「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

位相空間において、E,Fが疎な集合とする。
E∪Fも疎なことの証明。
定義:Eが疎な集合とは、Eの閉包の内点がφ

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A 回答 (9件)

空間Xの部分集合Eに対し、


Eは疎である. ⇔ Int(ClE)=φ. (Eの閉包は内点をもたない。)
は定義なのですが次の言い換えを利用する方がよいでしょう。
Eは疎である. ⇔ Cl(X-ClE)=X. (Eの閉包の補集合はXで稠密である。)

問題の証明ですが、E, Fは疎とします。
任意の空でない開集合Uに対して、
U∩(X-Cl(E∪F))=U∩(X-(ClE∪ClF))
=U∩(X-ClE)∩(X-ClF)
という等式が一般的に成立していますが、終結式において、
Eが疎である(X-ClEは稠密である)ことから
U∩(X-ClE)は空でないことがわかり、さらにこれは開ですから
Fが疎である(X-ClFは稠密である)ことによって
U∩(X-ClE)∩(X-ClF)は空でないことがわかります。
従がって、等式から
U∩(X-Cl(E∪F))は空でないこと、即ち、X-Cl(E∪F)はXで稠密であること、即ち、E∪Fは疎であることが示されます。
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老婆心ながら、


> 次の言い換えを利用する方がよいでしょう。
> Eは疎である. ⇔ Cl(X-ClE)=X.
は次の基本的なことがら
X-IntA=Cl(X-A)
から示されます。実際、
Eは疎
⇔Int(ClE)=φ
⇔X-Int(ClE)=X
⇔Cl(X-ClE)=X
⇔X-ClEはXで稠密.
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この回答へのお礼

ていねいな証明ありがとうございました。おかげでよく理解できました。疎を稠密に言い換える所と基本的公式にあてはめるところなど参考になりました。

お礼日時:2003/10/21 09:19

♯5の訂正です。

度々すいません。

「♯3のdaimaohさんの6行目は
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V or V:有限集合 or V=X
となっていますが、これは
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V and V^c:無限集合 and V≠φ
の誤りです。
このとき,E,Fは閉集合だから閉包は変わらないがE,F≠φです。
よってE,Fは疎な集合ではないので反例は誤りです。」
反例の反例については問題ないかと。

それから
「U⊂Xが開集合⇔p∈U or U^c(=Uの補集合):有限集合 or U=φ と定義するとXに位相が入る」のは正しいと思います。
p∈X-U としてしまったら、位相にならないのでは?
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この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございました。

お礼日時:2003/10/21 12:53

#3です。


間違えました。

開集合の定義を,

... or p∈X-U

としないと位相にならないですね。
失礼しました。
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この回答へのお礼

理解されてよかったですね。
これは大学のとき一度正しいことは,理解したことあり反例はないはずです。
どうもありがとうございました

お礼日時:2003/10/20 17:47

♯4の訂正です。


正しくは

「♯3のdaimaohさんの6行目は
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V or V:有限集合 or V=X
となっていますが、これは
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V and V:有限集合 and V≠φ
の誤りです。
したがって、E,Fは閉集合ではないのでこの反例は誤りです。
反例の反例(?)として
X=Z(整数),E={x∈Z|x<p},F={x∈Z|p<x}
を考えるとよいと思います。」

訂正した部分は「V≠φ」のところと、「E,Fは閉集合ではないので」のところです。
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♯3のdaimaohさんの6行目は


V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V or V:有限集合 or V=X
となっていますが、これは
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V and V:有限集合 and V=X
の誤りです。
したがって、E,Fは無限集合なので開集合で、この反例は誤りです。
反例の反例(?)として
X=Z(整数),E={x∈Z|x<p},F={x∈Z|p<x}
を考えるとよいと思います。
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あれれ?この命題は成立しませんね。



反例:
X:無限集合,p∈Xをfix(固定)します。
U⊂Xが開集合⇔p∈U or U^c(=Uの補集合):有限集合 or U=φ
と定義するとXに位相が入ります。このとき,
V⊂Xが閉集合⇔p∈X-V or V:有限集合 or V=X
となります。
さて,X-{p}は無限集合ですから,それを二つの無限集合,E,Fに分けます。
このとき,E,Fは閉集合ですから閉包は変わらず,しかもφ以外の開集合を含みませんから内点はありません。
しかし,E∪Fは補集合が有限なので開集合となり,内点を持ちます(すべて内点です)。
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E^aをEの閉包、E^iをEの内部、U_xをxの近傍とする。



Eが疎な集合

(E^a)^i=φ

∀xで、U_x⊂E^aとなるU_xが存在しない

(E^a)^i=φかつ(F^a)^i=φであるから
∀xで、U_x⊂E^aとなるU_xと、U'_x⊂F^aとなるU'_xが存在しない

∀xで、U_x⊂(E^a∪F^a)となるU_xが存在しない
ここでE^a∪F^a=(E∪F)^aであるから、

∀xで、U_x⊂(E∪F)^aとなるU_xが存在しない

((E∪F)^a)^i=φ
よって
E∪Fは疎な集合である。

「疎な集合」って初めて聞いたんですけど、出題者の造語ですか?

