標準偏差について教えてください。

多分基本的なことなのですが、一応調べては見たのですがよくわかりません。
偏差値については、真実の平均のようなものと理解してみたのですが・・・
（突出して平均点を上下させる最高と最低を除いて出した値？）

わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

例えば、あるテストで
平均点が70点
標準偏差が５．５だとしたら何を表しているのでしょうか?

No.3 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2011/06/24 13:45

こんにちは。

＞＞＞偏差値については、真実の平均のようなものと理解してみたのですが・・・

偏差値は、平均点の人が５０になるようにできています。
偏差値は、標準偏差がちょうど１０になるように換算したものです。

＞＞＞（突出して平均点を上下させる最高と最低を除いて出した値？）

違います。
そういう統計の仕方も存在しますが、標準偏差とは関係ありません。

＞＞＞例えば、あるテストで平均点が70点標準偏差が５．５だとしたら何を表しているのでしょうか?

正規分布（ガウス分布）という平均の左右に対称な山型を仮定することになります。

・８１点（＝７０＋２×５．５）　⇒　偏差値７０　⇒　その人より上には全体の２．３％の人しかいない。
・７５．５点（＝７０＋５．５）　⇒　偏差値６０　⇒　その人より上には全体の１５．９％の人しかいない。
・７０点　⇒　偏差値５０　⇒　その人より上にも下にも全体の５０％の人がいる。
・６４．５点（＝７０－５．５）　⇒　偏差値４０　⇒　その人より下には全体の１５．９％の人しかいない。
・５９点（＝７０－２×５．５）　⇒　偏差値３０　⇒　その人より下には全体の２．３％の人しかいない。

（現実には、１００点満点のテストで標準偏差が５．５点しかないケースは、かなり珍しく、たとえばセンター試験だと、標準偏差は２０点弱です。）

高校２～３年生ぐらいの数学の教科書の巻末にこんな表が載っているので、それを使うと以上のことがわかります。
http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/mnaka/ut/ …

この回答へのお礼

ありがとうございます。

数字は私が計算しやすそうな数字を適当に入れたものです。

実際の標準偏差はおっしゃるとおりもっと大きな数字です。

子どものテスト結果の見方がよくわからなかったので質問させていただきました。


わかりやすいご説明ありがとうございました。

お礼日時：2011/06/24 16:45

No.2 回答者： masssyu 回答日時： 2011/06/24 13:04

まず、標準偏差とは分散の平方根です。

　　Ａ２点　Ｂ３点　Ｃ４点　Ｄ５点　Ｅ６点　とします。

まず平均を求めると４点になります。
分散とは平均とのずれ（すなわち平均とどれだけ離れているか）を２乗した総和を人数で割ったものです。

例であてはめてみると

　　Ａ－２点　Ｂ－１点　Ｃ±０点　Ｄ＋１点　Ｅ＋２点
　これを２乗した総和は　（４＋１＋０＋１＋４）/５＝２　標準偏差は√２となります。

本題ですが、ある決まった形の分布で、釣鐘型（山）の形をしている分布を正規分布といいます。

正規分布で平均から標準偏差１つ分だけ離れた範囲（例でいうと平均±√２の範囲）には全体のデータの個数の約６８％が含まれていて、平均から標準偏差２つ分だけ離れた範囲には全体のデータの個数の約９５％が含まれていることになります。

つまり、標準偏差とは自分が全体の中で上位何％にいるかがわかる指標のことです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

子どものテスト結果がよくわからなくて質問しました。

せっかく説明いただいたのに、まだよくわからないのです。

平均点と標準偏差は個別に頂いたものではなく
全員に同じものが配られました。

（もちろん個人の成績は個別に配られましたが）
全員に配られた標準偏差で上位何％にいるかわかるものなのでしょうか?

お礼日時：2011/06/24 16:38

No.1 回答者： kgu-2 回答日時： 2011/06/24 13:00

平均は、代表値の一つ。

集団全体の様子を表します。
標準偏差は、集団のバラツキの様子。

　ここで、例題を
A社の時計３個は、１２時、１１時５９分、１２時１分
B社の時計は、１２時１分、１２時１分、１２時1分。
　どちらの時計を買いますか? A社は平均、B社が標準偏差に相当します。この答えが分かれば、質問の回答も自ずから理解できるのでは。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

実は子どものテスト結果をどう見たらよいかわからなかったので質問しました。

子どもの得点と平均点と標準偏差が記されていて、
その関係が知りたかったので・・・

お礼日時：2011/06/24 16:28