集合　上限　下限

Question

集合　上限　下限

Wikipediaによれば、
上界の集合の最小元（つまり、最小の上界）のことを、上限といい、sup(A) と書く。
下界の集合の最大元（つまり、最大の下界）のことを、下限といい、inf(A) と書く。

http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/supmax031208.pdf
を参考にしたのですが理解出来できませんでした。

Ａを実数の部分集合とするとき、
実数 a が、Ａの上界であるとは、Ａの任意の元x に対して、x≦a が成り立つことである。
そのなかで、最小の上界を上限と言う。
ピンときません・・・

具体例を示して教えて頂けるとありがたいです。


ご回答よろしくお願い致します。

OurSQL · Accepted Answer

仰るとおりです。
以下、A は R の空でない部分集合とします。

A が下に有界であることは、A の下限 inf A が存在するための必要十分条件です。
同様に、A が上に有界であることは、A の上限 sup A が存在するための必要十分条件です。
これらの場合、inf A やsup A が A の元である必要はありません。

min は最小元、max は最大元を表します。
A が下に有界であることは、min A が存在するための必要条件ですが、十分条件ではありません。
同様に、A が上に有界であることは、max A が存在するための必要条件ですが、十分条件ではありません。
min A が存在すれば min A ∈ A であり、max A が存在すれば max A ∈ A です。

A が下に有界のとき、A の下界すべてからなる集合を L とおきます。
このとき、L は必ず最大元 max L を持ち、inf A = max L が成り立ちます。
さらに、A が最小元 min A を持てば、min A = inf A = max L が成り立ちます。
同様に、
A が上に有界のとき、A の上界すべてからなる集合を U とおきます。
このとき、U は必ず最小元 min U を持ち、sup A = min U が成り立ちます。
さらに、A が最大元 max A を持てば、max A = sup A = min U が成り立ちます。

No.4 に挙げた10個の例のうち、いくつかをもう一度見てみましょう。

01. A = { 1, 2, 3, 4, 5 } のとき、
A は上下に有界で、L = (－∞, 1], U = [5, + ∞)
また、A は最小元 min A と最大元 max A の両方を持ちます。よって、
min A = inf A = max L = 1, max A = sup A = min U = 5

03. A = (0, 1] のとき、
A は上下に有界で、L = (－∞, 0], U = [1, + ∞)
また、A は最大元 max A は持ちますが、最小元は持ちません。よって、
min A は無し, inf A = max L = 0, max A = sup A = min U = 1

08. A = (－∞, 1) のとき、
A は上に有界ですが、下に有界でないので、A の下界は存在しません。よって、
L = 空集合、U = [1, + ∞)
A は下に有界でないので、最小元も下限も持ちません。また、A は上に有界ですが、最大元は持ちません。よって、
min A は無し、inf A は無し、max A は無し、sup A = min U = 1

09. A = [0, + ∞) のとき、
A は下に有界ですが、上に有界でないので、A の上界は存在しません。よって、
L = (－∞, 0], U = 空集合
A は最小元は持ちますが、上に有界でないので、最大元も上限も持ちません。よって、
min A = inf A = max L = 0, max A は無し、sup A は無し

Caper · Answer

大切なことを念押しするのを忘れていました。ごめんなさい。

ANo.14 の最初の ● 項目 において、私は次のとおりの記述をしました。

このとき、(a, b) と [a, b] は、次のとおり、それぞれ「 ( 開 ) 球体 」と「 閉球体 」という形で表わすことができます。
　(a, b) = B((a + b)/2; (b - a)/2)
　[a, b] = B^*((a + b)/2; (b - a)/2)
　( B^* という記号は、B の右肩に *印 が添えられたものです )

