二次形式の標準化を利用した対角化について

二次形式の標準化を利用した対角化について
理解が不十分なところがあります、ご教授願います。

(3 3 1)
(3 9 -1)
(1 -1 1)の実対称行列を対角化します。

この固有値は0と(13±√(57))/2となります。しかし、これでは固有ベクトルが求め難く、合理的な解法では無い気がします。

そもそも二次形式の標準形は行列で表したときに対角行列になるのだから、問題の行列を二次式にして、平方完成すれば良いのではと思います。

でx1,x2,x3を用いて、二次式にすると3x1^2+9x2^2+x3^2+6x1x2+2x1x3-2x2x3になります。
ラグランジェ法を参考に平方完成すれば、

=(x1-x2+x3)^2+2x1^2+8x2^2+8x1x2
=(x1-x2+x3)^2+2(x1^2+4x2^2+4x1x2)
=1*(x1-x2+x3)^2+2*(x1+2x2)^2

以上より、
(1 -1 1)
(1 2 0)
(0 0 0)の直交行列によって

(1 0 0)
(0 2 0)
(0 0 0)に対角化できる。

というのはどうでしょうか？
テキストの模範解答は直交行列を示さずに

1行目((13-√(57))/2 0 0)
2行目(0 (13+√(57))/2 0)
3行目(0 0 0)

となっています。

やっぱり、私はどこか根本的に間違えているのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/11 22:19

＞ ２次形式の平方完成による対角化の考え自体は許容できる範囲なのでしょうか？

計算間違いさえしなければ、その考え方で全く問題ないのですが…
その平方完成を簡便に行う手法のひとつが、固有値を使った行列の対角化なのだ
と思います。ただ式を睨んでいても、平方完成できる訳ではないので。

この回答へのお礼

固有値が奇麗な数であれば固有ベクトルから行列を作って対角化するのですが、固有値がややこしい数字なので、平方完成を考えました。

ともあれ、月末に代数学IIの試験ですので頑張ります。

お礼日時：2010/07/12 17:32

No.2 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/07/11 14:16

「(1 -1 1)

　(1 2 0)
　(0 0 0)の直交行列に」

これは直交行列ではありませんよね。

この回答への補足

確かに、直交では無いようです…orz

２次形式の平方完成による対角化の考え自体は許容できる範囲なのでしょうか？

補足日時：2010/07/11 21:58

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/07/11 09:33

まずは検算です。

この回答へのお礼

取りあえず、検算してみたところ、間違っている気がしてきました。
ご指摘ありがとうございます。

お礼日時：2010/07/11 21:55