円筒座標系と球座標系の単位ベクトルに関して

Question

直角座標系以外の円筒座標系と球座標系の位置ベクトルに関して質問があります。
まずは、円筒座標系から。
「円筒座標系で、原点とP(r,φ,z)との間のベクトルを求めよ」

直角座標系の場合だと、x,y,zのそれぞれの方向の単位ベクトルとそれぞれの方向の成分を
掛け合わせることで、ベクトルを表現できると思います。

しかし、円筒座標系の場合はどうなのでしょうか？

単純にx,y,zと同じようにr,φ,zについての単位ベクトルをa,b,c（例として）とし、成分を掛け合わせ
OP=r*a+φ*b+z*c となるのでしょうか？

しかし、これではおかしいと感じます。というのも、
とくにφはいったいどういう向きの単位ベクトルなんでしょうか？
円方向の単位ベクトルってことになるんでしょうかね？

そうでなければ、座標変換して
x=r*cosφ
y=r*sinφ
z=Z
として、直交座標の場合と同じようにやるのでしょうか？

球座標系に関しても同じ質問です。

muturajcp · Accepted Answer

OP=r*(1,φ,0)+z*(0,0,1)
となります
ただし、(1,φ,0)_{円筒座標系}=(cosφ,sinφ,0)_{直交座標系}

(r,φ,z)_{円筒座標系}　の近傍での局所座標系の
r 方向の単位ベクトル e_r は
e_r=(1,φ,0)_{円筒座標系}=(cosφ,sinφ,0)_{直交座標系}
φ 方向の単位ベクトル e_φ は
e_φ=(1,φ+π/2,0)_{円筒座標系}=(-sinφ,cosφ,0)_{直交座標系}
z 方向の単位ベクトル e_z は
e_z=(0,0,1)

eatern27 · Answer

例えば２次元平面での極座標を考えましょうか。

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Transformation2polar_basis_vectors2.svg

にある図の原点がＯ、各ベクトルの始点がＰです。
ベクトルＯＰをe_r,e_φの線形結合で表すとどうなるのですか？
直線ＯＰとe_rが平行なのは分かりますか？

eatern27 · Answer

>とのことですが、やはり直交座標に置き換えて
>x,y,z軸方向の単位ベクトルで示すのでしょうか？
別にそうしてはいけない理由はありませんが、デカルト座標系の基底を使うのなら「円筒座標系で考えている」事にならないのでは。
補足等を拝見する限り、参考書の問題か何かを解いているようですが、その問題の趣旨は、(デカルト座標系の単位ベクトル(基底)ではなく)円筒座標系の単位ベクトル(基底)の線形結合でベクトルＯＰを表しなさい、という事ですね。


>OP = (r*cosφ)a_x＋(r*sinφ)a_y＋z*a_z
>「a_xはx軸方向の単位ベクトル」
>「a_yはy軸方向の単位ベクトル」
>「a_zはz軸方向の単位ベクトル」としています。
>ということでしょうか？
式自体は正しいですが、円筒座標系で考えるのなら、x,y,z方向の単位ベクトルは忘れてr,φ,z方向の単位ベクトルを考えましょう。

eatern27 · Answer

一般論(と言っても斜交座標系とかは考えてないようですが)としては、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/20vectr/050vct.html
にある通り。

http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/cgi-bin/pukiwiki/index.php?%CE%CC%BB%D2%CE%CF%B3%D82006%C7%AF%C5%D9%C2%E811%B2%F3
http://www.engin.brown.edu/courses/en3/Notes/Vector_Web2/Vectors6a/Vectors6a.htm
http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html
の辺りの図も参考になるかと。



>単純にx,y,zと同じようにr,φ,zについての単位ベクトルをa,b,c（例として）とし、成分を掛け合わせ
>OP=r*a+φ*b+z*c となるのでしょうか？
No.

>とくにφはいったいどういう向きの単位ベクトルなんでしょうか？
>円方向の単位ベクトルってことになるんでしょうかね？
上のURLを参照。

>点の位置が変わると単位ベクトルも変化するってことですか？
Yes.

>(_は左下につける小文字のことですよね？)
下付き文字は"_"を使って表すのが多いですね。
※「小さく書く文字」という意味で「小文字」と書いたのでしょうが、普通「小文字」と言えばabc・・・zを指すのでは。

muturajcp · Answer

OP=r*cosφ*(1,0,0)+r*sinφ*(1,π/2,0)+z*(0,0,1)
となります。
ただし、+ と　スカラー倍の定義が通常とは異なります。
(r_1,φ_1,z_1)+(r_2,φ_2,z_1)=(r_3,φ_3,z_3)
(r_3)^2=(r_1)^2+(r_2)^2+2r_1r_2cos(φ_1-φ_2)
cosφ_3=(r_1cosφ_1+r_2cosφ_2)/r_3
sinφ_3=(r_1sinφ_1+r_2sinφ_2)/r_3
z_3=z_1+z_2
となるように　r_3,φ_3,z_3　を決めて　+ を定義します。

s を実数とし
s≧0のとき s(r,φ,z)=(sr,φ,sz)
s<0のとき　s(r,φ,z)=(|s|r,φ+π,sz)
とスカラー倍を定義します。
単位ベクトルは
a=(1,0,0)
b=(1,π/2,0)
c=(0,0,1)

alice_44 · Answer

円柱座標 (r1,φ1,z1) で表される位置ベクトルと
(r2,φ2,z2) で表される位置ベクトルの和が、
(r1+r2,φ1+φ2,z1+z2) になるかどうか
を尋ねたのです。
ベクトルであれば、そうなるはずです。
線型とは、そういうこと。

alice_44 · Answer

＞ それとも、
＞ OP=r*a+φ*b+z*cなのか・・・
＞（a,b,cを単位ベクトルとしてます）

単位ベクトルかどうか以前に、その a,b,c が本当に
ベクトルなのかどうか、再考のこと。

alice_44 · Answer

「距離ベクトル」って何ぞ？ 私は、そんな言葉知らないな。
原点と点Pとの間のベクトルなら、↑OP にきまってる。工夫の余地無し。

それを、直交座標の成分で表すならば、↑OP = (r cosφ, r sinφ, z)。
これは、ベクトルが (r cosφ, r sinφ, z) なんじゃなくて、
ベクトルの直交座標表示が (r cosφ, r sinφ, z) だということ。
ベクトルは、あくまで ↑OP。
そこんとこの区別というか、ケジメは必要かと。

alice_44 · Answer

単位ベクトルと成分表現は、
空間の元を線型に表示するための道具。
円柱座標や球面座標は、線型じゃないよ。

円筒座標系と球座標系の単位ベクトルに関して

OP=r*(1,φ,0)+z*(0,0,1)

例えば２次元平面での極座標を考えましょうか。

>とのことですが、やはり直交座標に置き換えて

この回答への補足

一般論(と言っても斜交座標系とかは考えてないようですが)としては、

この回答への補足

OP=r*cosφ*(1,0,0)+r*sinφ*(1,π/2,0)+z*(0,0,1)

この回答への補足

円柱座標 (r1,φ1,z1) で表される位置ベクトルと

この回答への補足

＞ それとも、

この回答への補足

「距離ベクトル」って何ぞ？ 私は、そんな言葉知らないな。

この回答への補足

単位ベクトルと成分表現は、

この回答への補足

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OP=r(1,φ,0)+z(0,0,1)

OP=rcosφ(1,0,0)+rsinφ(1,π/2,0)+z*(0,0,1)

＞それとも、

「距離ベクトル」って何ぞ？私は、そんな言葉知らないな。