上記の記述ですと、n次元 Euclid 空間 において「 (1) 開区間 = ( 開 ) 球体 」「 (2) 閉区間 = 閉球体 」という関係が満たされるかのようですが、(1) (2) という両関係が満たされるのは 1次元 Euclid 空間 においてのみです。2次元 以上の Euclid 空間 において、この関係は満たされません。
　 といいますのは、例えば、2次元 Euclid 空間 における区間は、図形にあてはめれば、長方形であって、円ではありません。3次元 Euclid 空間 における区間を、図形にあてはめれば、直方体であって、球ではありません。

下記の Web ページ における記述ついても、同様です。
　http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6699589.html

Caper · Answer

● RY0U さん を混乱させるような回答を私は続けてしまいましたね。ごめんなさい。

ANo.13 の補足欄で RY0U さん が提示なさいました内容どおりでよいのではないかと、私は思います。

区間の両端を、a, b と表わすことにします。すなわち、a ∈ R, b ∈ R, a < b であるとして、(a, b) や [a, b] などについて考えるとします。そのとき、a と b との平均値は (a + b)/2 です。a と b との距離は、この場合、d(a, b) = b - a と表わすことができます。

このとき、(a, b) と [a, b] は、次のとおり、それぞれ「 ( 開 ) 球体 」と「 閉球体 」という形で表わすことができます。

(a, b) = B((a + b)/2; (b - a)/2)
　 [a, b] = B^*((a + b)/2; (b - a)/2)
　 ( B^* という記号は、B の右肩に *印 が添えられたものです )

このことを念頭に置いて、集合・位相に関する文献に目をとおせば、RY0U さん が抱える疑問がいくぶん解消されるのではないかなと、私は思います。

● 任意個数の開区間の和集合は必ず開集合となる。

集合・位相に関する文献では「 任意個数の開 "集合" の和集合は開集合である 」という定理によって、このことは説明がつくと思われます。その定理の証明については、下の添付画像をごらんください。

任意個数の開区間の和集合が単一の開区間とならない例は、ANo.9 で示した (0, 1)∪(3, 5) などでよろしいかと思われます。

集合・位相に関する多くの文献では「 開集合は開区間の和集合として表わされる 」、すなわち「 開集合は ( 開 ) 球体の和集合として表わされる 」という定理についても言及されています。この定理に関する説明を読めば、開集合の成り立ちを理解するのに役立つかもしれません。

● 任意個数の開区間の共通部分は、必ずしも開集合とはならない。

任意個数の開区間の共通部分が開集合とはならない例としては、次のものがあります。
　 a を R の任意の元とし、いまその a を固定します。そして、n を N ( 自然数全部の集合 ) の任意の元とします。このとき、次の ( 開 ) 球体は、すなわち開区間は、もちろん開集合です。

B(a; 1/n) = (a - (1/n), a + (1/n))

ところが、すべての n に対する B(a; 1/n) をかき集めて得た共通部分は {a} に等しくなります。

∩B(a; 1/n) = ∩(a - (1/n), a + (1/n)) = {a}
　 ( ∩ 記号 の直下には n ∈ N と記述されるべきですが、それが省かれています )

最右辺の 1点 から成る {a} という集合は、開集合ではありません。

有限個数の開区間の共通部分は必ず開集合になります。( このことについて、私はうかつな記述をこれまでにしてきました。ごめんなさい )
　 有限個数の開区間の共通部分が空集合でないのであれば、その共通部分はおそらく開区間になるのでしょうね。空集合を 1つ の開区間として表記することができれば、有限個数の開区間の共通部分は必ず開区間になると言えると、私は今そのように認識しています。
　 左端が右端以上である (1, 1) や (3, 1) などという形で、空集合を表わすことができそうではあります。ですが、このように表わすことができるのか否かについて、私ははっきりした情報を持っていません。ただし、閉区間については、任意の R の 元a に対して [a, a] と表記をすることが認められているようです。[a, a] はもちろん {a} と等しくなります。左端が右端より大きい [3, 1] などの形については、私ははっきりした情報を持っていません。

