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一般線型群GL(n,R)の連結性について
多様体入門[松島]のp166の例題で分からないところがあるので教えてください。
行列式が正である行列の集合をGL_{+}(n,R)とします。
これが連結であることを示したいです。
帰納法で考え、GL(1,R)は正の実数の集合に普通の積を群演算としたものなので連結。
GL(n-1,R)が連結であるとし, GL_{+}(n,R)の正規部分群Hを
(1,1)成分が1で(k,1), (k≧2)成分が0であるようなGL_{+}(n,R)の部分群とします。
HはR^{n-1}×GL_{+}(n-1,R)と同相なので帰納法の仮定から連結。
商群GL_{+}(n,R)/Hは第1列の成分が全て等しいGL(n,R)の元を同値類とする集合になります。
GL_{+}(n,R)/Hには商位相をいれます。

ここで質問したいのですが
GL_{+}(n,R)/HとR^{n}\{0}が位相同型になると書いてあるのですがどうやって示したらよいでしょうか?

これがいえると部分群Hと商空間GL_{+}(n,R)/Hが連結なので、GL_{+}(n,R)が連結だということが言えます。

よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

>GL(1,R)は正の実数の集合に普通の積を群演算としたものなので連結



GL(1,R)={x<0}∪{x>0}だから連結ではありません.
GL^{+}(1,R)なら連結.typoですね.
帰納法の仮定もtypo.

>商群GL_{+}(n,R)/Hは第1列の成分が全て等しいGL(n,R)の元を同値類とする集合になります。
というのであれば実際に写像を作ればいいでしょう.

GL^{+}(n,R)/H の元 [A] の第一列を a とすれば
写像 f:GL^{+}(n,R)/H -> R^[n}-{0}
f([A]) = a
とすればaは0ベクトルではなく,
同値類のとり方にも依存せず well-defined.
fは明らかに同相でしょう.


むしろ,
>商群GL_{+}(n,R)/Hは第1列の成分が全て等しいGL(n,R)の元を同値類とする集合になります。
これの証明はどうするんだろうかなあ.計算しんどそうだし。。。
松島本は押入れに眠ってるからすぐだせない(苦笑)

この回答への補足

間違いのご指摘ありがとうございます。冷静に考えたら分かった気がします。

GL_{+}(n,R)の行列の第1列のベクトルに対応させる写像gを考えると連続開写像だから
fも連続開写像になりfは同相写像になるということですね。


剰余類AHの元をBとすると
B=AC,Cの第1列は第1成分が1で残りが0の行列で両辺の第1列の成分を比べればAとBの第一列は
一致します。

補足日時:2010/05/17 23:18
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    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2010/05/17 23:31

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Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
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と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
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Q有限個の要素からなる位相空間は、コンパクトかつ離散的でしょうか?

有限個の要素からなる位相空間は、コンパクトかつ離散的でしょうか?

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したがって、どんな位相を入れて、どんな被覆をとったとしても
有限被覆が選べるので、コンパクトということになる。

離散的というのはどんな異なる2点をとったとしても、それぞれの
2点を含む開集合で交わらないものがとれるというハウスドルフの
ことですか?分離できるという意味?
これは位相の入れ方によるので何とも言えません。
たとえば空集合と全体集合だけからなる位相を入れたときはだめとか。
それとも他の意味で離散的ということを使っている?

Q誰か…縮小写像についての質問。解析です

g(x)=2x(1-x)  0<x<1
のとき
x=g(x)
とすると不動点定理成り立ちますよね?
だって、x=g(x)は絶対に1/2に収束するし。

でも、|g(x_1)-g(x_2)|<=k|x_1-x_2|
とするとkが1より大きくなってしまって証明ができないんです。
誰か助けてください(T_T)

