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偏差値と順位

(1)もし、1000人の人が大学受験の模試を受けて、

正規分布だった場合、偏差値60以上は上位何位以内なのでしょうか。

同様に偏差値69、偏差値70、偏差値78は何位以内でしょうか。

よろしくお願いいたします。


(2)また、素朴な疑問で申し訳ないのですが、

正規分布とはなんでしょうか。


大手の受験者数の大きな模試は、正規分布に近くなるのでしょうか。

よろしくお願いいたします。

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A 回答 (2件)

サイコロとかコインを振る、といった統計量は「素性がよく分かっている」ので、理論分布が容易に計算できます。

しかし、雑多な要因が入り混じった統計量は、正規分布に近い形をとります。要因が雑多で、しかも統計量がきれいな対称分布をしているときには、正規分布という仮定が成立します。
試験の成績も、その意味では、たいてい正規分布をすると見ていいでしょう。
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/CGI-BIN/tgxp.html
のような数表を使えば、
偏差値60は、上から15.9%ぐらい
偏差値69は、上から2.9%ぐらい
偏差値70は、上から2.3%ぐらい
偏差値78は、上から0.47%ぐらい
と分かります。
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偏差値とは標準化された点数の一種で、平均が50点、標準偏差が10点となるように標準化されていますが、統計学における正規分布というモデルを【仮定して】算出され、相対的な位置を表すものです。



「偏差値**以上は上位何位以内なのでしょうか。」という質問はこのページの表を見て計算してください。
http://www.o-shinken.co.jp/benkyo/hensati/hensac …

正規分布については、Wikipediaのページなどをどうぞ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F% …

大手の受験者数の大きな模試は、正規分布に近くなると思われていますが、実際のところはわかりません。「子供の成績などは決して正規分布にはならない」と主張される方も見えます。あくまで「分布の形状が似ている」から正規分布だと「仮定」しているだけです。
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Q偏差値から順位を求めるには

2000人の試験で偏差値42の場合、試験得点は正規分布になることがわかっているとき、この者の順位はどのように求めたらよいのでしょうか。

Aベストアンサー

>>標準正規分布表でなぜ0.80とわかるんですか。また、標準正規分布の面積の表とは違うんですか。

偏差値=(得点-平均)/標準偏差×10+50

で求めるので、偏差値から50引いて10で割ると、
平均0、分散1の標準正規分布上の値になります。

それで、偏差値42なら-0.8になるので、下側21%、ということです。

Q偏差値と順位

 資格試験の模試の結果の平均から、自分が上位何パーセントに知りたいのですが、情報は点数・偏差値・平均点のみです。
 ここで偏差値から順位を求める際に必要な標準偏差がないのですが、一般的な公式『偏差値={10(点数-平均点)÷標準偏差}+50』を以下のように変形して、上記情報から標準偏差を求めてみました。

 標準偏差=10(点数-平均点)÷(偏差値-50)

 これを基に、Excelで正規分布関数(NORMDIST)を使って上位何%の位置にいるのか算定しようとしたのですが、偏差値が53.43なのになぜか上位0.0何%とかいうへんてこりんな数字が出ちゃいました。
 数式は『1-NORMDIST(偏差値、平均点、標準偏差、TRUE)』です。
 なお、そのデータは、点数20点、偏差値53.43、平均点19.1点です。

 点数の分布は一応、それなりに正規分布に近い形になっていると思うのですが、なぜこうなるのでしょうか?
 原因が分かる方、教えて下さい。なお、当方は統計学ド素人です。

Aベストアンサー

そういう時は, あなたが入力した式を具体的に書くのが正しい. ひょっとして
1 - NORMDIST(53.43, 19.1, 0.262...., TRUE)
とか入力しませんでしたか?
偏差値 (Tスコア) は「平均 50, 標準偏差 10 となるように分布を正規化した値」です. だから, 正規分布を仮定するなら素直に
1 - NORMDIST(53.43, 50, 10, TRUE)
で十分. あるいは, 元の得点に戻すなら
1 - NORMDIST(20, 19.1, 0.262..., TRUE)
でもいいけど余計な手間がかかってますね.

Q偏差値と全体に占める割合?

