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非弾性衝突で運動量はどうして保存されるのでしょうか?

物体A(質量m1,速度v1)と物体B(質量m2,速度v2)が非弾性衝突をする時、(v1とv2は同じ向き、外力無視)
運動量は保存されるのに、運動エネルギーが保存されないのは何故だろうと思って調べてみると、
「運動エネルギーは、衝突による音や熱や変形などで消費されるので、保存則が成立しない」
という説明があり、すごく納得できました。2年前の話です。
そのことを今日思い出し、ふと思ったのですが、逆に、
運動エネルギーが保存されないのに、どうして運動量は保存されるのでしょうか?
音や熱や変形などによって確実に「何か」が消費されたのですから、
運動エネルギーだけでなく運動量も減る気がするのですが………。

別の訊き方もしてみます。
AとBの重心の速度をVとすると、
 V=(m1v1+m2v2)/M  (M=m1+m2)
AとBの運動量の和Pは
 P=p1+p2=m1v1+m2v2=MV となり、
AとBの運動量の和は、速度Vで運動する質量Mの仮想物体Cの運動量に等しいということになりますが、
AとBの運動量が保存されるということは、Cの速度が一定ということですよね。
どうして一定になるのでしょうか?

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A 回答 (5件)

>AとBの運動量が保存されるということは



それは近似あるいは理想化です。関係する系の全運動量は衝突の前後で保存されますが、AとBの運動量の和は厳密には保存されません。

>音や熱や変形などによって確実に「何か」が消費されたのですから、運動エネルギーだけでなく運動量も減る気がするのですが………。

例えば、衝突の際に運動エネルギーの一部がA、Bの内部で熱になったとします。熱せられたA、Bは、得た熱のエネルギーを赤外線として放射して元の温度に戻りますが、一般にその赤外線放射は空間に対して完全に等方的(どの方向にも同じ)ではないでしょう。よって、その赤外線は運動量の一部を持ち去り、AとBの運動量の和は保存されません。ただ、マクロの問題では、多くの場合、そのような効果は無視できるほど小さいので、AとBの運動量の和は保存される、といって構わないのです。

ミクロな粒子の非弾性衝突では、衝突によって生じる光子も含めて運動量の保存則を適用する必要が出てきます。

すると問題は、運動エネルギーが有意に減少するマクロの非弾性衝突において、衝突物体A、Bの運動量の和の変化はどうして無視できるほど小さいのか、ということになります。それには二つ理由があるように思います。

(1)エネルギーはスカラー量であるが、運動量はベクトル量であり方向ももつ。
(2)いまの場合、音や熱の生成は散逸過程であり、方向性を持ちにくい。

例えば運動エネルギーの一部が衝突によって熱になる場合、物体全体としての、ある方向性をもった運動が、物体内部の、方向性を持たない熱運動に散逸するわけです。その際、エネルギーはスカラー量ですから、前者から後者への変換に特に問題はありません。しかし、熱運動の方向はふつうランダムですから、熱運動全体としては方向性をほとんど持たず、その運動量はほぼ零ベクトルです。よって、熱運動は衝突前の物体A、Bの運動量をほとんど受け継ぐことができず、A、Bのマクロな運動に伴う運動量はほぼそのまま保存されることにならざるをえません。

音や変形に伴う運動エネルギーの散逸についても、同様に考えることができるのではないでしょうか。
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この回答へのお礼

ご教授感謝します!
こういう説明を待っていました。
やはり物理学というのは、大抵理想的な世界について論じるもののようですね。

お礼日時:2010/07/25 17:13

運動エネルギーを,重心運動エネルギーKGと相対運動エネルギーKRに分けるとわかりやすいです.



換算質量μ=m[1]m[2]/(m[1]+m[2])、重心速度VGとして,
 KG=(1/2)(m[1]+m[2])VG^2
 KR=(1/2)μ(v[1]-v[2])^2
と定義することにします.物体Aの運動エネルギーをK1、物体Bの運動エネルギーをK2とすれば,
 K1+K2=KR+KG
が成り立ちます.(実際に計算してみれば本当に成り立っているのがわかります)

非弾性衝突なので跳ね返り係数e(0≦e<1)を
 e(v[1]-v[2])=v’[2]-v’[1]
と定義することにします.(衝突後の速度をv’としています)

すると,衝突後の運動エネルギーK’は,先のKRとKGを用いると,
K’=KG+(e^2)KR
となります.

