
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
言いたくはないけど、何でもかんでも微分と言うのはやめようよ。
いずれにしても、zは不要になる。
x+y=a、xy=bとすると、実数条件から a^2-4b≧0 ‥‥(1)
とすると、条件は a+z=3 x^2+y^2+z^2=(x+y)^2-2xy+z^2=a^2-2b+z^2=9 からzを消すと b=a^2-3a ‥‥(2)
(1)と(2)から、0≦a≦4 ‥‥(3) 4xy=4b=4(a^2-3a)=4(a-3/2)^2-9 これはaの2次関数だから (3)の範囲で考えると -9≦4xy≦16。
但し、最大値と最小値を与えるxとyの値は?
No.3
- 回答日時:
x+y+z=3 …(1)
x^2+y^2+z^2=9…(2)
4xy=k …(3)
とおくと
(3)から
y=k/(4x) …(4)
(1)から
z=3-x-k/(4x)…(5)
(4),(5)を(2)に代入してy,zを消去して整理すると
16x^4-48x^3+4kx^2-12kx+k^2=0 …(6)
x(≠0)を実数の範囲で変化させたときのkの範囲を求めればよい。
そのときのkの上限、下限がk=4xyの最大値、最小値となる。
最大値、最小値を求めてみよう。
(6)の左辺=f(x,k)とおく。
xでの微分f'(x,k)=0を満たすxがkの最大値、最小値を与える候補なので
f'(x,k)=0から
4(16x^3-36x^2+2kx-3k)=0 …(7)
(6),(7)を連立方程式として解くと(4),(5)からx≠0の場合を除けば
(x,k)=(2,16),(3(1±√5)/4,-9)
このとき(4),(5)からy,zも求めておくと
(x,y,z,k)=(2,2,-1,16),(3(1±√5)/4,3(1-(±√5))/4,3/2,-9)(復号同順)
x=0の場合はk=4xy=0なので上のkの範囲に入っており最大値、最小値にはならない。
k=4xyの最大値=16(x=y=2,z=-1の時)
k=4xyの最小値=-9(x=3(1±√5)/4,y=3(1-(±√5))/4,z=3/2の時,復号同順)
実際に(6)式のkを縦軸、xを横軸にとってグラフを描いてみるとkの最大値、最小値の意味が
よく分かるだろう。(添付図参照)
なお、別解として「ラグランジュの未定乗数法」(参考URL)を使う方法もあります。
参考URL:http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lagrange/l1.html

No.2
- 回答日時:
考え方だけ
平面:x+y+z=3 と 球面:x^2+y^2+z^2=9 が交わる曲線は、
点(0,0,3),(0,3,0),(3,0,0)を通る円です。
それをxy座標に投影すると、y=xの直線を軸とする楕円になっています。
なので、その楕円を時計回りに45°回転させると、
A(X-B)^2+CY^2=1
の形になります。
また、4xy=k と置けば、このグラフは双曲線ですから、時計回りに45°回転させると、
X^2-Y^2=D
の形になります。
この2つの式からYを消して、
k=(Xの2次式)
の形になれば平方完成形にして最大値、最小値を求めることができます。
2つの式をグラフに描いてみれば、最大値、最小値が見えてくるでしょう。
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