学校や塾などが使う偏差値についての質問です。
偏差値が60なら上位10%に位置しており,
偏差値が40なら上位10%に位置していると聞きました。
ならば偏差値70は上位何%に位置しているのでしょうか?
本人の素点,平均点,標準偏差が分かっていると仮定して,上位(下位)何%というのどのような式で計算できるのでしょうか?
素人ですので,分かりやすくお願いします。

Aベストアンサー

標準正規分布は平均が0分散が1の正規分布です。
したがって、正規分布にしたがっているデータは、平均を引き、標準偏差で割ると標準席分布に従います。
(得点-全体の平均)/全体の標準偏差
は標準化得点であり、元のデータが正規分布に従っていると考えられるとき、標準化得点(Z得点)は標準正規分布に従います。
偏差値は
 50+10x(得点-全体の平均)/全体の標準偏差
=50+10x標準化得点
として算出しているので、標準偏差は標準化得点の10倍になります。

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
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Qどうやって偏差値の公式、 偏差値=(得点ー平均点)÷標準偏差×10+5

どうやって偏差値の公式、 偏差値=(得点ー平均点)÷標準偏差×10+50 を導き出したのでしょう? また、どうしてこの公式なのでしょう?
知っている方、教えてください

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 入試の合否判定は相対評価でなされるので、入試に合格する目安は、受験者集団の中で本人がどの辺にいるか、ということになります。例えば、模擬試験の平均点が70点だったとして、それだけでは何もわかりません。平均点が60点のときの70点ならば集団の中のやや上位と言えるし、平均点が70点ならばその人は集団の真ん中にいる、といえるわけです。

 次に、平均点が60点ので本人得点が70点だったとき、集団のどの辺にいるか、ということは、他の受験者の点数の散らばり具合にもよります。平均60点で、ほとんどの受験生が55点~65点、という場合なら、70点はかなり上位になります。また、平均60点でも、30点台も90点台もごろごろいるような場合なら、70点といってもそんなに上位になならないでしょう。

 そこで、「標準偏差」という、テストの点の散らばり具合を表す数を使います。
 平均60点で、標準偏差が10点なら、50点~70点の範囲に、受験生の68%がいることになるので、70点の人は上位16%のところにいることがわかります。つまり、平均点から標準偏差だけ離れておれば、上位16%のところにいる、ということです。
 もし標準偏差が5点なら55点~65点の範囲に受験生の68%がおり、50点~70点の範囲には95%の受験生がいることになりますので、このときの70点なら上位3%のところにいることがわかります。つまり、平均点から標準偏差の2倍だけ離れておれば、上位3%のところにいる、ということです。

 このように、平均点からのずれが標準偏差の何倍かがわかれば、本人の集団での位置がわかり、「あなたの得点は,標準偏差の○○倍だけ離れています」ということで、受検などに対する目安がわかります。

 ほんとはこれだけでいいのですが、「平均点からのずれが標準偏差の0.6倍」とかいってもわかりにくいと思ったある中学校の先生が、今使われている「偏差値」という表し方を考えました。
 まず、(得点ー平均点)÷標準偏差 だと小数になるところを10倍しました。(「0.6倍」よりは「6点」のほうがわかりやすい?)
 それから、平均より低い場合にマイナス(平均点より低いと -6点 とか)になるので、マイナスにならないように、全体に50を足した、というものです。

 偏差値が50→平均そのもの→集団の真ん中
 偏差値が60→平均点から標準偏差の分だけ高い→集団の上位16%

などということになります。


>どうやって偏差値の公式、 偏差値=(得点ー平均点)÷標準偏差×10+50 を導き出したのでしょう? >また、どうしてこの公式なのでしょう?

については、上述したように必然的な結果というわけではなく、「適当に」決めたものです。

http://www.stockage2002.com/archives/category/%E5%81%8F%E5%B7%AE%E5%80%A4%E3%81%A3%E3%81%A6%EF%BC%9F

 入試の合否判定は相対評価でなされるので、入試に合格する目安は、受験者集団の中で本人がどの辺にいるか、ということになります。例えば、模擬試験の平均点が70点だったとして、それだけでは何もわかりません。平均点が60点のときの70点ならば集団の中のやや上位と言えるし、平均点が70点ならばその人は集団の真ん中にいる、といえるわけです。

 次に、平均点が60点ので本人得点が70点だったとき、集団のどの辺にいるか、ということは、他の受験者の点数の散らばり具合にもよります。平均60点...続きを読む

Q東大の理1と理2の違いは?