「 有限個数の開集合の共通部分は必ず開集合となる 」という定理の証明を、ANo.13 の添付画像に組み入れました。よろしかったらごらんください。

● 任意の開集合の補集合は閉集合であり、任意の閉集合の補集合は開集合であります。ですから、あと 2つ についての説明はおおかた省きます。

任意個数の閉区間の和集合が必ずしも閉集合とならない例についてですが、私が考えついたのは次のものです。

∪[1/n, 1] = (0, 1]
　 ( ∪ 記号の直下には n ∈ N と記述されるべきですが、それが省かれています )

● 以上の記述は、松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) を参考にしたものです。以上の記述に含まれる、まちがいや不備は、私の不勉強によるものであり、もちろんこの数学書によるものではありません。

また、これまでの私の記述 ( 次の Web ページ
　 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6699589.html
　 を含みます ) の中で取り扱ってまいりました位相はすべて、1次元 もしくは 2次元 Euclid 空間 におけるものです。一部において、数値や式を変更したり追加したりすることで、n次元 Euclid 空間 についても同様の説明がつくと思われます。

くどいようですが、これまでの私の記述にまちがいや不備があった場合は、ごめんなさい。

Caper · Answer

● ろくに検証もせずに、ANo.9 と ANo.12 を投稿してしまいました。どうもすみません。

● ANo.9 において、次の 1) 2) を私は記述しました。

1) 例えば、「 2つ の開区間の和集合 」「 2つ の開区間の共通部分 」は両方とも開集合です。ですから、例えば、(0, 1)∪(3, 5) や (0, 2)∩(1, 5) は開集合です。

(0, 2)∩(1, 5) = (1, 2) です。(1, 2) は 1つ の開区間です。ですから、(0, 2)∩(1, 5) という例示はまちがいでした。

2) 例えば、「 2つ の閉区間の和集合 」「 2つ の閉区間の共通部分 」は両方とも閉集合です。ですから、例えば、[0, 1]∪[3, 5] や [0, 2]∩[1, 5] は閉集合です。

[0, 2]∩[1, 5] = [1, 2] です。[1, 2] は 1つ の閉区間です。ですから、[0, 2]∩[1, 5] という例示はまちがいでした。

● いまのところ、見つけたまちがいは以上です。ほかにもまちがいがあるかもしれません。

空集合を、例えば、開区間(4, 4) や 閉区間[5, 3] などの形で表現することが可能ならば、ANo.9 や ANo.12 において、多くの個所を訂正する必要があろうと、私はいまそのように認識しています。

Caper · Answer

●「 任意個数の開区間の和集合 」と「 任意個数の閉区間の共通部分 」の件について

任意個数の開区間の和集合は必ず 開 "集合" となります。
　 任意個数の閉区間の共通部分は必ず 閉 "集合" となります。

私の認識は上記のとおりです。
　 区間とは、( +∞ と -∞ を除く ) 2点間 について用いられる用語のようです。ですから、上記の "集合" を "区間" にさしかえることはできないと、私は思います。ただし、次のような表現は可能であると、私は思います。

任意個数の開区間の和集合が 開 "区間" となることはあります。
　 任意個数の閉区間の共通部分が 閉 "区間" となることはあります。

● 集合・補集合・閉包についてのご質問を RY0U さん は以前になさいました。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6699589.html

その ANo.7 において紹介いたしました埼玉大学の Web ページ に、「 任意個数の開区間の和集合 」と「 任意個数の閉区間の共通部分 」に関連する記述が見られるようです。これらの文献に目をとおすなどして、正確な認識を身に着けてください。冒頭に記述した私の認識は正しいと、断言できるほどの自信が私にはありませんので … 。

集合・補集合・閉包についてのご質問に対する私の回答の中に、私はいくつかのまちがいを見つけました。RY0U さん が回答の受け付けを締め切った後のことです。それらの訂正を、ANo.1 と ANo.7 に添付した画像の中に無理やり押しこみました。そちらも、ご覧になってください。そして、どうもすみませんでした。

