都立小石川中の入試問題のIIIの2番
3山崩し
http://www.koishikawachuto-e.metro.tokyo.jp
/KOISHIKAWA%20HP
/pdf/23tekisei_3.pdf
について解説してください。
とくに最後の問題

A 回答 (3件)

"?"だけとは失礼な補足ですね。


書いている意味が分からないなど、こちらに非があることもあるでしょうが
それでも、○○の言っている意味が分からないなど、書き方がありませんか?

どこが"?"なのでしょうか。
まさか、”最初にある小石が6個の場合、後手が必ず勝つ”という
理屈が分かりませんか?
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簡単にですが回答させて頂きます。



この問題のポイントは
問題3までのルールで「一度に最大5個までの小石を取ることができる」という箇所と思います。
この為皿をいくつに増やしても初期の石の数でどちらが勝つか決まってしまいます。

そこで、私ならこの「一度に取れる石の数」を流動的・状況に応じて変化できるような制約を設けます。
例えば
・一度に取っていい石の数の上限は「皿の上の石の数」の半分以下
(10個なら5個、7個なら3個と端数は切り捨てにします。
ただし、4個以下の場合はすべて2個にする。)
なんてどうでしょう?
皿の上の石の数に応じて取れる石の数が変化するのでちょっと複雑になります。

中学校レベルだとこのくらいでもいいかと思います。
おそらくこの問題で問いたいのは
「この石取りゲームの本質はどこにあるか?」だと思います。
それはつまり「一度に最大5個までの小石を取ることができる」点
つまり「一度に取れる最大個数が【固定】されている」点です。
ここを理解した回答であれば良いと思います。
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問題1(1)最初にある小石が6個の場合、後手が必ず勝つとひろしくんは


言っていますね。ということは、後手のお父さんの番のときに、
皿にある小石が6個であればひろしくんが必ず勝てます。
ということは…

(2)最初にある小石が6個の場合、先手のひろしくんはどう取っても
後手のお父さんが必ず勝ちます。
ということは、最初に限らずひろしくんの番のときに小石が6個であれば
お父さんの勝ちなのですから、ひろしくんの取り方に応じて
お父さんが取っていくことで、ひろしくんの番のときに小石が6個に
するようにできればいいのです。
例えば最初にある小石が12個の場合、ひろしくんがいくつ取っても
お父さんは2人で合計6個となるように小石を取ることで
ひろしくんの番のときの小石の数を6個にすることができますよね。
同様に考えれば…

問題2 先手の取った小石と同じ数だけもう片方の皿から取ればよい。
1手で2つの皿から小石を取ってはいけないのですよね。
このやり方なら、いずれ片方の皿の小石は先手がなくすことができますが、
そのとき後手がもう片方の皿の小石をなくすことができます。

問題3(1)(2)問題1と問題2を組みあわせればよい。
6、7、7に分けると、問題1の考えに従い6の皿では後手が最後の小石を
取れますし、問題2の考えに従い、7の2枚の皿で後手が最後の小石を取れます。

問題4 ルールを変えるとすれば、
(1)後手必勝であることに変わりがないので、ここを変えたとしても
ひろしくんがスネなくなるくらいしかない。
(2)1回に取れる小石の数を仮に4個など変えたとしても、今まで問題になっていた
6個という数字が変わるだけで、本質的には変わりはない。
(3)最後に小石を取ったほうが負けとしてもやはり6個という数字が
変わるだけ(自分の番のときに6個となれば勝ち確定、逆に自分の番のときに
7個になれば負け確定。ということは相手の番のときに7個になるように
取っていけば良いので本質的に変わらない)。
(4)小石を取れる数は最大5個で、2個以上の皿にまたがって取っても良ければ
話は簡単にならないと思います。

この回答への補足

補足日時:2011/04/18 02:27
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ご利用の Serverで、Counter、解析等のサービスを提供していれば、それを利用されるのが一番良いと思います。
 私が利用する Serverでは、Total しか提供していないので、下記 Counter も利用しています。
スタート時の件数、二重カウントの可否、表示形式の選択、日・時間別の件数等々の統計も取れます。
http://www.1800cnt.com/?utm_source=a8&utm_medium …

こう云う無料サービスの常で、生成される命令に 広告Sites Linkが付きます。
それは外し必要な部分だけ Copyする事をお勧めします。
<TR>
<TD>Total</TD>
<TD><IMG src="http://www.1800cnt.com/count/count.cgi?YourSites" alt="Total" border="0"></TD>
</TR>
<TR>
<TD>Today</TD>
<TD><IMG src="http://www.1800cnt.com/count/count2.cgi?YourSites" alt="Today" border="0"></TD>
</TR>
<TR>
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よろしくお願いします。

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I) PQ=AQ となるとき、△QAPは直角二等辺三角形ですから、
  ∠QAP=∠QPA=45°
となります。
 そのとき直線APの傾きは-1になります。
 この直線の切片をbとしますと、直線APは
  y=-x+b
と書けます。
 この直線は、点A(-6,9)を通りますので、この座標を直線の式に代入して b=3 を得、直線APの式
  y=-x+3
を求めます。

II) 次に、曲線l上の点Pの座標を求めます。
  x=1、2、・・・
と代入して、直線AP:y=-x+3 と 曲線l:y=x^2/4 から得られるy座標を計算しますと、2つのy座標は
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 辺RP、辺APを底辺と見なしますと高さは共通ですので、
  △RPQ:△APQ=AP:RP
となります。
 AP:RPの比はx軸上に射影しても同じ比が得られますので、
  AP:RP={(点Rのx座標)-(点Aのx座標)}:{(点Pのx座標)-(点Rのx座標)}
になりますので、II)までで得られた座標を用いて、
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 ∴△RPQ=△APQ/4
を求めます。

 さらに、今度は△PQAと△PBAの面積の比を考えます。
 先ほどと同様に、辺QA、辺BAを底辺と見なしますと高さは共通になりますので、面積の比は次のように表せます。
  △PQA:△PBA=QA:BA=8:12=2:3
 ∴△PQA=2△PBA/3

 この比と、先に求めた△RPQと△APQの面積の比を合わせると、
  △RPQ=△APQ/4
      =2△PBA/3/4
      =△PBA/6
が得られますので、求める答えは、次のようになります。

 (答え)△RPQの面積は、△PBAの面積の 1/6 である。

I) PQ=AQ となるとき、△QAPは直角二等辺三角形ですから、
  ∠QAP=∠QPA=45°
となります。
 そのとき直線APの傾きは-1になります。
 この直線の切片をbとしますと、直線APは
  y=-x+b
と書けます。
 この直線は、点A(-6,9)を通りますので、この座標を直線の式に代入して b=3 を得、直線APの式
  y=-x+3
を求めます。

II) 次に、曲線l上の点Pの座標を求めます。
  x=1、2、・・・
と代入して、直線AP:y=-x+3 と 曲線...続きを読む


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