僕は次から高1になるのですが、大学は東大の理系を考えています。
理3が医学部だということは分かっている(し、行く気はない)のですが、
理1と理2の違いがあまりはっきりしません。
学部進学の際、どのように振り分けられるのですか?
できれば具体的な人数なんかのデータがあればいいのですが・・・。

Aベストアンサー

>工学が1、農学が2、理学部ではそんな変わんないって感じでしょうか。

理学部はひとくくりにできませんよ。
物理学科、数学科などは理1優勢ですし、化学科だと同じくらい、生物学科なら少し理2優勢といった感じです。
#2で示した集計表のとおりです。
細かいこと言い出すと、工学、農学も学科によって色合いがかなり異なりますよ。

大まかなことを言えば、#2の文中に示した進学振り分けについての資料にありますが、
理科一類 工学部・理学部・薬学部・農学部
理科二類 農学部・理学部・薬学部・医学部・工学部
↑は、それなりに人数比率も反映した順番になっていて、理1なら工・理が大部分を占めるし、理2なら農・理・薬が大部分を占めます。

ここまでいろいろ書きましたが、どちらかというと、momomoredさんには#2の集計表とにらめっこしてほしくありません。
むしろ、大学側からの「進学のためのガイダンス」(http://www.u-tokyo.ac.jp/stu03/guidance/H16_html/index.html)や、#2の進学振り分けの資料の中の各学部の紹介とか、あるいは、各学部のホームページ(学部ごとにホームページをもっています)を見て、できれば研究室のホームページまでチェックして、具体的に何がやりたいか、そしてそれをやるためには東京大学のあの研究室で学びたいんだ、ということをしっかりと意識することのほうが大切だと思います(それがなかなかできないわけですが…ハイ)。

あくまで#2の集計表とかは参考までにね。#2で書いたように、入ってから行きたくても行けない学部・学科なんてものはほとんどないですから(文転もありですよ)。
目標高く勉強のほうがんばってください。

>工学が1、農学が2、理学部ではそんな変わんないって感じでしょうか。

理学部はひとくくりにできませんよ。
物理学科、数学科などは理1優勢ですし、化学科だと同じくらい、生物学科なら少し理2優勢といった感じです。
#2で示した集計表のとおりです。
細かいこと言い出すと、工学、農学も学科によって色合いがかなり異なりますよ。

大まかなことを言えば、#2の文中に示した進学振り分けについての資料にありますが、
理科一類 工学部・理学部・薬学部・農学部
理科二類 農学部・理学部・薬学部・...続きを読む

Qこの成績で偏差値63の公立高校は無理?

通塾してない中2の娘は、偏差値63の公立進学校を志望しています。
中1、3学期の、成績表は5教科23。9教科39でした。
定期テストは学年230名の中学校で平均40番でした。
得意科目は、英、数。やや点を取れない科目は理、社で、
この2教科が、学年順位を下げています。

2年1学期の定期テストは、5教科計206点、学年順位43番。
2年夏休み明け実力は、5教科計194点、学年順位38番でした。

2年1学期に受けた塾の模試は偏差値59でした。

質問は、これから塾に行き頑張るとして
偏差値63の公立高校は、可能性があるかというものです。
言い訳のようですが、塾に行き効率の良い学習指導を受ければ
私は、少しは競争もあるし成績がわずかながら上向くのではと思うのです。
でも塾に行ったからといって上がるわけは無く
塾+本人の努力とやる気だと思いますが。

偏差値59ぐらいの子が偏差値を63まで上げるのは
奇跡に近いと言われました。
やはりそうなのでしょうか?
最初から、無理なのでしょうか?
やはり偏差値63の公立の進学校に行く人は、
最初から、偏差値65ぐらいある人ばかりなのですか?
アドバイス、よろしくお願いします。

通塾してない中2の娘は、偏差値63の公立進学校を志望しています。
中1、3学期の、成績表は5教科23。9教科39でした。
定期テストは学年230名の中学校で平均40番でした。
得意科目は、英、数。やや点を取れない科目は理、社で、
この2教科が、学年順位を下げています。

