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教科書に「立方晶では結晶学的に等価である方向は<>で総称して表す。」と記述してあるのですが、「結晶学的に等価」というのは具体的にはどういう意味でしょうか。例えば、<123>と<321>のような場合の違いがよくわかりません。この場合を具体的に方向指数を列挙して比べてみようと思いましたが、よくわかりませんでした。どなたかご教授お願いします。

A 回答 (2件)

>では、立方晶において<123>と<321>の違いは何なのでしょう。


違いはありません。

>立方晶では順序を変えたり、符号を変えても結晶学的に同じ方向指数を表すので、
あくまでも等価であるというだけで、同じ方向であるというのとは違いますよ。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。おかげでスッキリしました。

お礼日時:2011/07/24 21:08

例えば立方晶であれば、


a軸周りの90度回転、b軸周りの90度回転、c軸周りの90度回転、空間反転、[111]周りの120度回転
など色々な対称操作があります。こういう対称操作を行った結果互いに移りあうものが「結晶学的に等価」なものです。

例えば[100]方向を向いたベクトルをc軸周りに90度回転させると[010]方向を向いたベクトルになりますので、立方晶の場合には[100]方向と[010]方向は結晶学的に等価な方向です。

この回答への補足

なるほど、「結晶学的に等価」の意味は理解できました。では、立方晶において<123>と<321>の違いは何なのでしょう。立方晶では順序を変えたり、符号を変えても結晶学的に同じ方向指数を表すので、同じ意味なのですか。

補足日時:2011/07/24 17:42
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Q結晶の面方位について

結晶の面方位(111)(110)(0001)などの表し方の基本を説明している書籍・サイトがあれば教えてください

Aベストアンサー

結晶構造の(abc)面の意味は、資料 [1] が参考になります(図の緑色の面がその面)。このサイトで結晶構造に関する質問 [2], [3] が過去にありますので、その回答の参考URLも参照してみてください( sanori さんと重複してないかな)。面方位は面指数とかミラー指数とも言います。

[1] ミラー指数 http://www.f-denshi.com/000okite/300crstl/304cry.html
[2] 結晶構造 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa661938.html
[3] X線回析の結果から分からない言葉が・・ http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1976049.html

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
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Q結晶構造

結晶の方向というものがよくわかりません。授業では、電子状態は結晶方向に依存するから重要だ、と聞きましたがうまくイメージできませんでした。また、固体物理の参考書でミラー指数なるものも目にしますが、これはどのような時に使われるのでしょうか?簡単に説明できる方がおりましたら、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

<結晶の方向について>
結晶というのは例えば食塩なんかをルーペで眺める綺麗な立方体の形状がみられますが、これは塩を構成するNa原子(○)とCl原子(●)が交互に規則正しく並び、3次元的に立方体を形成しているからなのですね。まぁ下手かつ不十分な絵ですが下図で想像して下さい。
      ○
    ●   ● (→一応立方体を想像して下さい)
    | ○ |
    | | |
    ○ | ○
      ●
ところで1本の串を用意し、この串で●ばかりを串刺にする方向や○ばかり、あるいは○●を串刺しにする方向がありますね。この串刺し方向を結晶の方向といいます。卑近な話、丁度焼鳥で”カワ”の味とカワにねぎが挟んである”ネギマ”の味が違うように、結晶もその方向によって物性が変わります。これが電子の状態は結晶方向に依存するというものの中身です。

<ミラー指数>
ブラッグの法則というのをご存知でしょうか。等間隔dを保って並んでいる平面に斜めから波長λを持った光が入射したとき 2dsinθ=nλ (n:整数)を満たす入射角θのとき光は反射するというものですね。例によって詳しい絵はご自分で描いてください。

     ------------------
            ↑d
     ------------------
            ↑d
     ------------------
先ほど述べた串刺しの方向ですが、串を板に置き換えて結晶をいろいろな方向より切るとその切り口は面となりますね。この面の方向を指定するのにミラー指数が使われます。例えばa,b,cの3辺を持つ単位立方体が整然とx,y,z空間に配列された巨大な立体を考えます。この立方体を斜め方向から切り、x,y,z軸と交わるその切りが(2a,3b,2c)であったとしますと、それぞれの切り口の逆数は単位長さを省略して(1/2,1/3,1/2)となりますね。ミラー指数はこの逆数の比と同じ比を持つ最小の整数と定義されますので、今の場合ミラー指数は
     6×(1/2,1/3,1/2)=(3,2,3)
ということになります。ところで切り口(4a,6b,4c)のミラー指数も同様に(3,2,3)となりますね。つまり、(3,2,3)という面は何層も考えられるわけです。
今、簡単のために1辺aの単純立方格子を考えてみます。するとミラー指数(h,k,l)の面間隔Dhklは
     Dhkl=a/√(h^2+k^2+l^2)
で与えられます。今入射角θで入ってきたX線は次ぎの条件が満たされる時、ミラー指数(h,k,l)面で反射されますね。
ブラッグの法則・・・2Dhkl・sinθ=nλ
つまり、ミラー指数はX線結晶解析によく使われます。それ以外に、結晶の方向によって物性が異なる異方性を議論する場合などに頻繁にでてきます。

