ｎ，ｍを自然数とするとき、

ｎ，ｍを自然数とするとき、
ｎのｍ乗とｎのｍ＋４乗の一の位の数字は
同じであることの証明方法を教えてください!!

No.4 ベストアンサー 回答者： banakona 回答日時： 2010/05/16 20:52

一の位の数字が同じってことは、ｎ＾(m+4)－ｎ^mが１０の倍数になるということ。

ｎ＾(m+4)－ｎ^m＝ｎ＾m（ｎ^4－１）＝ｎ^ｍ（ｎ^２＋１）（ｎ＋１)（ｎ－１）

ｎが奇数のときは、（ｎ^２＋１）（ｎ＋１)（ｎ－１）だけで１０の倍数になることを示せる。

ｎが偶数のときは、ｎ^ｍが偶数であるので、（ｎ^２＋１）（ｎ＋１)（ｎ－１）が５の倍数になることを示せばよい。

この回答へのお礼

なるほど！
わかりました！！
回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/05/16 21:00

No.3 回答者： gatch_ky 回答日時： 2010/05/16 20:32

n^m = n^(m+4) mod 10

を示す。

n^m = n^(m+4) mod 2・・(1)
かつ
n^m = n^(m+4) mod 5・・(2)
を示せばよい。
両辺の遇数か奇数は一致するので(1)は自明。
(2)を示す。
nが5の倍数なら自明。
nが5の倍数でないとする。
1^2=1 mod 5
2^2=-1 mod 5
3^2=-1 mod 5
よってn=1,2,3のとき
n^4=1 mod 5
よって
n^m(n^4-1)=0 mod 5

この回答への補足

なぜ
n^m = n^(m+4) mod 10
を示せればいいのかが
わかりません。

あと、ｎが５の倍数でないときのところの
後半の
よってn=1,2,3のとき
n^4=1 mod 5
よって
n^m(n^4-1)=0 mod 5
がわからないのですが…？

補足日時：2010/05/16 20:47

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/05/16 19:46

まず、質問。

「n の m乗とｎの (M+13)乗の一の位の数字は同じ」じゃありませんか？
　　

この回答への補足

ｎのｍ乗とｎのｍ＋４乗であってますよ！

補足日時：2010/05/16 19:57

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/05/16 19:24

こんばんわ。

一の位だけ分離して考えればよいかと。
n＝ 10p+ q（pは 0以上の整数、qは 0≦ p≦ 9を満たす整数）とでもすれば、
・n^mの一の位は、q^mの一の位
・n^(m+4)の一の位は、q^(m+4)の一の位

となりますね。
うまい方法があるかもしれませんが、0≦ q≦ 9ですので、このパターンを全部調べるのも一つの方法だと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
１～９を何乗かしたときの一の位は
０→０００００…
１→１１１１１…
２→２４８６２…
３→３９７１３…
４→４６４６４…
５→５５５５５…
６→６６６６６…
７→７９３１７…
８→８４２６８…
９→９１９１９…
と(ｍ＋４)番目と同じになすね！
すごいです(0＾∀＾0)/

ほんとにありがとうございました。

お礼日時：2010/05/16 19:45