結論として,衝突に対して重心運動エネルギーは不変であり,相対運動エネルギーは減少します.
全体の運動エネルギーの減少分=相対運動エネルギーの減少分,というわけです.
重心運動エネルギーが不変ということから,衝突前後での運動量が保存されるのもわかります.
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運動の「いきおい」を速さに比例するもの(運動量)と考えるか,速さ2乗に比例するもの(運動エネルギー)と考えるか,…というのは,実は力学の発展の歴史の一幕をなす重要問題でした。

で,結論はどうかといえば,どちらも重要な物理量であり,それぞれに異なる意味合いで運動の「いきおい」を表す量である,というのが現在の物理学がとっている立場です。さらに,相対論によれば運動量と運動エネルギーとは,時空のベクトルの空間成分と時間成分という形で,あらためて統一的に理解されていることは,上のような歴史的な経過からすると興味深い到達点といえます。

さて,概論はともかくとして,運動量保存は実質的な外力を受けずに相互に力を及ぼしあっている物体系において,運動の法則と作用反作用の法則によって導かれる帰結です。
簡単のため直線運動のみを考えます。

AがBから受ける力Fとすると,BがAから受ける力は-F
AとBが作用反作用の力を時間tだけ及ぼしあって,運動量が変化したとして

m1v1' - m1v1 = Ft
m2v2' - m2v2 = -Ft

この運動量変化=受けた力積という関係は運動方程式 ma = F の形を変えたもの(両辺を時間で積分したもの)に他なりません。

2式を加えると,

m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'

これが運動量保存ですね? ですから,運動量保存は作用反作用の法則に運動の法則(運動方程式)を適用したものに他ならないのです。また,Lilia-F さんがおっしゃるように,

「系の重心は,実質的な外力がゼロならば等速直線運動をする」

という結論は,まさに運動量保存の異なる表現なのです。重心の座標を得る公式をそのまま微分すると,その分子は系の運動量になりますね?

X_G = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2)

V_G = dX_G/dt = (m1dx1/dt + m2dx2/dt)/(m1 + m2)
  = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)

この考え方は,系の運動に対してとても柔軟で意義のある考え方を与えてくれます。すなわち,複数の物体が互いに力を及ぼしあって,系の内部でごちゃごちゃ運動量を交換しても,系の全体を代表する重心は,等速直線運動を続ける。これは,系全体として実質的な外力を受けていないために,慣性の法則から当然の帰結として得られる結論といってもいいのです。

作用反作用の法則と運動の法則という基本法則は,力学的エネルギーが目減りする非弾性衝突においても間違いなく成立しますから,力学的エネルギー保存の成立・不成立にかかわらず,外力が無視できる系においては必ず成り立つのです。
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質量m1[kg]の物体が最初速度v0で運動している。


この物体にF[N]の力を?t[s]間加えた。
すると、物体の速度はv[m/s]になった。
この文章を式で表すと、運動量と力積の関係より、
mv - mv0 = F・?t
となります。

なにが言いたいかというと、運動量の変化というのは、
「物体が受ける力F×力をうける時間?t」
で表されるということです。

あなたが質問されている状況ように、2つの物体が衝突する場合を考えます。
それぞれ物体A、物体Bとすると、それぞれ運動量と力積の関係の式をつくります。

物体Aの質量をm[kg]、初速度v1[m/s]、衝突後の速度v2[m/s]、
物体Bの質量をM[kg]、初速度v3[m/s]、衝突後の速度v4[m/s]、とすると、

A: mv2 - mv1 = F・?t ―(1)
B: Mv4 - Mv3 = F・?t ―(2)

物体AとBが及ぼしあう力は、作用・反作用により、絶対F[N]です。
力を及ぼしあう時間(物体が接触している時間)?tも同じです。

なので、(1)式と(2)式の右辺はともに同じ大きさです。
つまり、
mv2 - mv1 = Mv4 - Mv3

衝突前を左辺、衝突後を右辺に移動して整理すると、
mv1 + Mv3 = mv2 + Mv4

となり、運動量保存の式が導かれます。
この式がなぜなりたつかというと、
「物体AとBが及ぼしあう力は、作用・反作用により、絶対F[N]です。
 力を及ぼしあう時間(物体が接触している時間)?tも同じです。」
この文章が大事です。
弾性衝突であろうとなかろうと、この文章は成り立ちます。
だから運動量はいかなる場合でも成り立ちます。
なんかまとまりない文章になってしまいましたが少しは参考になったでしょうか?