Caper · Answer

そそっかしくて、ごめんなさい。ANo.9 の 最初の ● 項目 に脱落がありました。*** ではさまれた記述を補ってください。

ですから、X = {1 - (1/n)| n ∈ N} を実数列と考えれば、上に有界である *** 、そして単調増加である *** から、1) によって、ある値に収束する。

Caper · Answer

● ANo.4 において、OurSQL さん は、次のようにおっしゃいました。「 sup X = 1 であることは 1 - (1/n) → 1 (n → +∞) であることと深く関係している 」

そして、ANo.4 の補足において、RY0U さん は、次のようにおっしゃいました。「 sup X は 1 - (1/n) → 1 (n → +∞) と考えるのに 」

この点については、「 実数の連続性 」という実数の性質がかかわっていると、私は思います。「 実数の連続性 」とは公理ではないようです。ですから、証明が必要なはずです。しかし、私はこの証明については、何ら知識を持っていません。

「 実数の連続性 」には、いろいろな表現のしかたがあるようです。そのうちの 2つ を紹介します。もちろん、この 2つ は論理学的に同値です。

1) 上に有界な 単調増加実数列 x_1, x_2, x_3, … は、ある値に収束する。( Weierstrass の定理 )
2) 上に有界な実数の 集合X には、上限 sup X が存在する。

ですから、X = {1 - (1/n)| n ∈ N} を実数列と考えれば、上に有界であるから、1) によって、ある値に収束する。X = {1 - (1/n)| n ∈ N} を実数の集合と考えれば、上に有界であるから、2) によって、sup X が存在する。前者における収束した値が、後者における sup X に該当するということではないでしょうかね … 。

● 開集合とは、自身が内部となっている集合のことです。1つ の開区間は、それ自身が内部になっているので、開集合です。例えば、「 2つ の開区間の和集合 」「 2つ の開区間の共通部分 」は両方とも開集合です。ですから、例えば、(0, 1)∪(3, 5) や (0, 2)∩(1, 5) は開集合です。ただし、任意個数の開区間の共通部分は、必ずしも開集合とはなりません。

閉集合とは、自身が閉包となっている集合のことです。1つ の閉区間は、それ自身が閉包となっているので、閉集合です。例えば、「 2つ の閉区間の和集合 」「 2つ の閉区間の共通部分 」は両方とも閉集合です。ですから、例えば、[0, 1]∪[3, 5] や [0, 2]∩[1, 5] は閉集合です。ただし、任意個数の閉区間の和集合は、必ずしも閉集合とはなりません。

● これまでの私の記述にまちがいがあった場合は、ごめんなさい。

Caper · Answer

● 私が ANo.7 で伝えたかったことを、以下にくわしく述べさせてください。

　ご質問の文章の中で紹介されました Web ページの中から、上限の定義についての記述を抜き出しました。ごらんください。

● X を実数の集合とするとき、α = sup X ( α が X の上限である ) とは、

　条件 S1:
　任意の x ∈ X に対して x ≦ α

　条件 S2:
　 β < α である任意の β に対して、ある x ∈ X が存在して β < x を満たす。

3) 条件 S2 は、α をちょっとでも減らすと、X の上界でなくなることを述べている。

4) X の上限 (sup): X のどの数よりも小さくない数 ( 上界 ) の中で最小のもの。

● 3) は条件 S2 の表現を少し変更しただけのものに過ぎません。ですから、条件 S2 と 3) とは論理的に同値です。
　「条件 S1 と条件 S2 」と 4) は表現が異なりまが、「条件 S1 と条件 S2 」と 4) は論理学的に同値です。

