No.3ベストアンサー
- 回答日時:
球面幾何ですか。
それなら、円の面積は、ほぼ半径だけで決まりますね。
円周で区切られたどっち側の面積か
といて問題は残るけれども。
そこは、とりあえず小さいほうの面積を採る
ことにしておきましょう。
曲率 ρ の実2次リーマン空間上の半径 r の円なら、
実3次ユークリッド空間内の半径 1/ρ の球面上、
測地線半径 r、すなわち頂角 2rρ の円蓋で表されます。
その面積 S は、回転体の面積公式を使って、
y = √((1/ρ)の2乗 - xの2乗) の下で
S = ∫[x = (1/ρ)cos(rρ) → 1/ρ] 2πy√(1 + (dy/dx)の2乗) dx.
すなわち、S = (2π/ρ) ∫[x = (1/ρ)cos(rρ) → 1/ρ] dx
= (2π/ρの2乗)(1 - cos(rρ)).
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