ところで運動量[kg・m/s]とエネルギー[J]は単位をみてわかるように全く別物です。
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運動量も運動エネルギーも同じエネルギーです。

エネルギー保存の法則が成り立ちます。
AとBの運動量が保存されるということは、Cの速度が一定ということで、エネルギー保存の法則で、一定になるのです。逆方向に衝突したら、運動エネルギーは、衝突による音や熱や変形などで消費されるので、ゼロになるでしょう。
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Q非弾性衝突と弾性衝突

非弾性衝突は、運動量は保存されるが、力学的エネルギーは保存されない。また、弾性衝突は、運動量・力学的エネルギーはともに保存される。
非弾性衝突と弾性衝突の違いは何ですか。また、2つの問題の見分け方は何ですか。

Aベストアンサー

>非弾性衝突は、運動量は保存されるが、力学的エネルギーは保存されない。また、弾性衝突は、運動量・力学的エネルギーはともに保存される。

書かれているとおりです。

「弾性」ですから弾む性質です。
「よく弾む」か「あまり弾まないか」です。
よく弾むと言っても程度がわかりませんのでエネルギーが保存する場合には完全弾性衝突という方が分かりやすいでしょう。弾んでもエネルギーをいくらか失っているというのが普通の場合です。その場合弾んでいるから「弾性衝突」だと考えたくなりますね。
全く弾まないというのは衝突後くっついて一緒に運動してしまうという場合です。弾まないのですから「非弾性衝突」というイメージになります。エネルギーと対応させた場合の「弾性衝突」「非弾性衝突」と「弾む」「弾まない」という言葉の意味との間に意味にずれが生じています。
私としては
e=1 完全弾性衝突
1≧e>0 弾性衝突
e=0 非弾性衝突
がいいと思っています。「弾性」という言葉のイメージに合います。

でも実際は
e=1 弾性衝突(エネルギーが保存する)
1>e≧0 非弾性衝突(エネルギーは保存しない)
という使い方がされているようですね。

運動量保存は作用・反作用の法則から出てきます。
外力の働かない場合、重心の運動は保存するという内容だと考えても同じです。
普通2体衝突では何時も成り立つと考えてもいいものです。

エネルギーが保存しない場合が多いのはエネルギーの存在の仕方のバリエーションが多いからです。衝突で変形した、振動した、回転した、・・・が全てエネルギーの減少と捕らえられています。別の形のエネルギーに移っただけなんですが初めに考えていた枠組みから出てしまうので減少したと理解されているのです。

>非弾性衝突は、運動量は保存されるが、力学的エネルギーは保存されない。また、弾性衝突は、運動量・力学的エネルギーはともに保存される。

書かれているとおりです。

「弾性」ですから弾む性質です。
「よく弾む」か「あまり弾まないか」です。
よく弾むと言っても程度がわかりませんのでエネルギーが保存する場合には完全弾性衝突という方が分かりやすいでしょう。弾んでもエネルギーをいくらか失っているというのが普通の場合です。その場合弾んでいるから「弾性衝突」だと考えたくなりますね。
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Q運動量は保存されるのでエネルギーは何故保存されないのでしょうか?

運動量は保存されるのでエネルギーは何故保存されないのでしょうか?
2つの玉がぶつかって一体になって動くときは運動量保存則で求めることが出来ます。ですが、エネルギー保存則は成立しません。いつも暗記で答えを出しています。不思議です?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

`質問者様の意図が十分回答者の皆様に伝わっていないのではと感じました。多分力学的エネルギーや力学的運動量という言葉を使われた方が質問の意図がより明確になったかもしれません。

ともあれ私はこのセンスの良いご質問がとても気に入りましたので私なりの見解を述べさせて頂きます。

 質問者様の直感的な疑問はどちらの物理量も保存することはお解かりの上でなおかつご質問されているのだと思います。違和感を覚えられるのは、運動量の保存は質量と速度だけで何の他のパラメターや係数も出てこない極めてすっきりした形で成立する一方、エネルギー保存則はシステムを構成する多くの物理定数が介在し、多くの知識や情報を考察しないと上手く記述できないため、とても運動量の保存と同格とは考えられないと感じておられるのではないでしょうか。

