地球の中心の引力

地球の中心の引力
今１の力で地上で地球に引っ張られてるとし、地球の中心に空間を開けれたとし、そこにいたら、四方八方に0.5で引っ張られることになるのでしょうか。
重力とは、ある方向にある物質の量に比例するのか、ある物質の重心に発生するものなのか
教えてください。もし、３ｍｘ３ｍの物質が、地球の直径と同じだけあったとしたら
その両端は1の重力で引っ張られますか？そうすると、その棒状の側面はどういう重力が
かかりますか？

No.3 ベストアンサー 回答者： drmuraberg 回答日時： 2010/05/18 20:02

万有引力の式、

質量ｍとMの物体が距離ｒを隔てて置かれた時に
その物質間に働く引力は、万有引力定数をGとして
F=GmM/r^2　(r^2はｒの２乗）
で与えられるはご存じですね。

地球の上に有る質量ｍの物体にrを物体と地球重心の間の距離をｒとして
この式が成り立ちます。
これは、物体の重心と地球のある部分の質量ｍ’とその距離ｒ’に付いて
万有引力の式を各部分に付いて立て、各部分を地球全体の体積の分だけ足してやると
（数学的には積分という操作です）、ｍ’の和はMとなり、距離ｒ’は
重心間の距離ｒで置き換えられてお馴染みの万有引力の式になります。

この事を念頭に置いて、地球の中心の空洞に立っている質量ｍの人を考えます。
彼には、彼の頭の上にある地球の部分ｍ’から万有引力による力ｆ
ｆ=Gm*m'/r'^2
が作用します。
これを、彼の上下前後左右に付いて足し合わせます（常に引力です。押す力では
有りません！！）。
そうすると全ての引く力は球対称ですから互いに相殺して引力ゼロの
釣り合い状態になります。
宇宙遊泳の体験を楽しみたかったら、地球の中心まで穴を掘って、そこに空洞を
作れば時間の制限もエネルギもいらず飽きるほど楽しめます。

３ｘ３ｍのご質問は意味が判りずらいのですが、ちょっと数式で遊んでみます。
長さが２で両端に２個の質量mの付いたダンベルを考えます。
このダンベルの軸（握り）を底辺としてその真ん中から距離Lの所にもう一つの
質量ｍが付いています。
（底辺２、高さLの二等辺三角形の各頂点に質量ｍが付いている。）
この頂点の質量に働く、ダンベルの軸に向いた力を求めてみます。
それぞれの質量を別々に考えた場合の軸方向の引力Fsは
Fs=2Gm^2*(L/R^3) ここにR=√(1+L^2)
底辺の質量をダンベル軸の中心に有る２ｍの質量で置き換えた時の引力Faは
Fa=2Gm^2*(1/L^2)
となります。
Fs,Faとも係数2Gm^2は同じなので、L/R^2と1/L^2の差をLを変えて見てみます。
L=1なら、 L/R^3=0.438, 1/L^2=1.00
L=3なら、 L/R^3=0.095, 1/L^2=0.111
L=10なら、L/R^3=0.010, 1/L^2=0.010
となり、距離Lが大きくなるほど２つの値は近づいて来ます。
つまり、ダンベルの重心の位置に質量が集中しているという近似は
より正確なものになります。

３ｘ３ｍの地球ほど長い角柱の両端に働く地球の引力と言う質問でしたら、
上の例の様に、角柱の各部と地球の各部の間に万有引力の式を立て、
地球と角柱の位置関係を定め、その上で地球の全体積と棒の全長全体積に付いて
積分してやる必要が有ります。

基礎的な多重積分計算ですが、誰もやらないでしょう。

No.2 回答者： cozycube1 回答日時： 2010/05/17 05:56

　電磁気学で計算することが多いのエスが、重力も式の形が同じなので同じ結果が出ます。

地球の中心に空洞を開けたら、空洞のどの位置にいようと無重力（無重量）状態です。

No.1 回答者： cznut9 回答日時： 2010/05/17 05:17

「１の力で地上で地球に引っ張られてるとし、

地球の中心に空間を開けれたとし、そこにいたら、
四方八方に0.5で引っ張られることになるのでしょうか。」
1と0.5という比率に根拠がありません。
中心にいたらひっぱられるのではなく押されるのですよ。
引力は中心に向かうのだから周囲から押されるのです。

「ある方向にある物質の量に比例するのか」
量ではなく質量に比例し距離に反比例します。

「物質の重心に発生するものなのか」
重心に発生するのではありません。
重心に向かうのです。

「３ｍｘ３ｍの物質が、地球の直径と同じだけあったとしたら」
地球の直径はそれより大きいので仮定できません。

「その両端は1の重力で引っ張られますか」
3あるいは地球の寸法と、1という数値に脈絡がありません。

「その棒状の側面は」
３ｍｘ３ｍは板状であり棒ではありません。