶ２
ｅ^(t/RC + Const.)　＝　１／Ｖ２
定数・ｅ^(－t/RC)　＝　Ｖ２　＝　Ｅ－Ｖ
と解けました。
ｔ＝０のときＶ＝０という初期条件を与えれば、定数＝Ｅです。
Ｅ・ｅ^(－t/RC)　＝　Ｖ２　＝　Ｅ－Ｖ
よって、
Ｖ　＝　Ｅ（１－ｅ^(－t/RC)）
と解けました。

なお、ｔを求めるには、これの逆関数にすればよいので、
Ｖ／Ｅ　＝　１－ｅ^(－t/RC)
ｅ^(－t/RC)　＝　１－Ｖ／Ｅ
ｅ^(t/RC)　＝　１／（１－Ｖ／Ｅ）
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