数学的帰納法の問題 数B

nは自然数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。

(1) x^n+2 + y^n+2 = (x^n+1 + y^n+1)(x+y)-xy(x^n+y^n)
(2) (1)の等式を利用して、ｎが自然数であるとき、(1+√2)^n+(1-√2)^nは自然数であることを、数学的帰納法によって証明せよ。

この問題についての解答・ヒントなどよろしくお願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/03/07 09:28

一般的な数学的帰納法ではないですが、次のことを示す証明法も数学的帰納法です。

・n=1のとき成り立つ。
・n=1,2,・・・,kのとき成り立てば、n=k+1のときも成り立つ。


問題の(2)は、n=1,2,・・・,kのとき与式が自然数であると仮定すると、
(1)式でn=k-1,x=1+√2,y=1-√2と置けば、x+yもxyもx^k+y^kもx^(k-1)+y^(k-1)も自然数であることから、x^(k+1)+y^(k+1)も自然数となります。

No.1 回答者： Willyt 回答日時： 2010/03/07 00:07

（１）は右辺をバラしていけば簡単に左辺が得られますよね。

問題は（２）です。まず、ｎ＝１のときには吉敷は２となりますから自然数です。次に(1+√2)^n+(1-√2)^nが自然数であるとし、(1+√2)^(n+1)+(1-√2)^(n+1) が自然数となればいいのです。それにはこれを（１）式でx=1 y=√2 を代入した式を使って変形していけば簡単に自然数であることが分かります。これで証明終わりです。

この回答への補足

＞（１）式でx=1 y=√2 を代入した式を使って変形
x=1+√2 y=1-√2　でもいいでしょうか?

補足日時：2010/03/07 14:00

この回答へのお礼

↑すいません、これ無し
解けました、ありがとうございました＾＾

お礼日時：2010/03/07 16:27