　「条件 S1 と条件 S2 」と 4) が論理学的に同値であるという理由は、以下のとおりです。

●「条件 S1 と条件 S2 」を述語論理式で表わすと、次の 5) のとおりになると、私は思います。

5) ∃α((α ∈ R)∧∀x((x ∈ X)→(x ≦ α))∧∀β(((β ∈ R)∧(β < α))→∃x((x ∈ X)∧(x > β))))

　 P, Q, R を次のとおりに定めれば、上記の 5) は下記の 6) のとおりに表わすことができます。

　 P = (α ∈ R)
　 Q = (x ∈ X)→(x ≦ α)
　 R = ((β ∈ R)∧(β < α))→∃x((x ∈ X)∧(x > β))

6) ∃α(P∧∀x(Q)∧∀β(R))

　なお、R については、次の変換を行なうことができます。

　 R ≡ ￢(∃x((x ∈ X)∧(x > β)))→￢((β ∈ R)∧(β < α))　…… 7)
　　 ≡ ∀x((x ∈ X)→(x ≦ β))→((β ∈ R)→(β ≧ α))　　　…… 8)
　　 ≡ ((β ∈ R)∧∀x((x ∈ X)→(x ≦ β)))→(β ≧ α)　　　…… 9)

　上記の 7) で行なわれた変換は「 R の対偶をとること」によるものです。8) で行なわれた変換は「特称命題の否定の定義」「ド・モルガンの法則」「含意の定義」によるものです。9) で行なわれた変換は「 U→(V→W) ≡ (U∧V)→W 」によるものです。

　上記の 9) のとおりに R を変換することによって表わされる述語論理式は、上記の 4) を示すものであると、私は思います。

● まちがっていたら、ごめんなさい。

Caper · Answer

RY0U さん がご質問文の中で紹介されました Web ページ における上限の定義と、ANo.6 において私が記述した上限の定義とは、表現のしかたが異なります。ですが、論理学的には、同じことであると、私は思います。

RY0U さん を混乱させてしまったかもしれませんね。ごめんなさい。取り急ぎ、ご連絡まで。

Caper · Answer

● ( 次の文章は、2011/05/21/Sat の午前中に記述しました。そして、2011/05/22/Sun の午前中に一部を手直ししました )

RY0U さん はご質問の文章の中で、次のとおりに記述なさいました。

A を 実数 ( 全部の集合 R ) の部分集合とするとき、
　 実数 a (∈ R) が A の「 上界 」であるとは、
　 A の任意の 元x (∈ A) に対して、
　 x ≦ a が成り立つことである。
　 そのなかで、「 最小の上界 」を「 上限 ( もしくは最小上界 ) 」と言う。

上記の記述における「 上界 」についてですが、「 上界 」は R の 1つ の元を指していますよね。「 上界 」は上記の条件を満たした R の元を指していて、集合を指してはいません。

そこで、A の「 上界 」全部をかき集めた集合を、A^* (= A の右肩に * 印 をあしらった記号 ) と表わすことにします。この A^* が空集合でないときの 集合A^* の 最小元 min A^* が「 集合A の『 上限 ( もしくは最小上界 ) 』」と呼ばれるものです。すなわち、A^* が空集合でないときに存在する min A^* が sup A です ( すなわち min A^* = sup A)。

R における最小元の定義は、次のとおりです。
　「 R の 部分集合S が定められるとき、S の任意の 元s に対して s ≧ s' を満たすような S の 元s' が存在するならば、その s' を S の最小元と呼び、min S と表わす 」
　 この定義で注意すべきは、R の 部分集合S に 最小元 min S が存在する場合、その 最小元 min S は 集合S に含まれる元であるということ、すなわち min S ∈ S であるということです。

話は戻って、「 集合A の『 上限 ( もしくは最小上界 ) 』」が存在する場合、その上限が 集合A に含まれるか否かは問われません。sup A ∈ A の場合もあれば、sup A ∈ A^c ( A^c は 集合A の補集合を指します ) の場合もあります。