エネルギーはさまざまな形を取るためそれらの集合として保存系が成り立ちます。運動量はエネルギーと異なりさまざまな形を取るとは言えません。例えば熱エネルギーもミクロに見れば気体や固体の分子は運動量を持つといえますがそのベクトルはあらゆる方向を持つためキャンセルされ保存の方程式に影響を与えません。つまりエネルギーはスカラー量であるのに対して運動量はベクトル量であると言うのが保存則を簡単にしている原因の一つといえます。
厳密に言えばベクトルの運動量の形態として場の運動量というのがあります。この物理量を考えると運動量保存則も質量と速度という二つの物理量だけでは表すことが出来ないといえます。しかしその補正項は微々たる量で場に蓄えられたエネルギーに速度を乗じて光速の2乗で割り算したものであるからです。これは相対性理論の基本的要請です。

しかしこの基本的要請が運動量保存則を本質的に簡単にしているのです
相対論ではエネルギーと質量が同じであること、運動系の質量エネルギーの展開の第1項が固有質量のエネルギー、第2項が運動エネルギーであることを考慮すれば運動量とエネルギーの関係は質点の場合は極めて明瞭です。
相対論的に運動量を一般的に定義すればエネルギーの流れを光速の2乗で除した物になります。

まとめますと
1.エネルギーはスカラー量でありさまざまな形態をとる。そのスカラー和が保存するため計算が複雑である。
2.運動量はベクトル量であるためミクロな動きは相殺され保存の方程式に影響を与えず極めて簡単に計算できる。
3.化学反応など複雑なプロセスを伴うエネルギー変換を伴っても全体のエネルギーに速度を乗じて光速の2乗で除した数値は変化しない。即ち質量が保存するという仮定のもとでは質点の運動量保存則に影響しない。
4.運動量のひとつの形態として力学的運動量の他に場に蓄えられた運動量というものが存在する。これは質点の持つ単純な運動量保存則に補正項を与えるがその数値は測定にかかるかどうかの極微量である。

`質問者様の意図が十分回答者の皆様に伝わっていないのではと感じました。多分力学的エネルギーや力学的運動量という言葉を使われた方が質問の意図がより明確になったかもしれません。

ともあれ私はこのセンスの良いご質問がとても気に入りましたので私なりの見解を述べさせて頂きます。

 質問者様の直感的な疑問はどちらの物理量も保存することはお解かりの上でなおかつご質問されているのだと思います。違和感を覚えられるのは、運動量の保存は質量と速度だけで何の他のパラメターや係数も出てこない極め...続きを読む

Q弾性衝突とは何ですか? e=1だから同じ速さで返ってくるのですか? この問題の衝突後のaは−vってこ

弾性衝突とは何ですか?
e=1だから同じ速さで返ってくるのですか?
この問題の衝突後のaは−vってことですか?

Aベストアンサー

>弾性衝突
2個の弾性体の衝突
e=1:完全弾性衝突
衝突によっても運動エネルギーの総和が同じ。
|v0|=|v|

e<1。非弾性衝突
衝突によって運動エネルギーの総和が減少。
e=|v0|÷|v|

問題文は完全弾性衝突の事を弾性衝突と言ってるから紛らわしい。
Aと壁が衝突する時、非弾性衝突。e<1
Aの速度vはe×|v0|

AとBが衝突する時、(完全)弾性衝突。e=1
運動エネルギーは保存されるから、質量が同じなら、Aの速度=0になり、Bの速度がvになる。
問題文は質量が違うからBの速度≠v

Q完全弾性衝突の時、は力積は0じゃないんですか? 向きを考えることによりあたいが出てしまっていますがこ

完全弾性衝突の時、は力積は0じゃないんですか?
向きを考えることによりあたいが出てしまっていますがこれはベクトルで考えているということでしょうか?

Aベストアンサー

>完全弾性衝突の時、は力積は0じゃないんですか?

