実対称行列の対角化に関する理屈が正しいか判断願います。

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質問者：izayoi168
質問日時：2010/06/28 22:40
回答数：2件

実対称行列の対角化に関する理屈が正しいか判断願います。

(3 3 1)
(3 9 -1)
(1 -1 1)の実対称行列を対角化します。

固有方程式を作り、サラス式で展開すると固有値は0と(13±√(57))/2となります。
ここまでは、数学カテゴリの回答者の皆さまに確認いただいています。

ここからが疑問です。

そもそもこの行列は実対称行列であって固有値はすべて実数である、つまり、適当な直行行列で固有値を対角成分とする対角行列に変換できることが保証されているのだから、固有値を適当に対角に並べた行列が対角行列となる。

解は
1行目((13-√(57))/2 0 0)
2行目(0 (13+√(57))/2 0)
3行目(0 0 0)
となる。

という考え方はどうでしょうか？
判断をお願いします。

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回答 (2件)

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No.1ベストアンサー

回答者： Tacosan
回答日時：2010/06/28 23:57

問題の正確な文言にもよるけど, 単に「対角化しろ」という問題であれば不適切だと思う. 「対角化」というのは「適切な正則行列によって相似変換で対角行列にする」というプロセスであり, 途中を飛ばして最後の対角行列を出すというのは「プロセス」を示したことにならないから.

ちなみに「直行行列」じゃなくて「直交行列」だし, それをおいても「この行列は実対称行列であって固有値はすべて実数である、つまり、適当な直交行列で固有値を対角成分とする対角行列に変換できることが保証されている」というのは曖昧な文章ですな.

この回答への補足

>>「プロセス」を示したことにならない

僕もそう思います…orz

テキストでは
”定理　対称行列の固有値は全て実数である”
”定理　対称行列は直交行列により、固有値を対角成分として対角化できる”

とあって、その後に例の出題があり、解答にはいきなり対角行列のみが示されています。
正則行列には触れていません。

一般的な固有値の対角化ならばできるのですが、(13±√(57))/2の固有ベクトルを求めるのに時間がかかりすぎます。試験時間の配分上10分＋αで解答しなければなりません。

いい方法が思いつきません…

補足日時：2010/06/30 02:16

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