
実数の数学的帰納法(連続帰納法)っていうのが
http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/msie/gr-thesis/ms …
にあるのですが、セクション2のI、II、IIIを示しても、
単調増大列が無限大に発散するとは限らないので、ある数以上の実数全体について示されるとは思えないのですが、
どのような仕組みなのですか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
反省しました。
流石に乱暴すぎたようです。で、反省の結果。。。
L={l;a<x<l なる全てのxについてQ(x)}
とおけば、
・Lは空でない
・Lが上に有界ならば、
上限をもつのでそれをmとおく。
mがLの元ならば、IIより∃c、m<x<c・・・・で矛盾
mがLの元でないなら、IIIよりm∈L・・・で矛盾
したがって、Lは上に有界ではない。
という論旨ではいかがでしょうか。
No.2
- 回答日時:
いやぁ、最初見たときはあなたと同じ疑問が生じますねぇ。
とはいえ、著名な廣瀬、島内両先生からの引用ってことを踏まえると信用せざるを得ない。
で、考えたら次のような方針でいかがでしょう。
Qが成り立つ元の集合が上に有界だとすると、上限αがある。
このαをIIIのcと置くと、
b < α なる任意の実数b をとったとき,b < x < α
なる任意のx についてQ(x) が成り立つ・・・・(*)
ので、Q(α)が成り立つ。
従ってαでQは成り立つ。
するとIIから、α<cなるcが存在して、α < x < c なる任意の実数x に
ついてQ(x) が成り立つ。これはαがQが成立する元の集合の上限であることに反する。
ってな感じでいかがでしょうか?
(*)のところが少し乱暴ですが、きっと大丈夫ですよね。
No.1
- 回答日時:
a(n)が単調増大列とは任意のn1<n2に対して
a(n1)≦a(n2) ・・・・・*
が成立することだ。無限に発散しないということは
あるn0に対して任意のn、m≧n0ではa(n)=a(m)になることだよな。ということは
n0以上でも*は言えるんじゃないのか。
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