● ( 次の文章は、2011/05/22/Sun の午前中に記述しました )

ANo.4 と ANo.5 における OurSQL さん のご回答で、RY0U さん は納得されたと私は思います。いくつかの補足を、おせっかいではありますが、私にさせてください。

■ 記号{} は集合を示すときに用いられることが多いです。下記の Web ページ の「 集合の記述法 」と「 外延性の原理 」という項目をごらんください。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88

「 集合の記述法 」という項目では、次の 3つ の記述法が紹介されています。

1) {x| P(x)}
2) {x ∈ X| Q(x)}
3) {f(y)| Q(y)}

1) が基本的な記述法で、2) と 3) 略された記述法です。

RY0U さん がご質問の文章の中で紹介された Web ページ には、次の 4) のとおりに表記される集合が登場しますよね。

4) {1 - (1/n)| n ∈ N}

この 4) は 3) の記述法を採用しています。これを 1) の記述法を用いて示せば次の 5) もしくは 6) のようになるのではないでしょうか。しかし、5) もしくは 6) のように表記するよりも、4) のように略記したほうが理解しやすいでしょうね。

5) {x| x は 有理数であって、x = 1 - (1/n) を満たすような自然数 n が存在する}
6) {x| (x ∈ Q)∧∃n((n ∈ N)∧(1 - (1/n) = x))}

なお、5) における「 x は有理数であって、」については、「 x は実数であって、」「 x は複素数であって、」などと書き換えても問題ないでしょう。同様に、6) における「 (x ∈ Q)∧ 」については、「 (x ∈ R)∧ 」「 (x ∈ C)∧ 」などと書き換えても問題ないでしょう。おそらく … 。

■ (a, b) = {x| x は実数であり、a < x < b である } = {x| (x ∈ R)∧(x > a)∧(x < b)}
　 ここで用いられる 記号() は、1つ の開区間を示すときに用いられるものです。1つ の開区間は開集合です。開集合が 1つ の開区間であるとは限りません。
　 [a, b] = {x| x は実数であり、a ≦ x ≦ b である } = {x| (x ∈ R)∧(x ≧ a)∧(x ≦ b)}
　 ここで用いられる 記号[] は、1つ の閉区間を示すときに用いられるものです。1つ の閉区間は閉集合です。閉集合が 1つ の閉区間であるとは限りません。

● これまで、もっともらしく私は記述してまいりました。その記述の中にまちがいが含まれている場合は、ひらにごめんなさい。

集合 上限 下限

仰るとおりです。

大切なことを念押しするのを忘れていました。

● RY0U さん を混乱させるような回答を私は続けてしまいましたね。

● ろくに検証もせずに、ANo.9 と ANo.12 を投稿してしまいました。

この回答への補足

●「 任意個数の開区間の和集合 」と「 任意個数の閉区間の共通部分 」の件について

そそっかしくて、ごめんなさい。

● ANo.4 において、OurSQL さん は、次のようにおっしゃいました。

この回答への補足

● 私が ANo.7 で伝えたかったことを、以下にくわしく述べさせてください。

この回答への補足

RY0U さん がご質問文の中で紹介されました Web ページ における上限の定義と、ANo.6 において私が記述した上限の定義とは、表現のしかたが異なります。

● ( 次の文章は、2011/05/21/Sat の午前中に記述しました。

この回答への補足

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集合　上限　下限

　大切なことを念押しするのを忘れていました。

● RY0U さんを混乱させるような回答を私は続けてしまいましたね。

●「任意個数の開区間の和集合」と「任意個数の閉区間の共通部分」の件について

　そそっかしくて、ごめんなさい。

● ANo.4 において、OurSQL さんは、次のようにおっしゃいました。

　RY0U さんがご質問文の中で紹介されました Web ページにおける上限の定義と、ANo.6 において私が記述した上限の定義とは、表現のしかたが異なります。