(P.S)
・ミラー指数の演習には下記URLが最適。
http://www.gifu-nct.ac.jp/mecha/yamada/CAI/menu.html
・ここも覗かれては
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=651268
・参考URLはしっかり勉強するのに最適なところです。

参考URL:http://www.zaiko.kyushu-u.ac.jp/~watanabe/AtomStr1.html

<結晶の方向について>
結晶というのは例えば食塩なんかをルーペで眺める綺麗な立方体の形状がみられますが、これは塩を構成するNa原子(○)とCl原子(●)が交互に規則正しく並び、3次元的に立方体を形成しているからなのですね。まぁ下手かつ不十分な絵ですが下図で想像して下さい。
      ○
    ●   ● (→一応立方体を想像して下さい)
    | ○ |
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    ○ | ○
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ところで1本の串を用意し、この串で●ばかりを串刺にする方向や○ばかり、あ...続きを読む

Q六方最密格子の充填率の求め方

六方最密格子の充填率の求め方が分りません。今分っているのは面心立方格子と同じ0.74となることくらいです。
立方格子の場合は、原子を半径rの球体と考えて立方体の体積をrの式で求め、立方体内に含まれる原子の体積を求め、充填率を出しました。
六方の場合は…、同じようにやれると思うのですが、六角柱の体積をどう求めたらいいのか分りませんし、原子も一つがどれだけ立体内にあるのかも想像しにくいです。
解き方分る方ご教授願います。

Aベストアンサー

下記URLを参照ください.

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AD%E6%96%B9%E6%9C%80%E5%AF%86%E5%85%85%E5%A1%AB%E6%A7%8B%E9%80%A0

Qエクセル近似曲線(範囲指定)

10個のプロット点によって作られているエクセル曲線の、右端3つのみの直線近似曲線が引きたいのですが何かいい方法はないでしょうか?

右端3つのみの近似曲線の関数(y=○x+▽)も知りたいです。

「近似曲線の追加」→「直線近似」でやると
すべてのプロット点に対する近似直線しかかけません。

宿題の期限が近く、困っています。
どなたかお助けください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

メニューバー→「グラフ」→「元のデータ」→「系列」タブで、近似曲線を引きたい右端3つのデータで、新たに系列を追加したらどうでしょうか?

で、その系列で近似曲線を引いてやればいいと思います。

ちなみに近似曲線の関数は、近似曲線を選択して右クリックし、「近似曲線の書式設定」を選びます。
「オプション」タブの中に、「グラフに数式を表示する」というのがありますから、ここにチェックを入れて、OKすれば、近似曲線の近辺にY=AX+Bの式が現れます。

Q音響モード・光学モード

フォノンの光学モード、音響モードの図の見方がわかりません。わかりやすく説明できる方がいらっしゃったらお願いします。

ここ↓
http://cl.rikkyo.ne.jp/cl/2004/internet/kouki/rigaku/hirayama/041222/12_22.html
のページの下から1/4あたりにある図みたいなのです。

Aベストアンサー

わかりやすい説明かどうかわかりませんが、
おっしゃているのは、フォノンの振動数(またはエネルギー)を縦軸、波数を横軸にとった図のことでしょうか?
こういう図を(フォノンの)分散関係と呼びます。

たぶん高校で波(音波)において、
(波の振動数ν)=(波の速度c)/(波長λ)という関係(以下、式1と呼ぶ)を習ったと思いますが、それを拡張したものです。これを波数kを使って書くと
ω=2πν=ckです。これは分散関係の図で直線で与えられますが、フォノンの分散関係は直線にはなっていません。なぜでしょうか。
 固体の振動を例にとると、式1はλを小さくしていくと問題が発生します。つまり式1がどんなに小さな波長にでも成立するとすると問題が発生します。波長が0.01nmになったらどうなります。原子の間隔は0.1nmのオーダーなので、それよりも狭い領域に波の振動が含まれるとはどういうことでしょう。そういう波はありえないというか意味がないのです。
つまり式1は波長が極端に短いところでは変更を受けるわけです。

