連立微分方程式の解き方がわかりません
f(x,Pn)=φ(x,Pn)+φ(x, -Pn)
と、xで偏微分した
f'(x,Pn)=φ'(x,Pn)+φ'(x, -Pn)=λf(x,Pn) λは、実定数
の連立微分方程式 です。 (要は、固有値問題)
整理すると、
φ'(x,Pn)+φ'(x, -Pn)=λφ(x,Pn)+λφ(x, -Pn)
これを、以下と置ければ、解けるのですが、
φ'(x,Pn)=λφ(x,Pn)
φ'(x, -Pn)=λφ(x, -Pn)
そう置いて、いいものかどうか、わかりません。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
第一式 f(x,Pn) = φ(x,Pn) + φ(x,-Pn) は、微分を含んでいないので、
微分方程式としては、連立でも何でもありません。
まず、第二式 f '(x,Pn) = λ f(x,Pn) を微分方程式として解いてから、
第一式については、後でゆっくり考えてはどうですか?
さっそく、ありがとうございます。
本来の式は、-iがつきますので、
-if '(x,Pn)/f(x,Pn) = λ
両辺を xで積分して、In f(x,Pn)=iλx
f(x,Pn)=exp(iλx)
=φ(x,Pn) + φ(x,-Pn)
で、
φ(x,Pn)+φ(x,ーPn) =exp(iλx)
これからが、わからなくなりました。
={exp(iλx)+exp(-iλx)}exp(ia) と置くのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
方程式を訂正したのですね。
φ(x,Pn) + φ(x,-Pn) = exp(iλx) であれば、
g(x,Pn) = φ(x,Pn) - (1/2) exp(iλx) と置いて、
g(x,Pn) + g(x,-Pn) = 0。
g(x,y) が y について奇関数でありさえすれば、
この式は成立します。すなわち、
g(x,y) が x について偏微分可能で、
y について奇関数でありさえすれば、どんな関数であっても、
φ(x,Pn) = (1/2) exp(iλx) + g(x,Pn) が質問の解になります。
なるほど、そうするのですね。
よくわかりました。
で、結果は、
φ(x,Pn) = (1/2) exp(iλx) + g(x,Pn)
φ(x,-Pn) = (1/2) exp(iλx) + g(x,-Pn) ただし g(x,-Pn)は奇関数
ですね、x、-Pn についてφは、同じ形でないといけないから。
でも、元題は、
-i∂/∂x を∂xとすると、∂xf(x、Pn)=λf(x、Pn) の固有関数なのです。
この答えで、十分なのでしょうか?
No.3
- 回答日時:
「g(x,Pn) が奇関数」と書くと、
x について奇関数 g(-x,y) = -g(x,y) みたいに
聞こえますが、
y について奇関数 g(x,-y) = -g(x,y) です。
その点に誤解がなければ、それで ok でしょう。
解釈は、φ(x,Pn) = (1/2) exp(iλx) + g(x,Pn)
ただし、g(x,y) は、x について(偏)微分可能で、
y について奇関数であるような、任意の関数
です。
この答えが不十分だとすれば、
元題と質問との間で、問題が違っているのでしょう。
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