数学Iの２次関数の最大。最小

二次関数 y=-x2+4ax+4a(1)
このときの最大値mをaであらわせ
また、aの関数ｍの最小値と、その時のaの値を求めよ

というような問題で
(1)の式を変形すると
y=-(x-2a)2+4a2+4a

と、ここまではわかるのですが
yはx=2aで最大値4a2+4aをとる。

ここで、質問なんですが
なんでx=2aで最大値4a2+4aなんでしょうか
最大値じゃなくて最小値じゃダメなんでしょうか？

初歩的な質問ですいません；
よければ早目な回答よろしくおねがいします

ちなみにこの問題の答えは
m=4a2+4a
これを変形して
m=4(a+1/2)2-1
したがって
mはa=-1/2 最小値-１をとる

です。

No.1 ベストアンサー 回答者： nagisa_a0 回答日時： 2011/06/25 12:52

y=-x2+4ax+4a …(1)を式変形していくと、

y=-(x-2a)2+4a2+4a となります。

この関数は-x2なので頂点が上に来る関数なので最小値はありません。下には際限なく行ってしまいます。おおまかにグラフを書いてもらえば、逆U型のグラフになるので分かると思います。

x=2aのとき、y=4a2+4aという最大値をとります。最大値をmで表せとあるので、m=4a2+4aが答えですね。

後は書いていらっしゃる通り、
m=4a2+4a
=4{(a+1/2)2-1/4}
=4(a+1/2)-1

この関数はU型のグラフになるので最小値が存在し、a=-1/2のとき最小値-1をとります。

この回答へのお礼

おお
わかりやすい回答ありがとうございます＾＾

お礼日時：2011/07/02 12:54

No.2 回答者： mahouno-tsue 回答日時： 2011/06/25 12:52

それはこの関数がグラフを書いてみると

平方完成した形がマイナスがついてますから
頂点(2a,4a^2+4a)で下向きになります
だから頂点の値が最大値です