2年1学期の定期テストは、5教科計206点、学年順位43番。
2年夏休み明け実力は、5教科計194点、学年順位38番でした。

2年1学期に受けた塾の模試は偏差値59でした。

質問は、これから塾に行き頑...続きを読む

Aベストアンサー

ウチの子(現高三)と同じ状況ですね。
ウチの子は、中三の春60ぐらいから、63の公立に行きました。
校内の成績は、9教科36~39ぐらい
220人中良いときで30番台後半、悪いときで60番ぐらい。5教科平均点は、400~420点でした。

どのデーターを取ってもほぼ同じですね。

>偏差値59ぐらいの子が偏差値を63まで上げるのは奇跡に近いと言われました。

ウチも中三春の時点で同じ事言われました。
子供の高校の同級生の話を聞くと、得点率90%は当たり前、5教科満点という強者も結構います。
ここで、偏差値の話から
偏差値65以上の上位7%に成績表の5が付きます。
偏差値63は、上位9.7%(22/223)
偏差値59は、上位18.5%(42/223)
となります。結構当たってますね。
つまり、63まで上げるということは、
学内で、22番以内に入るということです。
中間期末は、範囲も少ないので、突如ランクインすることもありますが、常時20番前後が出れば、偏差値63ぐらいなったと言って良いでしょう。

もし、受験直前まで偏差値63までたどり着かなかった場合、志望校の志願倍率などみて受験を決めたら良いと思います。1.1倍ぐらいなら、60ぐらいでも充分合格できると思います。(ウチの子の時はコレだった)
1.3倍だったら60では先ず無理だと思います。

普通、志願倍率が教育委員会から、HPに発表になってからも志願先を変更できると思います。(地域によって違うかも)

成績上位(43/223)から、22番ぐらいに上げるのは、『相手も頑張っている』ゾーンなので、結構努力が必要です。(それでも絶対ではない)

いずれにせよやる前にあきらめるより、直前まで頑張る事を小生は薦めます。

ウチの子(現高三)と同じ状況ですね。
ウチの子は、中三の春60ぐらいから、63の公立に行きました。
校内の成績は、9教科36~39ぐらい
220人中良いときで30番台後半、悪いときで60番ぐらい。5教科平均点は、400~420点でした。

どのデーターを取ってもほぼ同じですね。

>偏差値59ぐらいの子が偏差値を63まで上げるのは奇跡に近いと言われました。

ウチも中三春の時点で同じ事言われました。
子供の高校の同級生の話を聞くと、得点率90%は当たり前、5教科満点という強者...続きを読む

Q「以降」ってその日も含めますか

10以上だったら10も含める。10未満だったら10は含めない。では10以降は10を含めるのでしょうか?含めないのでしょうか?例えば10日以降にお越しくださいという文があるとします。これは10日も含めるのか、もしくは11日目からのどちらをさしているんでしょうか?自分は10日も含めると思い、今までずっとそのような意味で使ってきましたが実際はどうなんでしょうか?辞書を引いてものってないので疑問に思ってしまいました。

Aベストアンサー

「以」がつけば、以上でも以降でもその時も含みます。

しかし!間違えている人もいるので、きちんと確認したほうがいいです。これって小学校の時に習い以後の教育で多々使われているんすが、小学校以後の勉強をちゃんとしていない人がそのまま勘違いしている場合があります。あ、今の「以後」も当然小学校の時のことも含まれています。

私もにた様な経験があります。美容師さんに「木曜以降でしたらいつでも」といわれたので、じゃあ木曜に。といったら「だから、木曜以降って!聞いてました?木曜は駄目なんですよぉ(怒)。と言われたことがあります。しつこく言いますが、念のため、確認したほうがいいですよ。

「以上以下」と「以外」の説明について他の方が質問していたので、ご覧ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=643134

Q模試で全国100位以内に入る人

さまざまな模試がありますが、あれで全国100位以内に入る学生はとんでもなく賢いということなのでしょうか?
東大生でも毎年3000人は入学するわけですよね?100位以内に入る学生はセンター試験でも当然9割5分は余裕というレベルなのでしょうか?

