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3点 A(-3,9)、B(2,4)(P,P^2)を通る円の中心と半径を求める方法をご教授ください。 エクセルで描画するので出来ればエクセルで出来るようにお願いします。

gooドクター

A 回答 (5件)

 3点A、B、Cの座標をそれぞれA[x1,y1]、B[x2,y2]、C[x3,y3]とおき、3点を通る半径rの円の中心Oの座標を[x0,y0]とおきます。


 点Oは3点を通る円の中心なのですから、

r=AO=BO=CO

という関係が成り立ちます。
 三平方の定理により、2点間の距離は、

2点間の距離=√(x座標の値の差^2+yx座標の値の差^2)

という計算で求める事が出来ますから、

r^2=(x0-x1)^2+(y0-y1)^2=(x0-x2)^2+(y0-y2)^2=(x0-x3)^2+(y0-y3)^2・・・・(1)式

という関係が成り立ちます。
 これを連立方程式として扱って解くと、

y0=(x1-x2)×x0/(y2-y1)+(x2^2-x1^2)/(2×(y2-y1))+(y2+y1)/2
=(x2-x3)×x0/(y3-y2)+(x3^2-x2^2)/(2×(y3-y2))+(y3+y2)/2
=(x3-x1)×x0/(y1-y3)+(x1^2-x3^2)/(2×(y1-y3))+(y1+y3)/2
・・・・(2)式

という関係が成り立ち、更に解くと、

x0=((x3^2-x1^2)*(y3-y2)+(x2^2-x3^2)*(y3-y1)+(y1-y2)*(y3-y1)*(y3-y2))/(((x2-x3)*(y3-y1)+(x3-x1)*(y3-y2))*2)

となります。
 これによって求めたx0の値を(2)式に代入すれば、y0の値も求める事が出来ます。

 Excelで求める場合には、例えば
A2セルにx1の値を入力し、B2セルにy1の値を入力し、
A3セルにx2の値を入力し、B3セルにy2の値を入力し、
A4セルにx3の値を入力し、B4セルにy3の値を入力すると
A1セルにx0の値が表示され、B1セルにy0の値が表示され、
C1セルにrの値が表示される様にするためには、

 まず、A1セルに次の数式を入力します。

=IF(OR(AND(A2=A3,B2=B3),AND(A3=A4,B3=B4),AND(A4=A2,B4=B2),COUNT(A2:B4)<6),"",((A4^2-A2^2)*(B4-B3)+(A3^2-A4^2)*(B4-B2)+(B2-B3)*(B4-B2)*(B4-B3))/(((A3-A4)*(B4-B2)+(A4-A2)*(B4-B3))*2))

 次に、B1セルに次の数式を入力します。

=IF(A1="","",(A2-A4)*A1/(B4-B2)+(A4^2-A2^2)/(2*(B4-B2))+(B2+B4)/2)

 次に、C1セルに次の数式を入力します。

=IF(B1="","",SQRT(($A2-$A$1)^2+($B2-$B$1)^2))

 これで、A2~B4に各点の座標を入力すれば、その3点を通る円の中心の座標と、半径の値が表示されます。

 尚、3点の内の1点の座標が[P,P^2]の場合は、B4セルに

=A4^2

と入力しておき、A4セルにPの値を入力すれば良いと思います。
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で、そのやり方。


中心が (a,b)、半径が c であるような円の方程式は、
(x - a)の2乗 + (y - b)の2乗 = cの2乗、ただし c>0 です。
この式に、A, B, (p, pの2乗) の3点を代入すると、
a, b, c についての3連立方程式が得られます。この方程式は
二次式ですが、c を消去すると a, b の連立一次方程式になる
ようにできているので、それを解いて a, b を求め、
もとの式へ代入して c を求めることができます。
以上の全てが p を含む文字式の計算になります。それを手計算で行って、
得られた p の式をエクセルに計算させればよいのです。
係数に p を含んだままで、方程式をパソコンに解かせたいならば、
エクセルでは無理なので、mathematica とか Maxima とか
数式処理ソフトに頼むことになります。
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p の値を与えると、それに応じて円が書けるということです。


中心の座標や半径が、p の関数になっているということ。
p を求めるとか求めないとかいうのは、質問の内容とは関係ない話です。
何か条件が別に与えられていて、p の値が求まるのであれば、
その値を代入して問題ありせんが、p が変数のままでも、
p の値ごとに円が定まるものとして、解が求められます。
この状態を、エクセル上で表現したいなら、
あるセルに p の値を入力すると、別のセルに
中心座標や半径が表示されるようにしては、どうですか?
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この問題は別にPの値を求める問題ではないですよね。

(というか求まりません)
なので3点目は不定というか、(P,P^2)という座標なので
Pを使って中心と半径を表すことになるのでは?

回答というよりコメントですいません。

この回答への補足

やはり3点がわからなければ円は描けませんよね。

与えられた条件からPを求めることは可能でしょうか?

補足日時:2010/12/17 13:54
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ちょっと「課題の丸投げ」っぽいので、ヒントだけ。



(P,P^2)を点Cとする。

AとBの垂直2等分線の式は y=x+7 ・・・(1)

あとはAとC(もしくはBとC)の垂直2等分線の式を作って、それと(1)の連立方程式を解くと円の中心が求められます。
中心の座標が求まれば、中心とA(もしくはB)との距離を三平方の定理を使って求めるとそれが半径。

ただし、P=-3 と P=2 のときは不定になるので、場合分けが必要。



それと「エクセルで描画」の意味が不明。
Pと中心点の座標の表を作ってグラフで描く、てことかな?

この回答への補足

ちなみに自分の課題でないです・・・

知り合いのお子さんの課題らしいですが、3点わかれば円もかけるんですが、3点目が不定の場合はどうしたもんだかさっぱりだったので

補足日時:2010/12/17 11:56
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