なんで力積がゼロとなると考えたのですか?
力積の意味が分かっていますか?
高校物理では
 力積 = 運動量の変化
ですね。

衝突前の2物体の運動量の合計と、衝突後の2物体の運動量の合計とは等しい(保存する)ですが、物体ごとに見れば運動量は変わっていますよ。

お示しのものでは、分子の運動量が +mv から -mv に変わっているので、変化量は 2mv で、これが「力積」に等しいことになります。(壁の質量を無限大としているので、運動量の変化は分子だけで考えている)

完全弾性衝突では、「反発係数が1」です(衝突前後の2物体の「相対速度」が反転)。
壁の質量を無限大としているので、相対速度は分子の速度そのものです。従って、分子の速度の壁に垂直な成分は「同じ大きさで方向が反転」ということです。

>向きを考えることによりあたいが出てしまっていますがこれはベクトルで考えているということでしょうか?

当然ベクトルですが、「向きを考えることによりあたいが出てしまって」いるのは、上に書いたとおり「完全弾性衝突」で「反発係数が1」だからです。

>完全弾性衝突の時、は力積は0じゃないんですか?

なんで力積がゼロとなると考えたのですか?
力積の意味が分かっていますか?
高校物理では
 力積 = 運動量の変化
ですね。

衝突前の2物体の運動量の合計と、衝突後の2物体の運動量の合計とは等しい(保存する)ですが、物体ごとに見れば運動量は変わっていますよ。

お示しのものでは、分子の運動量が +mv から -mv に変わっているので、変化量は 2mv で、これが「力積」に等しいことになります。(壁の質量を無限大としているので、運動量の変化は分子だけで...続きを読む

Qこの場合は力学的エネルギーは保存されるのですか?

この場合は力学的エネルギーは保存されるのですか?
(1)「平面上に質量mの小球が2個ある.1個は静止しており,他の1個は速度Vで等速直線運動をしている.小球が衝突した.衝突後,小球はどちらも動き出した.衝突後の二つの小球の運動量の方向は一定の角をなしている.この角度を求めよ.ただし,この衝突は弾性衝突とし,摩擦は考えない.」
という問題の解説がわかりません.

「Vで動いていた小球の衝突後の速さをv1,静止していた小球の衝突後の速さをv2とする.
力学的エネルギー保存の法則からmV^2/2=mv1^2/2+mv2^2/2が成り立つから~~」
という解説がありました.
ここで思ったのですが,この場合,力学的エネルギーは保存されているのですか?

過去に
(2)「質量5.0kgの物体が10m/sの速さで飛んでいた.B点でその物体は1kgと4kgに分裂た.それぞれ43.3m/s,6.25m/sの速さで,進行方向に対して左30度,右60度に飛んでいった.」
という問題(例として答えを全て書いている.)をしました.

そこでmV^2/2=mv1^2/2+mv2^2/2にこの問題の数値を代入してみたのですが,ぜんぜん答えが違うのです.
なので(1)の問題の解説にあった力学的エネルギー保存の法則は成り立ってないように思えるのです.
もし成り立っているとしても進行方向と水平な方向,垂直な方向のそれぞれで成り立っているかな.と思います.

この場合は力学的エネルギーは保存されるのですか?
(1)「平面上に質量mの小球が2個ある.1個は静止しており,他の1個は速度Vで等速直線運動をしている.小球が衝突した.衝突後,小球はどちらも動き出した.衝突後の二つの小球の運動量の方向は一定の角をなしている.この角度を求めよ.ただし,この衝突は弾性衝突とし,摩擦は考えない.」
という問題の解説がわかりません.

「Vで動いていた小球の衝突後の速さをv1,静止していた小球の衝突後の速さをv2とする.
力学的エネルギー保存の法則からmV^2/2=mv1^...続きを読む

Aベストアンサー

「弾性衝突」といえば、力学的エネルギー保存則が成立する衝突のことをいうのです。

>数値を代入してみたのですが,ぜんぜん答えが違うのです.

(2)は分裂の問題です。分裂が起こるためには、火薬の爆発やばねが仕込まれているなど、内部で力学的エネルギーが放出される現象がなければなりません。そうでないと、分裂後の2物体が相対速度をもって離れていくことができません。分裂は力学的エネルギーが生じる現象であり、衝突前後で力学的エネルギー保存が成り立たないのは当然なのです。

なお、エネルギーはベクトルではない(スカラー量という)ので、「水平な方向,垂直な方向」という成分分離はそもそも成り立ちませんから、ご注意ください。

Q運動量保存の法則とエネルギー保存の法則の使い分けを教えて下さい。 教科書の説明だとなんとなくしかわか

運動量保存の法則とエネルギー保存の法則の使い分けを教えて下さい。
教科書の説明だとなんとなくしかわからないので、なるべく分かりやすく教えて下さい。

慣れれば自然と使い分けが出来るようになりますか?

