σ-代数

解決済

質問者：gsb57529
質問日時：2011/02/01 21:13
回答数：1件

X (≠ø) を集合とするとき、M = { ø , X } はσ－代数であることを示したいのですが…

σ－代数の定義は分かるのですが、どのように証明文を書けばよいのかがわかりません。

教えてくださいm(_ _)m

回答よろしくお願いします。

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回答 (1件)

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No.1ベストアンサー

回答者： paltaan
回答日時：2011/02/01 22:03

Xは全体集合ということで証明します。

ちなみにXが部分集合のときはσ－代数とはなりません(∵CX∈σ－代数ではない)
C・は補集合を表します

(1)「X,Φ∈M」これは自明
(2)「A∈M ⇒ CA∈M」
　　X∈M ⇒ CX=Φ∈M　、Φ∈M ⇒ CΦ=X∈M
　　よって、(2)もOK
(3)「An∈M (∀n) ⇒ ∪_[n]An∈M」
　　Mの元が有限個しかないので、X∪Φだけ調べればよく
　　X∪Φ∈M
　　よって、(3)もOK

以上よりMはσ－代数の定義を満たす　■

ちなみにこのMより小さなσ－代数は存在しません