なぜ小数は自然数ではないのでしょうか？

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質問者：tamamoto-rio
質問日時：2010/11/12 22:30
回答数：6件

なぜ小数は自然数ではないのでしょうか？自然数はペアノの公理で定義されていると聞きました。
そして、ペアノの公理を見る限りでは小数が自然数に含まれてはならない根拠がないように思えました。なぜ小数は自然数とはいえないのでしょうか？
自然数aの後続数をa'とすると、a'=a+1とでも定義されているのでしょうか？
（でもペアノの公理では任意の自然数aの後続数a'が存在するとしかいってないような・・・）

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回答 (6件)

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No.6

回答者： alice_44
回答日時：2010/11/13 08:23

＞自然数aの後続数をa'とすると、a'=a+1とでも定義されているのでしょうか？

その通りです。
ペアノ自然数論上で、足し算は、
　　a + 1 = a'
　　a + b' = (a + 1) + b
で定義するのが通常です。

例えば、実数論の上にペアノ自然数のモデルを作って、
　　ペアノ 0　=　実数 1,
　　ペアノ a'　=　(実数 π) + (実数 e)×(ペアノ a)
のように定義することもできます。

この場合、
　　ペアノ 1　=　実数 π + e,
　　ペアノ 2　=　実数 π + πe + e^2
などとなって、
(ペアノ 1) [実数の +] (ペアノ 1) = (ペアノ 2) は成立しませんが、
上記の意味で、
(ペアノ 1) [ペアノの +] (ペアノ 1) = (ペアノ 2) は成立しています。

確かに、ややこしくなりましたね。

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No.5

回答者： oxbow
回答日時：2010/11/13 01:24

ペアノの公理ってのは、一般によく知られている数の体系の中で自然数がどんなものであるかを定義するものではなく、何もないところに自然数を導入するために使われるのです。

そして、ペアノの公理の形にもよりますが出発点を0と書くこととし、0'、(0')'、((0')')'、…を1、2、3、…と書くと決めることで日常使用している数体系と同じ体系を作っていこうとしているわけです。

a'に何を割り当てるか、というのは決められているわけではないので、別の数字を当てはめると0.1、0.2、…などを自然数と呼ぶ数体系ができますし、それは今の数体系と(自然数の定義を除いて)同じ体系になると思われますが、ただややこしくなるだけです。

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No.4

回答者： nag0720
回答日時：2010/11/13 01:22

＞（でもペアノの公理では任意の自然数aの後続数a'が存在するとしかいってないような・・・）

ペアノの公理の５番目の公理（数学的帰納法の原理）をどのように解釈していますか？
公理系によっても５番目の公理の表現方法が違っていますが、ある意味この５番目の公理がペアノの公理の重要な部分です。

これをきちんと理解していれば小数が自然数に含まれないことが分かるはずですが・・・

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No.3

回答者： k_kota
回答日時：2010/11/13 00:19

自然数って言うのは、

0、および自然数に1を足したものの集合、として定義されてます。
これは確かそういうはずだと思っていたので間違っていたらすみません。

小数は有限小数と無限小数あります。
基本的には整数以外の実数と表すことができるでしょう。
分数は循環小数か無限小数に変換可能ですからね（これも理屈で覚えてはいない）。

よって、負の小数は自然数ではない。なぜなら0に一を足しても負の数にはならないから。

正の小数はどうするかと言うと、そもそも正の整数と0が自然数なので、それを除いたものが小数なのだと思いつつ、
実数は１の整数倍と１未満の数の和で表すことができる。
１の整数倍は１を引いていけばいつかは0になる。
1未満の数から１を引いたら負の数になる。
よって0に1を足していったものである自然数には含まれない。

証明としてはこれではだめなのですが、まあ流れとしてはこれでいいのではないでしょうか。

自然数の定義というかペアノの定理みましたが、やはり0スタートでしたので、小数は条件を満たさないでしょう。