Aベストアンサー

「使い分け」ではなく、全く違う法則です。

「運動量保存」は、物体の運動には本質的で常に成り立つもので、運動方程式そのものです。「外力が働かなければ、運動量は一定に保たれる」というものです。「衝突」や「太陽と惑星」のような「2体問題」では、2体どうしの内力のみが働き、外力は働かないので、運動量は保存します。

これを数式で説明すると、運動方程式は
 F = ma   ①
ですが、加速度は「微小時間中の速度変化」です。
 a = Δv/Δt
これを①に代入すれば
 F = mΔv/Δt = Δ(mv)/Δt
で、Δ(mv) は「運動量の変化」です。
ということで、外力が働かない F=0 のときには、Δ(mv) = 0 で「運動量の変化がない」=「運動量一定」になります。
つまり
・実際に外力が働く場合には、F≠0 なので、運動方程式①で物体の加速度を求めて運動のしかたを記述する。
・外力が働かない場合には、F=0 なので「運動量が保存される」ことから運動のしかたを記述する。
というのが、運動の問題を解く一般的な手法ということになります。

これに対して、「エネルギー保存の法則」は、熱や音・振動なども含めての「エネルギー保存」ですから、「摩擦は考えない」とか「空気の抵抗はない」とか「エネルギーのロスはない」という「理想的な、現実的にはあり得ない条件」でなければ成立しません。
たとえば、「衝突」であれば「完全弾性衝突」のときにしか成立しません。現実の衝突では、「ボールが縮んで歪み、復元力で戻ってボール表面に振動が生じる」とか「衝突で変形する」とか「衝突音がする」なので「運動に関するエネルギー」は保存しません。従って「運動を論じるときにいつでも使える」ものではありません。
そのような「エネルギーのロスはない」という特殊な条件が設定されたときに限り、「エネルギー保存の法則」を使った問題解決が可能になります。

「使い分け」ではなく、全く違う法則です。

「運動量保存」は、物体の運動には本質的で常に成り立つもので、運動方程式そのものです。「外力が働かなければ、運動量は一定に保たれる」というものです。「衝突」や「太陽と惑星」のような「2体問題」では、2体どうしの内力のみが働き、外力は働かないので、運動量は保存します。

これを数式で説明すると、運動方程式は
 F = ma   ①
ですが、加速度は「微小時間中の速度変化」です。
 a = Δv/Δt
これを①に代入すれば
 F = mΔv/Δt = Δ(mv)/Δt
で、Δ(mv) は...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q運動量保存の法則の成立のポイント

こんにちは、いつも勉強させてもらっています。
不明瞭なタイトルですみません。物理の問題で、運動量保存の法則が使えるか否かを判断するのに、こういう考えではどうかという私の考えを添削・確認頂きたく質問投稿いたしました。どうか宜しくお願いします。

運動量保存の法則が成り立つか否かは、「外力がその系に働いているか否か」、で決まるということをよく習いました。しかし、その外力としてどういうものが含まれるのかが、よく疑問に挙がります。たとえば、重力、たとえば、摩擦力などがよく質問にあがるのではないかと思います。

外力という考えを持ち込むよりも、

運動量保存の法則を当てはめたい物体の『質量・速度の変化が観測できること』がポイントではないかと思いました。運動量保存の法則は、作用反作用の法則から導かれる訳ですが、作用、反作用の力を受けた物体の質量が分からなければなりません。たとえば、質量m1の物体Aが速度vで地面にたたきつけられた場合、一般に運動量保存の法則は使えません。物体Aは地面(地球)から力を受け、地球も物体Aから同じ大きさの力を受けます。しかし、地球の質量も速度の変化を測定するのは「現実的には」不可能なので、運動量保存の法則は使えない、ということではないかと思っています。