Aベストアンサー

#3補足。

> 自分が大学で教えてもらったのとはだいぶ違うんで混乱気味です。

大学で教えてもらった方法があるのなら、それを使えばよろしい。
質問の関数の場合、たまたま微分可能だったので、平均値の定理を使ったまでである。

縮小写像の原理とは、普通、次のことを指す。
集合Aにノルム(または距離)が定義されていて、Aが閉集合と仮定し、
gが、ある集合AからAへの写像であるとき、(g:A→A)
(1)g(x)の値域が、g(x)の定義域に含まれていること。( g(A)⊂A )
(2)ある定数kが存在して(0≦k<1)、任意のx1,x2∈Aについて,
|g(x1)-g(x2)|≦k|x1-x2|が成り立つこと。
(1),(2)を満たすようなg(x)を縮小写像といい、このとき、
   x=g(x)を満たすx(不動点)がAの中に存在する。

縮小写像の原理は、不動点定理の特別な場合といってよい。ブラウエルの不動点定理など、一般の不動点定理では、(2)の条件は用いず、g(x)が連続関数であることと、(1)の条件および、Aに適当な性質を付加して、不動点の存在を述べるものである。縮小写像は、(2)の条件から明らかに連続になる。(2)の条件は連続よりもっと強く、リプシッツ連続の条件になっている。

質問の式、「g(x)=2x(1-x) (0<x<1)」は、(1)の条件を満たす連続関数であるから、閉区間(0≦x≦1)に修正すると、不動点の存在が言える。(不動点の存在をいうには極限の存在を前提にするため、関数を閉区間で定義しておかないと具合が悪い。)質問のg(x)は、0<x<1では(2)の条件を満たしていない。例えば、x=1の近傍では、成り立っていない。(2)をいうには、もう少し、区間を狭める必要がある。

区間を決定する際、g(x)が区間上で微分可能なら、話は簡単で、平均値の定理から、
g(x1)-g(x2)=g'(x3)*(x1-x2)
となるようなx3が、x1<x3<x2の中にとれる。ここでもし、区間の中で、|g'(x)|≦k<1が成り立つように、kを決めることができれば、
|g(x1)-g(x2)|=|g'(x3)|*|x1-x2|≦k|x1-x2|
とできる。g'(x)は簡単に計算できることが多いので、そこから、|g'(x)|<1となる区間を定め、(2)の条件が成立する区間を決める。次に、その区間上で、(1)の条件が成立しているかを調べ、成立していなければ、さらに区間を狭めて、(1)が成立するようにきめればよい。
そのように考えると、g(x)の定義域を1/4≦x≦3/4に制限すれば縮小写像になる。ただし、区間はもっと狭くしてもよいので、一つに決まるようなものではない。

#3補足。

> 自分が大学で教えてもらったのとはだいぶ違うんで混乱気味です。

大学で教えてもらった方法があるのなら、それを使えばよろしい。
質問の関数の場合、たまたま微分可能だったので、平均値の定理を使ったまでである。

縮小写像の原理とは、普通、次のことを指す。
集合Aにノルム(または距離)が定義されていて、Aが閉集合と仮定し、
gが、ある集合AからAへの写像であるとき、(g:A→A)
(1)g(x)の値域が、g(x)の定義域に含まれていること。( g(A)⊂A )
(2)ある定数kが存在して(0≦k<...続きを読む

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む

Q「一点aを閉集合であることを示せ」。 一点aは集合でないのでこの文章は間違ってますよね?

「ユークリッド空間Rの一点aは閉集合であることを示せ」
(昨日のテスト問題です)
これ、一点aが閉集合であることという言い方がおかしいですよね?
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おそらく、一点aのみを元とした集合だと思ったのです。でもあくまで
集合の元を点と言っているだけでA自身は集合なので、問題の説明は誤っていますよね?

Aベストアンサー

1点集合のことですね。1点からなる集合{a}を意味してるはずです。
ユークリッド空間Rですから、もっと書くと[a,a]のような閉区間です。

位相空間をやっているようなので、もう既にご存じだと思いますが、数学で「点」にはいろんな意味があるので、あながちおかしいとも言い切れません。そういう使い方をしてる数学の方は大勢いらっしゃいますし。
私としては、1点でもいいと思います…。

ちゃんとした回答じゃありませんが、参考までに。。


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