この回答への補足

「疎な集合」って初めて聞いたんですけど、出題者の造語ですか?について
これは岩波 位相解析の基礎 1960年初版発行に載っていた用語です。
古いけど歯ごたえと味わいがあります。

補足日時:2003/10/20 17:49
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この回答へのお礼

E^a)^i=φかつ(F^a)^i=φであるから
∀xで、U_x⊂E^aとなるU_xと、U'_x⊂F^aとなるU'_xが存在しない

∀xで、U_x⊂(E^a∪F^a)となるU_xが存在しない
ここのところが論理的にすっと入ってこないのですが。

どうもありがとう。

お礼日時:2003/10/20 17:45

Eの閉方が内点を持たない


Fの閉方が内点を持たない
E∩F(⊂F)の閉方が内点を持たない
E+F=E+F+E∩Fの閉方が内点を持たない
自明としか思えない。
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この回答へのお礼

自明なことなら証明は簡単のはづですがーー
。どうも

お礼日時:2003/10/20 13:01

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距離化可能で可分な位相空間は第2可算公理を満足するというのがイマイチ
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後、同様に位相のことなのですが、Rは通常の位相に関して可分であると
いうのもよく分かりません。どうか、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この事実についてはどのような本で知ったのでしょうか。基本的な位相数学の
教科書なら証明も書いてあると思いますが。また2つ目の質問は通常の位相数学の
教科書なら必ず例が載っていると思いますが。
とりあえず証明を

距離化可能で可分な位相空間をXとします。距離化可能ですから最初からXは距離空間
と考えて構いません。そこで、各点x∈X の近傍U_ε (x)は
U_ε(x) = { y ∈ X : | x - y | < ε, ε> 0 }
と書けます。

Xが可分と言うのは、Xのある可算集合で稠密なものがとれるということです。
このような集合をAとします。Aは可算なのでA={a_i }(i= 1,2,3 …)と書けます。
このとき各a_i を中心とする半径 1/mの開球 U_(1/m) ( a_i)全体の集合
S={ U_(1/m) ( a_i) : i,m は自然数 }
が第二可算公理を満たします。以下はそのことを証明します。

Sが可算集合であることは自明ですね。さらにSがXの開基であることを言う必要が
ありますがそれはXの任意の開集合の任意の点 x に対して、x を含み、その開集合に
含まれるようなSの要素が存在することをいえば良いのです。

さて任意の開集合O⊂X をとり、x ∈ O を一つ選びます。Oは開集合ですから、
x の近傍でOに含まれるものをとることが出来ます。
先に書いたように x の任意の近傍は、ある正数εにより x から距離ε以下の点の集合
U_ε(x) として表せます。そこでいま U_ε(x) ⊂ O とします。
次に 1/n < ε/2 となるような n を選びます。A は稠密ですから、Aの中から x との距離が
1/n 未満であるような点 a_j をとることが出来ます。すなわち
|x - a_j | < 1/n
です。このとき a_j を中心とする半径 1/n の開球 U_(1/n) ( a_i) はxを含んでおりかつ
U_ε(x)に含まれます。
x ∈ U_(1/n) ( a_i) ⊂ U_ε(x) ⊂ O
そして U_(1/n) ( a_i) ∈ S ですから SがXの開基であることが示せました。 ■

2つめについては有理数全体の集合Qが可算集合でありRの中で稠密であることを
思い出していただければすぐわかると思います。

わかりにくければ補足質問をして下さい。

この事実についてはどのような本で知ったのでしょうか。基本的な位相数学の
教科書なら証明も書いてあると思いますが。また2つ目の質問は通常の位相数学の
教科書なら必ず例が載っていると思いますが。
とりあえず証明を

距離化可能で可分な位相空間をXとします。距離化可能ですから最初からXは距離空間
と考えて構いません。そこで、各点x∈X の近傍U_ε (x)は
U_ε(x) = { y ∈ X : | x - y | < ε, ε> 0 }
と書けます。

Xが可分と言うのは、Xのある可算集合で稠密なも...続きを読む


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