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下の図の長さl、質量mの一様な棒の慣性モーメントは

重心Gまわりで
Jg=(ml^2)/12

端点Oまわりで
Jo=(ml^2)/3

重心Gからhだけ離れた点Pまわりで
Jp=(ml^2)/12+mh^2


になるそうなのですが、何故このようになるのか分かりません。

よろしくお願いします。

「慣性モーメントが何故以下のようになるか分」の質問画像

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A 回答 (5件)

こんにちは。



まず、棒の線密度は、m/L です。

慣性モーメント = ∫線密度・支点からの距離^2・dx

G周り
Gの両側で線対称なので、片方の慣性モーメントの2倍です。
Jg = 2∫[x=0⇒L/2](m/L)x^2dx = 2m/L[1/3・x^3][x=0⇒L/2]
 = 2m/L[1/3・(L/2)^3 - 0]
 = mL^2/12

O周り
G周りより簡単です。
Jo = ∫[x=0⇒L]](m/L)x^2dx = m/L[1/3・x^3][x=0⇒L]
 = m/L[1/3・L^3 - 0]
 = mL^2/3

P周り
Pと棒の各点との距離は、√(x^2+h^2)
Jp = 2∫[x=0⇒L/2](m/L)(√(x^2+h^2))^2 dx
 = 2m/L∫[x=0⇒L/2](x^2+h^2)dx
 = 2m/L[x^3/3 + h^2x][x=0⇒L/2]
 = 2m/L[(L/2)^3/3 + h^2(L/2) - 0]
 = 2m/L・(L/2^3/3 + 2m/L・h^2(L/2)
 = mL^2/12 + mh^2
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すみません!



やっぱり分かりません。

(l-2h)/2から(1+2h)/2だったら分かるのですが・・・。

l/2-h,l/2+h
を導いた計算を教えて下さい。

よろしくお願いします!
************************************


(l-2h)/2から(1+2h)/2だったら分かるのですが・・・

(l-2h)/2=1/2-h、から (1+2h)/2=1/2+h だったら分かるのですが・・・

割り算が分からないと言われても困ってしまいます。

この回答への補足

すみません・・・。

分かりません・・・。

補足日時:2010/12/02 08:17
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>重心Gからhだけ離れた点P周り→[l/2-h,l/2+h]



l/2-h,l/2+h
になる理由が分かりません。
というか、どこからどこまでを表しているのかが分かりません。


とのことですが、単に棒の端から端までですよ♪
図を描いたらわかると思いますが、端っこは回転軸からl/2-h、l/2+hだけ離れてますよね?

この回答への補足

すみません!

やっぱり分かりません。

(l-2h)/2から(1+2h)/2だったら分かるのですが・・・。

l/2-h,l/2+h
を導いた計算を教えて下さい。

よろしくお願いします!

補足日時:2010/12/01 18:55
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慣性モーメント=moment of inertia



定義 I = ∫(r^2)dm =∫(x^2)ρAdx
  ここで、 r はdm までの距離、 Aは断面積、 ρは密度

題意より、 重心Gは長さLの半分の位置、ρAL=m

1 重心周りには、
    I = 2Aρ∫x^2dx (r=0からr=L/2)=(2/3)Aρ*(L/2)^3=Aρ(1/12)L^3=m(1/12/)L^2

2 短点O周りには、
    I = 2Aρ∫x^2dx(r=0からr=L)=(2/3)Aρ*L^3=(2/3)AρL^3=m(2/3)L^2

3 重心kらhだけ離れた点Pの周りでは
   I = 2Aρ∫x^2dx(r=0からr=L/2+h)+2Aρ∫x^2dx(r=0からr=L/2ーh)
     =(2/3)ρA(L/2-h)^3+(2/3)ρA(L/2+h)^3
=(2/3)m (L^2/4+6h^2) 
    =mL^2/12+4mh^2

この回答への補足

点Pまわりで
何故(r=0からr=L/2+h)と(r=0からr=L/2ーh)になるか分かりません。

r=L/2+hとr=L/2ーhになる理由が分かりません。
よろしくお願いします。

補足日時:2010/11/29 19:29
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画像に合わせて説明します。


慣性モーメントJは次式で与えられます。
J=∫x^2dm (1)

ここで、
x:回転軸からの距離
dm:微小要素の質量
です。

dmは次式で表されます。
dm=ρAdx (2)

ここで、
ρ:棒の密度
A:棒の断面積
dx:棒の長さ
です。

(2)を(1)に代入します。
J=∫x^2ρAdx (3)

今、ρAは定数なので、∫の前に出しときます。
J=ρA∫x^2dx (4)

後は積分区間の問題です。
1.重心G周り→[-l/2,l/2]
2.端点O周り→[0,l]
3.重心Gからhだけ離れた点P周り→[l/2-h,l/2+h]
でそれぞれ積分すれば導けるはずです。
3は平行軸の定理というやつですね。

ただし、棒の質量mは次式で与えられます。
m=ρAl (5)

積分後、式(5)でρとAを消去しておきます。

この回答への補足

重心Gからhだけ離れた点P周り→[l/2-h,l/2+h]

l/2-h,l/2+h
になる理由が分かりません。
というか、どこからどこまでを表しているのかが分かりません。

よろしくお願いします。

補足日時:2010/11/29 19:30
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Aベストアンサー

重心が異なれば、慣性モーメントの値は違ってきます。
ですが、もしかしたら回転軸の間違いではないでしょうか?
1/3Ma^2という値は、棒の中心を回転軸にとったときの
慣性モーメントの値です。これが、棒の端を回転軸にとるなら値は違ってきます。
慣性モーメントIは,棒の場合、密度ρ(r)として
I=∫ρ(r)r^2drで与えられます。密度が一様ならば、
仮に棒の中心を軸に取ったとして
I=∫ρr^2dr[r=-a~a]=(ρ/3){a^3-(-a^3)}
=2/3ρa^3=(2aρ)/3・a^2=1/3Ma^2です。

棒の端を回転軸にとるなら
I=∫ρr^2dr[r=0~2a]です。

"重心がどこにあっても"というのは、密度が一様でない
ことに相当しますけど、そのときはρ(r)が与えられる
はずです。そしたらI=∫ρr^2drで計算できます。
このrは、回転軸からどれだけ離れているか、をあらわすものです。回転軸から距離rのところの
微小質量ρ(r)drに、r^2をかけて、それをすべての領域
で加え合わせたものというイメージです。

重心が異なれば、慣性モーメントの値は違ってきます。
ですが、もしかしたら回転軸の間違いではないでしょうか?
1/3Ma^2という値は、棒の中心を回転軸にとったときの
慣性モーメントの値です。これが、棒の端を回転軸にとるなら値は違ってきます。
慣性モーメントIは,棒の場合、密度ρ(r)として
I=∫ρ(r)r^2drで与えられます。密度が一様ならば、
仮に棒の中心を軸に取ったとして
I=∫ρr^2dr[r=-a~a]=(ρ/3){a^3-(-a^3)}
=2/3ρa^3=(2aρ)/3・a^2=1/3Ma^2です。

棒の端を回転軸にとるなら
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Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

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となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
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