完全単模の小行列であるM ｛（2l+1）×(2l+1)｝

完全単模の小行列であるM ｛（2l+1）×(2l+1)｝
のdet(M)の解き方を教えてください。


Ｍ =
| 1 0 0 ・・・0 1 |
| 1 1 0 ・・・0 0 |
| 0 1 1 ・・・0 0 |
| ・ ・ ・・　　 ・ ・|
| ・ ・ ・　・　 ・ ・|
| ・ ・ ・　　・ ・ ・|
| 0 0 0 ・・・1 1 |

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/28 20:35

普通に、第一列で余因子展開すると、

detM = 1・detA + 1・detB

ただし

A = M から第 1 行と第 1 列を除いた小行列 =
| 1 0 ・・・0 0 |
| 1 1 ・・・0 0 |
| ・ ・・　　 ・ ・|
| ・ ・　・　 ・ ・|
| ・ ・　　・ ・ ・|
| 0 0 ・・・1 1 |

B = M から最下行と最右列を除いた小行列 =
| 1 0 0 ・・・0 |
| 1 1 0 ・・・0 |
| 0 1 1 ・・・0 |
| ・ ・ ・・　　 ・|
| ・ ・ ・　・　 ・|
| ・ ・ ・　　・ ・|

A, B は、どちらも三角行列になっているので、
detA = detB = 1 はすぐ判る。

よって、detM = 2。
暗算級。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/28 20:37

失礼、いつもの訂正：

B = M から第 1 行と最右列を除いた小行列 =
| 1 1 0 ・・・0 |
| 0 1 1 ・・・0 |
| ・ ・ ・・　　 ・|
| ・ ・ ・　・　 ・|
| ・ ・ ・　　・ ・|
| 0 0 0 ・・・1 |

他は同じ。

No.2 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/28 18:17

M = M[2l+1]とします。

一般に
T=
|AB|
|OC|
とすると
det(T) = det(A)det(B).

M[2l+1]を行列式の値が変わらないように変形します
2行目 - 1行目
n列目 - 1列目
1 0 0 ... 0 0
0 1 0 ... 0 -1
0 1 1 ... 0 0
. . . ... . .
0 0 0 ... 1 1
さらに
3行目 - 2行目
n列目 + 2列目
1 0 0 ... 0 0
0 1 0 ... 0 0
0 1 1 ... 0 1
. . . ... . .
0 0 0 ... 1 1
=
これは
|AB|
|OC|
C = M(2l-1)
なので
det(M[2l+1) = det(M[2l-1]) = det(M[3]) = 2.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/07/28 18:04

「det(M) を解く」というのがどのような処理なのかわかりませんが, 行列式を求めるだけなら普通に展開すればいいのでは?