音響モードと光学モードとは、分散関係でkを小さくしていった場合、振動数がゼロになるのが音響モードで、有限の値をとるのが光学モードです。

結晶の単位胞に原子が1個しかない結晶では、音響モードしかありません。光学モードが現れるためには、単位胞に2個以上の原子が含まれる必要があります。

それではなぜ「音響」モードと呼ぶのでしょう。
音響モードは実は充分kが小さい領域ではω=ckという線形な関係に漸近します。つまり式1です。式1が表すのは音波だったため、「音響」モードと呼ばれます。

それではなぜ「光学」モードと呼ぶのでしょう。単位胞に原子が2つ含まれる場合はイオン結晶でよく起こり、片方が+、もう片方が-に帯電しています。
それが質問者の示したwebの図にもあるように互い違いに振動するモードが光学モードにあたり、+と-の電荷が互い違いに振動すると電気分極が振動し、光(格子振動の場合は赤外光)と相互作用します。

光学モードをもつ結晶に赤外光を当てると、光学モードの振動数に相当する赤外光が吸収されます。「光」で観測できるから「光学」モードです。

フォノンの光学モードと音響モードの話は、どんな固体物理の教科書にも載っていると思いますので、以上の説明の手がかりに一度じっくり読んでみられたらいかがでしょうか?

わかりやすい説明かどうかわかりませんが、
おっしゃているのは、フォノンの振動数(またはエネルギー)を縦軸、波数を横軸にとった図のことでしょうか?
こういう図を(フォノンの)分散関係と呼びます。

たぶん高校で波(音波)において、
(波の振動数ν)=(波の速度c)/(波長λ)という関係(以下、式1と呼ぶ)を習ったと思いますが、それを拡張したものです。これを波数kを使って書くと
ω=2πν=ckです。これは分散関係の図で直線で与えられますが、フォノンの分散関係は直線にはなっていませ...続きを読む

Qシリコンウェハの結晶の方向指数

単結晶シリコンウェハには(100)、(110)、(111)面の面方位のウェハがありますが、例えば(100)面のウェハの方向指数?<100>、<110>方向(原子から原子までの距離の違い?)がわかる方法というのはあるのでしょうか?
また、(110)、(111)面のウェハでも方向指数がわかる方法はあるでしょうか?
できれば、教えていただきたいです。
参考になるサイトなどがあればURLでも結構です。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

Si単結晶のX線回折測定といっても色々な種類があります。
行いたい測定によって、必要とされる装置も異なってきます、メールからは読み取りにくいので一般論で書いてみます。

1、単純に今お手持ちのウエハの面方位を知りたいのでしたら、通常のXRDでも測定可能です。
管球がCuでしたら2θを、(100)でしたら69.2°(110)なら47.3°(111)なら28.5°に固定し、DSは出来るだけ細くして、RSとSSはOPENにして、θ単独スキャン測定を行います。
測定角度は上記2θ角の半分±5°位で良いと思います(例えば(100)なら29.6°~39.6°等)
設定した2θ角とサンプルの面方位が合っていればピークが得られますし、合ってなければピークは何も出ません。
ただしSiウエハには4°OFFという種類のウエハがあり、このタイプの場合サンプルを90°づつ回して測定しないと、ピークが得られない事があります。

2、例えば(100)サンプルを使用して、(110)や(111)の反射を測定したいということになりますと、サンプルをあおり方向や回転方向に動かさないと、ピークが得られませんので(軸たてと言います)、前後あおり回転方向に移動制御可能な試料ステージが必要になります。

3、(100)サンプルの(110)や(111)反射が、理論的にどの方向に出るかが判ればよろしいのでしたら、ステレオ投影図と言うものがあります、印刷されたものの他にフリーソフトなどもあるようです。

4、ウエハの結晶性やエピ層の評価をしたいとなりますと、通常のXRDでは無理で、薄膜測定専用の装置が必要になってしまいます。

5、Si半導体メーカーは、通常のXRDのような汎用機では無く、ラインのそれぞれの工程ごとに、専用のX線装置を何種類も持っていて、方位や角度ズレを測定をして管理しています。

Si単結晶のX線回折測定といっても色々な種類があります。
行いたい測定によって、必要とされる装置も異なってきます、メールからは読み取りにくいので一般論で書いてみます。

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測定角度は上記2θ角の半分±5°位で良いと思います(例えば(100)...続きを読む


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