Aベストアンサー

私の頃は代ゼミが9割5分でトップ5、河合が15~20位くらいだったとも思います。駿台は9割でもトップ5に入れました。記述であれば9割程度でも50位程度であれば十分入ることが出来ますよ。
偏差値は河合だとトップが80~84、駿台や代々木は75~78程度にとどまります。
一般模試は特別難しい問題は出ないので、普通に勉強してさえいれば上位にはいるのは特別困難なことではありません。
かといって東大・京大模試は8割とればトップになる(7割でも上位10位以内にはいることが出来ます)のであまり参考になりませんが。
実際のセンターは古文最終問題を見落としてしまって-43点?(漢文の最後の問題が順不同なため)、結果的に93%前後でした。
上位常連に知り合いは何人かいましたが、91~96%で結構ばらつきはありました。
結論を言いますと、上位30であっても95%が余裕かと問われればそうでもないです。90%であれば余裕と答えまいたが(受験生当時)

Q成績順位の推定

中学校の期末試験の推定の順位を知りたいのですが?

分かっているのは、
500点満点
受験者総数は243人で、
各点数範囲の人数は、
0~99点  1人
100~149点 4人
150~199点 4人
200~249点 10人
250~299点 33人
300~349点 23人
350~399点 45人
400~449点 83人
450~500点 40人

そして、点数468点の人の順位は?
あくまでも統計上から推定すると、上位から何番目になるのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

数学としての理論計算のご依頼ならば #2の方のように、パターンに当てはめて推測をすることができますが、今回は親御さんとして、「40位以内」という情報よりも詳しい情報を求めていらっしゃるのでしょう?(20位以内なら推薦をもらえる、というような。)
そこまで精度を求めても恐らく、計算で得られるのは期待する「現実の予想」とはかけ離れている可能性がありますから、#3の方がおっしゃる通り、「40位以内」あるいは「恐らく40位よりは、多少上」である程度納得して、過去は忘れて次のことに向き合った方が現実的だと思いますよ。

もう少し具体的に言うと、240人程度、という母集団も小さいと思います。
それに、中学生の成績は乱高下するので、いつも実力通り、とは限りません。425点→385点→445点 というような例は山ほどあります。順位表だって、作るとすればいつも同じラインアップではないでしょう。

さらに、「正規分布とすれば」というような仮定が、現実とだいぶ乖離します。
0~99点  1人
100~149点 4人
150~199点 4人
200~249点 10人
250~299点 33人
300~349点 23人
350~399点 45人
400~449点 83人
450~500点 40人
のピークがどこにありますか? 400~449点 の度数ですね。棒グラフを描けば、左右対称でないことがわかるでしょう。

中学も高校も、成績の分布はしばしば、ふたこぶラクダのような、複数ピークになりがちです。実際、今回のテストでも 250~299点 に小さなピークがありますね。
学校によっては、470点前後にもう一つピークができることもあります。

よって、今回の成績だけで見るよりも、全回までの度数分布と比較なさるのはいかがですか。前回の
400~449点 65人
450~500点 55人
(仮)というような分布と比較することによって、さらに、前回の順位が最終的にわかっていさえすれば、
「今回前回の55位の人は、今回はもっと低い点数に下がった可能性がある」
「今回40位の人は、前回もっと点数が上だった」
全体的にどのくらい上がっているか、下がっているか、
という参考情報にはなるでしょう。

あとは学校と直談判するぐらい、私には推測が立ちません。
さっき言ったように乱高下するお年頃なので、
30位か35位か よりも、「どこの集団に(先頭集団に)入っているか」「前回よりも努力を怠っていないように見えたか」の方が重要なのでは、と個人的に思います。

数学としての理論計算のご依頼ならば #2の方のように、パターンに当てはめて推測をすることができますが、今回は親御さんとして、「40位以内」という情報よりも詳しい情報を求めていらっしゃるのでしょう?(20位以内なら推薦をもらえる、というような。)
そこまで精度を求めても恐らく、計算で得られるのは期待する「現実の予想」とはかけ離れている可能性がありますから、#3の方がおっしゃる通り、「40位以内」あるいは「恐らく40位よりは、多少上」である程度納得して、過去は忘れて次のことに向...続きを読む


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