微分の計算

（1）y=log(10)XのX＝１における微分係数
（2）y=e^XのX=0における微分係数
（3）y=log(10)Xを微分
（4）y=e^Xを微分
という問題です。（）のなかは底としてください。

数学の教科書にはそれぞれ公式として答えだけ
だされてしまっていて計算ができません。
それぞれf'(X)=lim<h→0> {f(X+h)-f(X)}/h
を使って計算過程も示さなければならないのですが
hの部分がうまく消せなくてこまってます！！

計算方法の詳細をおしえてください！！！

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/06 09:57

各関数の定義を

ちゃんと確認してから始めないと、
1 階微分係数を示すのに、
先に関数をテーラー展開して
それを援用するような、
循環論に陥ったりするのです。

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2010/04/06 01:43

#3です。

A#3の補足について

(2)
f'(0)=lim<h→0>｛e^(0+h)-e^0}/h=lim<h→0>(1/h)｛e^h -1}
ここで
e^h=1+h+h^2/2+h^3/6+ ...(|h|<∞で収束) なので

f'(0)=lim<h→0>(1/h)(h+h^2/2+h^3/6+ ...)
=lim<h→0>(1+h/2+h^2/6+ ...)=1

(4)も同様にできるでしょう。やってみて下さい。
分からなければ途中計算を補足に書いて分からない所をきいて下さい。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/05 23:15

指数関数や対数関数を定義するやり方は、ひと通りではなく、

どれを定義として採用するかしだいで、
質問のような基礎的な計算のし方は、違ってきます。
だから、まづ、教科書または講義録で定義を確認しないと、
何を示せばいいのかさえ判りません。

例えば (4) を、
「公式だから」ではなく、計算して導こうとすれば、
e^x という関数の定義を確認せざるをえませんが、

log の逆関数として定義する流儀、

指数 a^x のなかで x=1 での微分係数が 1 であるような
ものを e^x とする流儀、

微分方程式 dy/dx = y,　y(0) = 1 の解を y = e^x と
定義する流儀、

ベキ級数を使って e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + …
を定義とする流儀、

etc.

実に様々な宗派があり、それぞれの立場によって、
計算の方法以前に、計算すべき内容が異なるのです。
貴方の教科書に書いてある e^x と log x の定義を補足に書くこと。
全ては、そこから始まります。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/04/05 22:55

>数学の教科書にはそれぞれ公式として答えだけ

>だされてしまっていて
答えが分かっているなら答えを補足にお書きください。

>hの部分がうまく消せなくてこまってます！！
>計算ができません。

どこの計算が分からないのですか？
質問者さんのやった計算過程が書いて頂かないと、どこが分からないのかチェックできません。

ヒント
(1)y=log(10)x (x=1におけるy')
f'(1)=lim<h→0> {f(1+h)-f(1)}/h
=lim<h→0> {log(10)(1+h)-log(10)1}/h
=log(10)e*lim<h→0> {log(1+h)}/h
=log(10)e*lim<h→0> log{(1+h)^(1/h)}
eの定義から
　e=lim<h→0> (1+h)^(1/h)
したがって
f'(1)=log(10)e*log e=log(10)e or =1/log(e)10

他も同様にできるかと思いますのでやってみて下さい。分からなければ、計算過程を補足に書いて質問して下さい。

この回答への補足

ヒントをもとに（１）と（３）はなんとか解くことができたのですが、
（２）と（４）がわかりません。
とりあえずlimを考えずに中身だけで先に
考えているのですが、
｛e^(x+h)-e^x}/h=(1/h)｛e^(x+h)-e^x}
と変換までしてみました。
｛｝の計算に行き詰ってしまってこれ以上先に
進めなくなってしまいました・・・。

補足日時：2010/04/05 23:14

No.2 回答者： ItachiMasamune 回答日時： 2010/04/05 22:35

教科書の対数の微分の導入部分に、計算過程とeの定義は載ってないんですか？

いきなり(logx)'=1/xとか(e^x)'=e^xとか書いてありますか？

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2010/04/05 22:27

変な順番なので以下の順序で計算する。

（3）y=log(10)Xを微分
y=log(10)X=logx/log10 (底を省いたときは自然対数を表すこととする。
y'=(1/x)/log10

（4）y=e^Xを微分
y'=e^x

（1）y=log(10)XのX＝１における微分係数
(3)より1/log10=log(10)e

（2）y=e^XのX=0における微分係数
(4)より1