また、キャスター付きのテーブル(質量m2)上で物体Aを速度vで滑らせると、摩擦力で速度が減速します。しかし、同じ大きさの摩擦力がテーブルにもかかるため、運動量保存の法則は適用できます。この場合、摩擦力は、いわゆる「外力」に含まれません。一方で、テーブルが地面に固定されている場合は運動量保存の法則は適用できません。テーブルに同等の摩擦力が働きますが、テーブルは地球に固定されており、地球の速度の変化を知ることはできないため、運動量保存の法則は使えません。この際、摩擦力は、運動量保存則を成り立たせないいわゆる「外力」になるかと思います。

重力はほとんどの場合「外力」として定義されますが、ある物体に地球からの万有引力が働いている場合、その物体もわずかながら地球に引力を及ぼし、作用・反作用が成り立ち、地球の質量・速度の変化がわかれば、運動量保存則を使えると思います(あくまで地球の質量・速度の変化がわかればだと思います)。

このように、運動量保存の法則が使えるか、使えないかを考える際、いわゆる「系に外力が働いているかどうか」という少々理解しにくい言葉よりも、「対象としている物体(たとえば、衝突の相手)についてその質量・速度の変化を観測できるかどうか」、と考えるのはどうかと思いました。もっと極端に言いますと、「作用の相手が地球かどうか(相手が地球、もしくは地球に固定されたものなら、運動量保存の法則適用不可)」、と考えるのはどうかと思いました。

以上ですが、皆さんにとって当たり前のことを申し上げているのかもしれないと心配しておりますが、
物理の諸問題を解く際のヒント、シンプルな考え方として、どうかと思いました。
もしかしたら、間違ったことを言っているかもしれないという心配もしており、どうか添削、訂正を
頂ければと思います。

宜しくお願いします。

こんにちは、いつも勉強させてもらっています。
不明瞭なタイトルですみません。物理の問題で、運動量保存の法則が使えるか否かを判断するのに、こういう考えではどうかという私の考えを添削・確認頂きたく質問投稿いたしました。どうか宜しくお願いします。

運動量保存の法則が成り立つか否かは、「外力がその系に働いているか否か」、で決まるということをよく習いました。しかし、その外力としてどういうものが含まれるのかが、よく疑問に挙がります。たとえば、重力、たとえば、摩擦力などがよく質問にあがる...続きを読む

Aベストアンサー

「観測できるかどうか」を基準とするという表現は誤解をまねくおそれがあるかと思われますが,ひとつの見方として正しい見方をされていると思います。

しかし,系とその内力,外力という考え方は十分シンプルであり,系に含まれる物体同士の間に作用する力が内力,それ以外の力は外力ということで作用反作用則と運動量保存則との関連に直接基づいた記述であると思います。また,細かい点を言えば,力の場という考え方をすれば,場の源の存在を捨象して場から受ける外力,という記述もなされますので,そういった場合は相手の「質量・速度変化」という概念すら現れません。とりわけ重力などはそうした場から受ける外力というイメージが強く,相手である地球の存在は捨象してよいとするのが初等的な理解であると思います。

Q高校物理コンデンサー

電池のした仕事の正体を教えてください


コンデンサーが一個のとき
コンデンサーにたまる静電エネルギーはQV/2で、電池のした仕事はQVとあるんです。
これは電池が電荷を運ぶのに使うエネルギーってことですか?
あと一つのコンデンサーに対してQVの仕事するんですか?つまりコンデンサーが三つだったら3QVになるってことですか?

それと電池とコンデンサー一つだけの回路のとき
電池の仕事=内部抵抗+コンデンサーの静電エネルギー
ってなりますよね?
内部抵抗って素材とかによって値が変化しませんか?
そしたら電池のした仕事は絶対QV
コンデンサーの静電エネルギーは絶対QV/2
と決められないんじゃないかと思いました。
混乱してます

どなたか教えてください

Aベストアンサー

電池がした仕事がQVという時には、電池は内部抵抗のない理想的な電圧源(電圧Vが一定)として扱っています。抵抗は電池とコンデンサの間に入っているとして扱っています。
同じ大きさのコンデンサを3個継ぎ、供給する電荷が3Qになれば3QVのエネルギを電池が供給することになります。

コンデンサと電池の間の抵抗が、どう変わっても、電池が一定の電圧を維持し、コンデンサの静電容量が一定で変化しない条件下で、十分(理想的には∞)な時間が経過すれば、電池の供給したエネルギーはQV,コンデンサの静電エネルギーはQV/2(ただし、Q=CV)になります。


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