虚数の計算を教えてください

(-2)^(-i)
(-1)^(-i)
1^(-i)
2^(-i)


それぞれ何になるのですか？

質問者からの補足コメント

• 

  i^(i)、、実数。マジック、、訳がわからないです。
  
  
  
  

    補足日時：2024/04/17 19:27

• 

  ふと、思いました。
  
  我々は、小学校の頃から、整数に慣れています。リンゴが3個、みかんが5個とか、、洗脳を受けているのでは？
  
  実は、我々の住んでいる世界は、整数は存在しなくて、虚数で出来ているかもしれない、、、
  
  行く川のながれは絶えずして、しかも本の水にあらず。よどみに浮ぶうたかたは、かつ消えかつ結びて久しくとゞまることなし。

    補足日時：2024/04/18 14:37

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/17 15:52

まずはおさらいから...

複素冪関数 x^y は、多価関数ですが、
x≠0 であるような任意の (x,y) の近傍で一価正則な枝を持ちます。
それが、多価でありながら多価「関数」と呼ばれる所以です。

log x の枝をひとつ固定して LOG x と名前をつけると、
log x = LOG x + 2πin (nは整数) の関係があります。
LOG としては、実対数関数を何か適当な複素領域へ
解析拡張したものを選んでおくのが便利です。

その上で、複素冪関数は
x^y = e^log(x^y) = e^(y log x) = e^(y (LOG x + 2πin)) と書けます。

x > 0 であれば、このまま代入して、
2^(-i) = e^(-i (LOG 2 + 2πin))　；nは任意の整数
　　　= e^(i (-LOG 2) + 2πn)
　　　= e^(i (-log 2)) e^(2πn)
　　　= { cos(-log 2) + i sin(-log 2) } e^(2πn)
　　　= cos(log 2) e^(2πn) - i sin(log 2) e^(2πn),
1^(-i) = e^(-i (LOG 1 + 2πin))　；nは任意の整数
　　　= e^(2πn).

x < 0 であれば、log x = log( (-x)(-1) ) = log(-x) + log(-1) から、
(-2)^(-i) = e^(-i (log 2 + log(-1))
　　　= e^(-i (LOG 2 + π + 2πin))　；nは任意の整数
　　　= e^(-i (log 2 + π)) e^(2πn)
　　　= { cos(log 2 + π) - i sin(log 2 + π) } e^(2πn)
　　　= - cos(log 2) e^(2πn) + i sin(log 2) e^(2πn),
(-1)^(-i) = e^(-i (LOG 1 + π + 2πin))　；nは任意の整数
　　　= e^(-iπ) e^(2πn)
　　　= -e^(2πn).

この回答へのお礼

複素関数論を、再々再勉強します。いくら勉強しても、すぐに忘れます。

教科書読むより、動画を見た方が効率が100倍良いので、ヨビノリさんの動画を見てます。

https://youtu.be/PFRHbGFc-h8

お礼日時：2024/04/18 14:58

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/17 21:48

-1=e^{i(2n+1)π}

i=e^{i(4n+1)π/2}

この回答へのお礼

1^(-i)=e^(2π）

ミステリー小説、SF小説を超えていると感じます。（ここでも、eとπとiが登場してます。）

数学や物理が、面白いと感じるのは、この（直観的に）訳のわからない数学が、我々の物理の世界と繋がっている点だとは感じませんか？

お礼日時：2024/04/18 14:49

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/04/17 13:44

a^x=e^(loga・x)

と定義すると
logaは値域を複素数とすると、aが実数でも
本質的に多価関数です。

なのでaが正の実数なら、logも実数のみ返すときめ
aが負や複素数でも
loga=log|a| + +i(∠a)) (∠xはxの偏角θ -π<θ～≦π)

と無理やり単価とする流儀もあります。

これに従うと、オイラーの公式と組み合わせると
log(-2)=1og2+iπ
(-2)^i=e^((log2+iπ)i)=e^(-π+ilog2)
=e^(-π)(coslog2+isinlog2))

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/04/17 09:12

-2=e^{ln2+(2n+1)πi}

と変形してから計算します。

(-2)^(-i)=[e^{ln2+(2n+1)πi}]=e^{-(2n+1)π+ln2*i}
となります。(2n+1の前のマイナスは適当な変数置換をすることで消せます)

他の３つも同様に計算すればよい。