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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
minku2002さん、こんにちは。
これは、アルキメデスが正多角形の外周から、円周率を求めた方法で
3.11よりも大きいことが証明できるかと思います。
以前にあったご質問で私も回答しておりますので、ご参照ください。
簡単に言いますと、まず最初に、半径1の円周と、
それに内接する正6角形を考えます。
すると、正6角形は、正三角形6つ分ですから
その外周は6ですね。
円周=直径×Π
ですから
6<2Π
となって、Πは3より大きいことが、まずはいえます。
この正6角形をさらに2等分ずつした正12角形を考えます。
参考URLの計算のとおりに、ピタゴラスの定理だけで計算を進めていくと
√3≒1.73とすると
2-√3≒0.27
√(2-√3)≒0.5196
正12角形の外周は
12×0.5196=6.2352
これが、直径×Πよりも小さいので
6.2352<2Π
ゆえに
3.1176<Π
という近似ができました。
ただし、√3≒1.73としましたがこれを1.732とすると
3.1061<Π
ですから、3.11<Π
を証明するには、さらに2等分して正24角形の計算をしなければならないでしょう。
ご参考になればうれしいです。がんばってください。
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=565236
この回答へのお礼
お礼日時:2003/07/05 16:10
やっぱり難しい問題だったって事が よく分かりました。
分からないながら少しずつ理解できてきましたfushigichanさんのお陰です 本当に有り難う御座いました。
No.4
- 回答日時:
minku2002さん、こんにちは。
はっきりいうと、
多角形を使って計算するのは効率が悪すぎるのでお勧めしません。
参考URLのMachinの公式を使った方がいいでしょう。
4{1/5 - 1/(3*5^3) + 1/(5*5^5) - 1/(7*5^7) + 1/(9*5^9) - …}
-{1/239 - 1/(3*239^3) + 1/(5*239^5) - 1/(7*239^7) + 1/(9*239^9) - …} = π/4
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=298622
No.2
- 回答日時:
こんにちは
内接する正n角形の面積<円の面積<外接する正n角形の面積
nr^2・sin(π/n) <πr^2<nr^2tan(π/n)
内接する正n角形の外周<円周<外接する正n角形の外周
2nrsin(π/n) <2πr<2nrtan(π/n)
今回の問題であれば、単位円に内接する正n角形の外周を求めればよいでしょう。
(面積だと収束率が悪いですね。)
2nrsin(π/n) <2πr<2nrtan(π/n)
とりあえず、2rは各項に含まれるので、取り除きます。
nsin(π/n) <π<ntan(π/n)
例えば内接する正方形(n=4)では、外周は2√2≒2.82になります。
nを大きくしていけば、πに限りなく近づいて行きます。
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