No.1
- 回答日時:
記号の説明がありませんが、「G×G」は群の直積ですよね?
直積群の定義により、G×Gの部分群は(Gの部分群)×(Gの部分群)なので、
Gの部分群がわかれば事足ります。
ラグランジュの定理より、Gの部分群の位数はGの位数の約数なので、
Gの位数の p が素数ならば、部分群の位数は 1 または p、
すなわち、部分群はGの単位元だけからなるものとG自身の二種類だけです。
結局、一元群をEと書くとして、G×Gの部分群は
E×E, E×G, G×E, G×G の四種類になります。
この回答への補足
> alice_44 さん
はい.G×Gは群の直積です.
この回答ですと,G×Gの部分群の個数は4つということになりますが,
解答を見るとG×Gは単位群とG×G自身以外に,「位数pの部分群をp+1個持つ」とありました.
ということはG×Gの部分群の個数は全部でp+3個ということになりますよね?
G×Gの位数はp^2であることとLagrangeの定理から,G×Gの部分群となる可能性があるのは位数が1,p,p^2のものになります.ここで位数が1,p^2のものは自明な部分群なのでいいとして,あとは位数がpとなる部分群がいくつあるか数えればいいと思うのですが,そこが出来ませんでした.解答から見るに位数pの部分群の個数はp+1になっているはずですよね.
この部分について教えていただけると助かります.
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
面倒臭いのでGをZ/pZの加法群と同一視します。
G×Gの位数はp^2なのでLagrangeの定理から
G×Gの部分群の位数は1かpかp^2ですが:
A 位数1の部分群は{(0,0)}の1つだけ
B 位数p^2の部分群はG×G自身です。
C で位数pの部分群ですが...
位数が素数であるからそのような部分群Uは
巡回群で、ある生成元(a,b)∈U⊂G×Gがあります。
一方、任意の(x,y)∈G×Gに対して
(x,y)≠(0,0)なら(x,y)の位数はpで(**)、<(x,y)>は
位数pの巡回群になります。
よって位数がpであるG×Gの部分群全体は
(0,0)以外のG×Gの元(x,y)によって生成される
位数pの巡回群全体Tと一致します。
(**)この辺が位数が異なる素数である巡回群の直積と
事情が異なります。p,qが相異なる素数の場合、
(Z/pZ)×(Z/qZ)には位数pq, p, q (,1)の元が有ります
*特に(0,0)以外の元(x,y)は(p^2-1)個ありますが、
これらは全てある位数pのG×Gの部分群に含まれます。
*一方V,W∈Tに対してV,Wに(0,0)以外の共通元
(x,y)が有るとすると、<(x,y)>も位数pの
巡回群であって、V=W.
対偶をとって、V,Wが共に位数pのG×Gの部分群で、
V≠WならばV,Wに共通元はありません。
位数pのG×Gの部分群Vに含まれる、(0,0)以外の
元の数は(p-1)個です。
よって、(0,0)以外の元(p^2-1)個は、
(p^2-1)/(p-1) = (p+1)個の 位数pの部分群たちに分類
されます。よって、位数がpであるG×Gの部分群は
p+1個です。
No.3
- 回答日時:
> 対偶をとって、V,Wが共に位数pのG×Gの部分群で、
> V≠WならばV,Wに共通元はありません。
V≠WならばV,Wに(0,0)以外の共通元はありません。
です。
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