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- 回答日時:
Xは全体集合ということで証明します。
ちなみにXが部分集合のときはσ-代数とはなりません(∵CX∈σ-代数ではない)
C・は補集合を表します
(1)「X,Φ∈M」 これは自明
(2)「A∈M ⇒ CA∈M」
X∈M ⇒ CX=Φ∈M 、Φ∈M ⇒ CΦ=X∈M
よって、(2)もOK
(3)「An∈M (∀n) ⇒ ∪_[n]An∈M」
Mの元が有限個しかないので、X∪Φだけ調べればよく
X∪Φ∈M
よって、(3)もOK
以上よりMはσ-代数の定義を満たす ■
ちなみにこのMより小さなσ-代数は存在しません
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