多様体間の写像が滑らかであることについて

f：R→R を
　f(x)=x^(1/3)　（xの3乗根）
と定めます．このとき f は同相写像だが滑らかではないということを，
多様体間の写像が滑らかであることの定義に従って示したいのですが，
それがよく分からないので教えてください．

f は全単射かつ連続で，f^(-1)も連続であることは言えたので，f が同相写像であることは示せました．
問題は f が滑らかではないということです．

Rを多様体としてみて，この多様体間の写像 f:R→R が滑らかであるとは，
-------------------------------
任意の x∈R と，x∈U, f(x)∈V かつ f(U)⊂Vとなる局所座標(U,φ),(V,ψ)に対して，
f の U と V による局所座標表示 ψ・f・φ^(-1) が滑らか．
-------------------------------

今回は滑らかではないことなので，この否定を示せばよいのですよね？
つまり，x∈U, f(x)∈V かつ f(U)⊂V なるどんな局所座標(U,φ),(V,ψ)をとっても，
局所座標表示 ψ・f・φ^(-1) が滑らかにならないような x∈R が存在することを示す．

これを示そうと思ったのですが，出来ませんでした．
f は 0∈R で微分可能でないので，0が問題の点だとは思うのですが…．

ご教授お願いいたします．

No.3 回答者： muturajcp 回答日時： 2011/05/22 05:38

#1です。

#2の方の通りです。
fはx=0で微分不可能なので、
0∈U, f(0)∈V かつ f(U)⊂V なるどんな局所座標(U,φ),(V,ψ)をとっても，
(Uの中に1点でも微分不可能な点が存在すれば,fはUで微分不可能というので)
fはUで微分不可能なので、
(ψ,f,φ^(-1)のどれか1つでも微分不可能であれば合成関数 ψ・f・φ^(-1)は微分不可能なので)
合成関数 ψ・f・φ^(-1)
も微分不可能ですので、
ψ・f・φ^(-1)
は滑らかでない。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/05/21 14:16

そもそも、微分多様体(というが、そのアトラス)の定義に

恒等写像が滑らかであること…が含まれているので、
∃φ,ψ で微分可能なことと ∀φ,ψ で微分可能なことは
同値になるのです。合成関数の微分可能性は、どうなりますか？

No.1 回答者： muturajcp 回答日時： 2011/05/21 05:55

「

任意の x∈R と，x∈U, f(x)∈V かつ f(U)⊂Vとなる局所座標(U,φ),(V,ψ)に対して，
f の U と V による局所座標表示 ψ・f・φ^(-1) が滑らか．
」
の否定は、
「
x∈U, f(x)∈V かつ f(U)⊂V なるどんな局所座標(U,φ),(V,ψ)をとっても，
局所座標表示 ψ・f・φ^(-1) が滑らかにならないような x∈R が存在する
」ではなく、

x∈R と，x∈U, f(x)∈V かつ f(U)⊂Vとなる局所座標(U,φ),(V,ψ)に対して，
f の U と V による局所座標表示 ψ・f・φ^(-1) が滑らかでない
x,U,V,φ,ψが存在するということですので、

x=0
U=V=R
φ=ψ=(x→x)
とすれば,

ψ・f・φ^(-1)=f
だから
fはx=0で微分不可能なので、滑らかでない。

この回答への補足

> muturajcp 様

回答ありがとうございます．
自分も最初はそのように考えました．

上の定義の書き方が良くなかったのかもしれませんが，
手持ちの資料による滑らかであることの定義は
--------------------
連続写像 f：M→N が p∈M で滑らかであるとは，p を含む座標近傍 U と f(p) を含む座標近傍 V で
f(U)⊂V を満たしかつ f の U と V に関する局所座標表示が滑らかであるようなものが存在することをいう．
--------------------
とあります．

このとき，「任意の p に対して U,V が存在する」ということなので，この否定をとったら
「ある p が存在して，任意の U,V に対して」ということにはなりませんか？

もしそうであれば，0∈R をとったとき，0を含む任意の座標近傍 U と，f(0)=0 を含む任意の座標近傍 V を
考えないといけないのではないかと思ったのですが違いますか？

補足日時：2011/05/21 13:49