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とてもつまらない質問で恥ずかしいのですが・・行列の積の性質で「AE=EA=A(Eは単位行列)」というのはAE=EAが成り立つときAE=EA=Aが成り立つという意味なのでしょうか?

A 回答 (6件)

 この場合、単位行列Eが存在するというところが


重要なのです。

 交換法則と単位行列が存在するというのは、
大学の数学科でやるような群論で扱う、
アーベル群と呼ばれるものの基本性質で、
これが成立するかしないかで全体の
性質が大きく変わってきます。
 
 今数学をどこまでやられているかわかりませんが、
高校の範囲で、写像という概念を勉強されるはずです。

行列Aの成分が変数だった場合、
AE=A
が成立するというのは、Aという集合を
そのままAに写す(一対一、上への写像 全単射)が
成り立つ写像Eが存在していることを意味します。


上のほうで、大学の数学科と書きましたが、
この群論から導き出される性質は、物理学を
はじめ電気、電子工学の理論に応用されます。

 今は2行2列といった、比較的単純なものを
扱っていると思いますが、Aがもっと複雑になり
それを物理学などに応用するとき、今勉強
されている基本的な性質の知識が役立ちます。

 今は単位行列を使用されていますが、群論では
この概念を拡張して、単位元と言っています。
何かの法則の式が出てきたとき、この
単位元が存在すると証明できれば、今勉強されて
いるもろもろ性質が使えるわけです。
 
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この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございました!!またよろしくおねがいします!!

お礼日時:2003/08/23 16:32

AE=A


EA=A
の2つの式をまとめた、と考えたほうがわかりやすいかも
知れないですね。

どちらからかけても相手を変えないのが単位行列。

もちろんその結果 AE=EA もいえるわけです。
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この回答へのお礼

大変参考になりました!!ありがとうございました!!

お礼日時:2003/08/23 16:32

単位行列の性質は、


(1) AE=A
(2) EA=A
の、(1) かつ (2) を満たすため、必然的に
AE=EA
が成立します.

このような回答で理解して頂けるでしょうか.
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この回答へのお礼

ありがとうございました!またよろしくおねがいします!!

お礼日時:2003/08/23 16:33

mkmmkmさん、こんにちは。



>行列の積の性質で「AE=EA=A(Eは単位行列)」というのはAE=EAが成り立つときAE=EA=Aが成り立つという意味なのでしょうか?

Eを単位行列とすると、どんな行列Aをもってきても、
AE=EAとなっています。
つまり、交換法則が成り立っています。
また、Eはどんな行列をかけても、もとの行列にするという行列なので
AE=A,EA=Aとなります。
このことを、まとめて
AE=EA=A
のように書いているのです。

つまり、AE=EAが成り立っていて、それはAになる、ということですね。
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この回答へのお礼

分かりやすい説明ありがとうございます!またよろしくおねがいします!!

お礼日時:2003/08/23 16:33

高校の数学教員です。



別に恥ずかしく思わなくてもいいのではないですか。わからないことを疑問に思うことは大事です。

行列の積は、数の乗法と異なります。
行列A,Bの積ABが(行列のの列数と列ベクトルの次元が一致するときに)定義されても、BAが定義されるとは限りません。

一般に、AB、BAがともに定義されても、交換法則AB=BAは成り立たないのです。

ところが単位行列Eを考えると、AE=EAであり、それはAなのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!大変分かりやすかったです!!

お礼日時:2003/08/23 16:34

というよりも、単位行列Eは前から掛けても後ろから掛けても答えは元の行列Aと同じになる、という意味です。

(数字の計算で1*X=X*1=Xというときの1と同じようなものです)
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この回答へのお礼

そうなんですか!ありがとうございました!!

お礼日時:2003/08/23 16:34

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