行列の積の性質なんですが・・

とてもつまらない質問で恥ずかしいのですが・・行列の積の性質で「AE=EA=A（Eは単位行列）」というのはAE=EAが成り立つときAE=EA=Aが成り立つという意味なのでしょうか？

No.6 ベストアンサー 回答者： apple-man 回答日時： 2003/06/22 19:22

　この場合、単位行列Eが存在するというところが

重要なのです。

　交換法則と単位行列が存在するというのは、
大学の数学科でやるような群論で扱う、
アーベル群と呼ばれるものの基本性質で、
これが成立するかしないかで全体の
性質が大きく変わってきます。
　
　今数学をどこまでやられているかわかりませんが、
高校の範囲で、写像という概念を勉強されるはずです。

行列Aの成分が変数だった場合、
AE=A
が成立するというのは、Aという集合を
そのままAに写す（一対一、上への写像　全単射）が
成り立つ写像Eが存在していることを意味します。


上のほうで、大学の数学科と書きましたが、
この群論から導き出される性質は、物理学を
はじめ電気、電子工学の理論に応用されます。

　今は２行２列といった、比較的単純なものを
扱っていると思いますが、Aがもっと複雑になり
それを物理学などに応用するとき、今勉強
されている基本的な性質の知識が役立ちます。

　今は単位行列を使用されていますが、群論では
この概念を拡張して、単位元と言っています。
何かの法則の式が出てきたとき、この
単位元が存在すると証明できれば、今勉強されて
いるもろもろ性質が使えるわけです。
　

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございました！！またよろしくおねがいします！！

お礼日時：2003/08/23 16:32

No.5 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/06/22 17:57

ＡＥ＝Ａ

ＥＡ＝Ａ
の２つの式をまとめた、と考えたほうがわかりやすいかも
知れないですね。

どちらからかけても相手を変えないのが単位行列。

もちろんその結果　ＡＥ＝ＥＡ　もいえるわけです。

この回答へのお礼

大変参考になりました！！ありがとうございました！！

お礼日時：2003/08/23 16:32

No.4 回答者： h-kiku 回答日時： 2003/06/22 17:57

単位行列の性質は、

(1) AE=A
(2) EA=A
の、(1) かつ (2) を満たすため、必然的に
AE=EA
が成立します.

このような回答で理解して頂けるでしょうか.

この回答へのお礼

ありがとうございました！またよろしくおねがいします！！

お礼日時：2003/08/23 16:33

No.3 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/06/22 17:55

mkmmkmさん、こんにちは。

＞行列の積の性質で「AE=EA=A（Eは単位行列）」というのはAE=EAが成り立つときAE=EA=Aが成り立つという意味なのでしょうか？

Eを単位行列とすると、どんな行列Ａをもってきても、
AE=EAとなっています。
つまり、交換法則が成り立っています。
また、Eはどんな行列をかけても、もとの行列にするという行列なので
AE=A,EA=Aとなります。
このことを、まとめて
AE=EA=A
のように書いているのです。

つまり、AE=EAが成り立っていて、それはＡになる、ということですね。

この回答へのお礼

分かりやすい説明ありがとうございます！またよろしくおねがいします！！

お礼日時：2003/08/23 16:33

No.2 回答者： kbannai 回答日時： 2003/06/22 17:50

高校の数学教員です。

別に恥ずかしく思わなくてもいいのではないですか。わからないことを疑問に思うことは大事です。

行列の積は、数の乗法と異なります。
行列Ａ,Ｂの積ＡＢが（行列のの列数と列ベクトルの次元が一致するときに）定義されても、ＢＡが定義されるとは限りません。

一般に、ＡＢ、ＢＡがともに定義されても、交換法則ＡＢ＝ＢＡは成り立たないのです。

ところが単位行列Ｅを考えると、ＡＥ＝ＥＡであり、それはＡなのです。

この回答へのお礼

ありがとうございました！大変分かりやすかったです！！

お礼日時：2003/08/23 16:34

No.1 回答者： shiga_3 回答日時： 2003/06/22 17:47

というよりも、単位行列Eは前から掛けても後ろから掛けても答えは元の行列Aと同じになる、という意味です。

（数字の計算で1*X=X*1=Xというときの1と同じようなものです）

この回答へのお礼

そうなんですか！ありがとうございました！！

お礼日時：2003/08/23 16:34