固有ベクトルの解の求め方について

以下のような固有ベクトルについて、
行列Bの最小固有値およびそれに対応する長さ1の固有ベクトルを求めよ。
という問題を解いています。
https://imgur.com/IYSeXz7
そこで最小固有値は0というところを出せたので、
行列Bから固有ベクトルを求めようとしました。
すると x=y, y=z という関係がわかったので、
固有ベクトルは任意定数 a で表して (x,y,z)=a(1,1,1) で、
これに行列Bの大きさ（行列式）の逆数をかけたものが答えと考えました。

しかし解答は以下の画像のようになっており、任意定数がありませんでした。
また、行列Bの大きさとしてルートが出てこないのですが、
どのように画像のような答えを導けるのでしょうか？
https://imgur.com/CBgnH5Z

ご教授よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/05/15 06:04

固有ベクトル

(x,y,z)=a(1,1,1)
の長さ
√(x^2+y^2+z^2)=|a|√3=1
だから
|a|√3=1
|a|=√3/3
a=±√3/3
∴
(x,y,z)=(±√3/3)(1,1,1)

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/15 07:07

「長さ1の固有ベクトル」という条件を無視してる。

それにそもそも制約のない固有ベクトルの大きさは任意なんだから
「行列Bの大きさ（行列式）の逆数」を掛けても
何の意味もないです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/05/14 20:18

問題を勘違いしてないか?

「長さ 1 の固有ベクトルを求めよ」って問題で, どうして「任意定数」が必要? そして, なぜ「行列Bの大きさ（行列式）の逆数をかけ」る?

もっとも, 「最小固有値が 0」だったら行列式が 0 なのでその「逆数」をかけることなどできないはずなのだが....